Кванттық жүйенің математикалық сипаттамасы

Кіріспе

Кванттық физикада толқындық функция (немесе толқындық функция) – оқшауланған кванттық жүйенің кванттық күйінің математикалық сипаттамасы. Толқындық функцияны белгілеу үшін ең көп қолданылатын грек әріптері – ψ және Ψ (кіші және үлкен пси әріптері). Толқындық функциялар кешенді мәнді болады. Мысалы, толқындық функция кеңістіктің бір аймағындағы әрбір нүктеге кешенді санды сәйкестендіре алады. Борн ережесі осы кешенді ықтималдық амплитудаларын нақты ықтималдықтарға айналдыруға мүмкіндік береді. Оның бір түрінде, позицияға тәуелді толқындық функцияның модульдің квадраты – берілген нүктеде бөлшекті табу ықтималдығының тығыздығын көрсетеді. Толқындық функцияның модульдің квадратының интегралы жүйенің барлық еркіндік дәрежелері бойынша 1-ге тең болуы керек, бұл қалыпқа келтіру шарты деп аталады. Толқындық функция кешенді мәнді болғандықтан, оның салыстырмалы фазасы мен салыстырмалы шамасын ғана өлшеуге болады; оның мәні өзіндік өлшенетін шамалардың шамалары немесе бағыттары туралы ештеңе көрсетпейді. Кванттық операторларды қолдану қажет, олардың өзіндік мәндері өлшеудің мүмкін нәтижелері жиынына сәйкес келеді, содан кейін ψ толқындық функциясына қолданылып, өлшенетін шамалар үшін статистикалық үлестірулер есептеледі. Толқындық функциялар импульс сияқты позициядан басқа айнымалылардың функциялары болуы мүмкін. Позицияға тәуелді толқындық функциясы арқылы берілген ақпаратты Фурье түрлендіруі арқылы импульсқа тәуелді толқындық функцияға және керісінше түрлендіруге болады. Кейбір бөлшектер, мысалы электрондар мен фотондар, нөлдік емес спинге ие, ал мұндай бөлшектердің толқындық функциясы спинді ішкі, дискретті еркіндік дәрежесі ретінде қамтиды; басқа дискретті айнымалылар да, мысалы изоспин де қамтылуы мүмкін. Егер жүйеде ішкі еркіндік дәрежелері болса, үздіксіз еркіндік дәрежесіндегі әрбір нүктедегі толқындық функция дискретті еркіндік дәрежесінің әрбір мүмкін мәні үшін кешенді санды сәйкестендіреді (мысалы, спиннің z компоненті). Бұл мәндер көбінесе бағаналық матрица түрінде көрсетіледі (мысалы, спині бар релятивистік емес электрон үшін 2 × 1 бағаналық вектор). Кванттық механиканың суперпозиция принципіне сәйкес, толқындық функцияларды қосуға және оларды кешенді сандармен көбейтуге болады, осылайша жаңа толқындық функциялар құрылып, Гильберт кеңістігі пайда болады. Екі толқындық функцияның ішкі көбейтіндісі – сәйкес физикалық күйлердің арасындағы жапсарласқандықтың өлшемі және кванттық механиканың негізгі ықтималдық интерпретациясында, Борн ережесінде, ішкі көбейтінділерге ауысу ықтималдықтарын байланыстырады. Шредингер теңдеуі толқындық функциялардың уақыт бойынша қалай өзгеретінін анықтайды, ал толқындық функция басқа толқындар сияқты, мысалы су толқындары немесе саптағы толқындар сияқты қасиет көрсетеді, өйткені Шредингер теңдеуі математикалық тұрғыдан толқын теңдеуінің бір түрі болып табылады. Осыдан "толқындық функция" атауы шыққан және толқын-бөлшектік дуалдылық пайда болады. Алайда, кванттық механикадағы толқындық функция 2023 жылға дейін әртүрлі интерпретацияларға ашық, классикалық механикалық толқындардан түбірінен өзгеше физикалық құбылысты сипаттайды.

Mathematical description of the quantum state of a system

In quantum physics, a wave function (or wavefunction) is a mathematical description of the quantum state of an isolated quantum system. The most common symbols for a wave function are the Greek letters ψ and Ψ (lower case and capital psi, respectively). Wave functions are complex valued. For example, a wave function might assign a complex number to each point in a region of space. The Born rule provides the means to turn these complex probability amplitudes into actual probabilities. In one common form, it says that the squared modulus of a wave function that depends upon position is the probability density of measuring a particle as being at a given place. The integral of a wavefunction's squared modulus over all the system's degrees of freedom must be equal to 1, a condition called normalization. Since the wave function is complex valued, only its relative phase and relative magnitude can be measured; its value does not, in isolation, tell anything about the magnitudes or directions of measurable observables. One has to apply quantum operators, whose eigenvalues correspond to sets of possible results of measurements, to the wave function ψ and calculate the statistical distributions for measurable quantities. Wave functions can be functions of variables other than position, such as momentum. The information represented by a wave function that is dependent upon position can be converted into a wave function dependent upon momentum and vice versa, by means of a Fourier transform. Some particles, like electrons and photons, have nonzero spin, and the wave function for such particles includes spin as an intrinsic, discrete degree of freedom; other discrete variables can also be included, such as isospin. When a system has internal degrees of freedom, the wave function at each point in the continuous degrees of freedom (e. g., a point in space) assigns a complex number for each possible value of the discrete degrees of freedom (e. g., z component of spin). These values are often displayed in a column matrix (e. g., a 2 × 1 column vector for a non relativistic electron with spin ). According to the superposition principle of quantum mechanics, wave functions can be added together and multiplied by complex numbers to form new wave functions and form a Hilbert space. The inner product between two wave functions is a measure of the overlap between the corresponding physical states and is used in the foundational probabilistic interpretation of quantum mechanics, the Born rule, relating transition probabilities to inner products. The Schrödinger equation determines how wave functions evolve over time, and a wave function behaves qualitatively like other waves, such as water waves or waves on a string, because the Schrödinger equation is mathematically a type of wave equation. This explains the name "wave function", and gives rise to wave–particle duality. However, the wave function in quantum mechanics describes a kind of physical phenomenon, as of 2023 still open to different interpretations, which fundamentally differs from that of classic mechanical waves.

Қазіргі теориялардағы толқын функциялары мен толқын теңдеулері

Барлық бұл толқын теңдеулерінің маңызы ерекше. Шредингер теңдеуі мен Паули теңдеуі көп жағдайда релятивистік нұсқаларының өте жақсы жуықтамалары болып табылады. Практикалық есептерде оларды релятивистік аналогтарына қарағанда шешу әлдеқайда оңай. Клейн-Гордон теңдеуі мен Дирак теңдеуі релятивистік болғанымен, кванттық механика мен арнайы салыстырмалылық теориясының толық үйлесімдігін білдірмейді. Бұл теңдеулерді зерттейтін кванттық механика саласы, көбінесе релятивистік кванттық механика деп аталады, өте табысты болғанымен, шектеулері (мысалы, Лэмб ығысы) және түсініксіздіктерге (мысалы, Дирак теңізі) ие. Салыстырмалылық жүйедегі бөлшектер санының тұрақты еместігін анықтайды. Толық үйлесімділікке кванттық өріс теориясы қажет. Бұл теорияда толқын теңдеулері мен толқындық функциялар өз орнында сақталады, бірақ сәл өзгеше нысанда. Басты қызығушылық нысандары толқындық функциялар емес, операторлар, яғни күйлердің Гильберт кеңістігіндегі өріс операторлары (немесе "оператор" түсінігіндегі жай ғана өрістер) (келесі бөлімде сипатталады). Бастапқы релятивистік толқын теңдеулері мен олардың шешімдері Гильберт кеңістігін құру үшін де қажет екені анықталды. Сонымен қатар, еркін өріс операторлары, яғни өзара әрекеттесулердің жоқ деп есептелетін жағдайында, көптеген жағдайларда өрістермен (толқындық функциялармен) бірдей теңдеуді қанағаттандырады. Осылайша, Клейн-Гордон теңдеуі (спин 0) және Дирак теңдеуі (спин 1/2) осы түрінде теорияда қалады. Жоғары спиндік аналогтарына Прока теңдеуі (спин 1), Рарита-Швингер теңдеуі (спин 3/2) және жалпы алғанда, Баргман-Вингер теңдеулері жатады. Массасыз еркін өрістер үшін екі мысал – еркін өрістің Максвелл теңдеуі (спин 1) және өріс операторлары үшін еркін өрістің Эйнштейн теңдеуі (спин 2). Олардың барлығы Лоренц инварианттығының тікелей салдары болып табылады. Олардың шешімдері Лоренц түрленуі кезінде белгіленген тәртіпте, яғни Лоренц тобының нақты бір өкілдігі бойынша түрленуі керек, және бұл басқа да ақылға қонымды талаптармен, мысалы, кластерлік ыдырау қасиетімен, себеп-салдарлық байланысқа әсер ететін теңдеулерді анықтау үшін жеткілікті. Бұл еркін өріс теңдеулеріне қатысты; өзара әрекеттесулер кірмейді. Егер Лагранж тығыздығы (өзара әрекеттесулерді қоса алғанда) берілсе, онда Лагранж формализмі классикалық деңгейде қозғалыс теңдеуін береді. Бұл теңдеу өте күрделі болуы мүмкін және оны шешуге болмайды. Кез келген шешім белгілі бір сандағы бөлшектерге сілтеме жасайды және бұл теорияларда айтылған "өзара әрекеттесу" терминін ескермейді, ол қалыпты "алғашқы квантталған" кванттық теориядағыдай сыртқы потенциалдарды емес, бөлшектердің тууы мен жойылуын қамтиды. Ішектік теорияда жағдай да осыған ұқсас. Мысалы, импульстық кеңістіктегі толқындық функция импульсі нақты анықталмаған бөлшектің (ішектің) жалпы күйіндегі Фурье кеңейту коэффициентінің рөлін атқарады.

All these wave equations are of enduring importance. The Schrödinger equation and the Pauli equation are under many circumstances excellent approximations of the relativistic variants. They are considerably easier to solve in practical problems than the relativistic counterparts. The Klein–Gordon equation and the Dirac equation, while being relativistic, do not represent full reconciliation of quantum mechanics and special relativity. The branch of quantum mechanics where these equations are studied the same way as the Schrödinger equation, often called relativistic quantum mechanics, while very successful, has its limitations (see e. g. Lamb shift) and conceptual problems (see e. g. Dirac sea). Relativity makes it inevitable that the number of particles in a system is not constant. For full reconciliation, quantum field theory is needed. In this theory, the wave equations and the wave functions have their place, but in a somewhat different guise. The main objects of interest are not the wave functions, but rather operators, so called field operators (or just fields where "operator" is understood) on the Hilbert space of states (to be described next section). It turns out that the original relativistic wave equations and their solutions are still needed to build the Hilbert space. Moreover, the free fields operators, i. e. when interactions are assumed not to exist, turn out to (formally) satisfy the same equation as do the fields (wave functions) in many cases. Thus the Klein–Gordon equation (spin 0) and the Dirac equation (spin ) in this guise remain in the theory. Higher spin analogues include the Proca equation (spin 1), Rarita–Schwinger equation (spin ), and, more generally, the Bargmann–Wigner equations. For massless free fields two examples are the free field Maxwell equation (spin 1) and the free field Einstein equation (spin 2) for the field operators. All of them are essentially a direct consequence of the requirement of Lorentz invariance. Their solutions must transform under Lorentz transformation in a prescribed way, i. e. under a particular representation of the Lorentz group and that together with few other reasonable demands, e. g. the cluster decomposition property,
with implications for causality is enough to fix the equations. This applies to free field equations; interactions are not included. If a Lagrangian density (including interactions) is available, then the Lagrangian formalism will yield an equation of motion at the classical level. This equation may be very complex and not amenable to solution. Any solution would refer to a fixed number of particles and would not account for the term "interaction" as referred to in these theories, which involves the creation and annihilation of particles and not external potentials as in ordinary "first quantized" quantum theory. In string theory, the situation remains analogous. For instance, a wave function in momentum space has the role of Fourier expansion coefficient in a general state of a particle (string) with momentum that is not sharply defined.

Кванттық күйлер вектор ретінде

Белгілі бір уақыт сәтінде Ψ(x, t) толқын функциясының барлық мәндері вектордың құрамдас бөліктері болып табылады. Олардың саны санаусыз көп, сондықтан қосындының орнына интеграл қолданылады. Bra-ket белгісінде бұл вектор былай жазылады және "кванттық күй векторы" немесе жай ғана "кванттық күй" деп аталады. Толқын функцияларын абстрактілі векторлық кеңістіктің элементтері ретінде қарастырудың бірнеше артықшылықтары бар: толқын функцияларын өңдеу және түсіну үшін сызықтық алгебраның барлық қуатты құралдарын пайдалануға болады. Мысалы: сызықтық алгебра векторлық кеңістікке негіз қалай беруге болатынын түсіндіреді, содан кейін векторлық кеңістіктегі кез келген вектор осы негізде өрнектеле алады. Бұл координаталық кеңістіктегі толқын функциясы мен импульс кеңістігіндегі толқын функциясы арасындағы байланысты түсіндіреді және басқа да мүмкіндіктер бар екенін көрсетеді. Bra-ket белгісі толқын функцияларын өңдеу үшін қолданылуы мүмкін. Кванттық күйлердің абстрактілі векторлық кеңістіктегі векторлар екендігі туралы идея кванттық механиканың және кванттық өріс теориясының барлық аспектілерінде толығымен жалпы, ал кванттық күйлердің кеңістіктегі күрделі мәнді "толқын" функциялары екендігі туралы идея тек белгілі бір жағдайларда ғана дұрыс. Уақыт параметрі көбінесе ескерілмейді және бұдан былай да солай болады. x координатасы үздіксіз индекс болып табылады. Олар "бұрыс векторлар" деп аталады, олар нақты векторлардан өзгеше, бірлікке нормалдануға болмайды, тек Дирак дельта функциясына ғана нормалданады. Сонымен қатар, олар сызықтық тәуелсіз болғанымен, физикалық Гильберт кеңістігі үшін негіз құру үшін олардың саны тым көп (санаусыз жиынды құрайды). Дегенмен, оларды Фурье түрлендірулерін пайдалана отырып, ондағы барлық функцияларды келесідей өрнектеуге болады.

Анықтамалар (басқа жағдайларда)

Төменде жоғары өлшемді және көп бөлшекті жүйелер үшін толқын функциясының жалпы түрлері, сондай-ақ позиция координаттарынан немесе импульс компоненттерінен өзге де еркіндік дәрежелерін қамтитын түрлері келтірілген.

Салыстырмалы фазаның физикалық мәні

Салыстырмалы фаза эксперименттерде байқалатын әсерлерге ие болса, жүйенің жаһандық фазасы эксперименттік жағдайларда ажыратылмайды. Мысалы, екі күйдің суперпозициясындағы бөлшектің жаһандық фазасын байқалатын шаманың күтілетін мәнін табу арқылы немесе әртүрлі күйлерді байқау ықтималдығы арқылы анықтау мүмкін емес, бірақ салыстырмалы фазалар байқалатын шамалардың күтілетін мәндеріне әсер ете алады. Жүйенің жалпы фазасы белгісіз деп есептелгенімен, дайындалған суперпозиция күйінің әрбір күйінің салыстырмалы фазасын дайындалған күйдің физикалық мағынасына және оның симметриясына сәйкес анықтауға болады. Мысалы, x бағыты бойынша спиндік күйлерді z бағыты бойынша спиндік күйлердің суперпозициясы ретінде құру үшін z бағытындағы спинге тиісті айналу түрлендіруін қолдануға болады, бұл күйлердің бір-біріне қатысты дұрыс фазасын қамтамасыз етеді.

Уақыт тәуелділігі

Уақыттан тәуелсіз потенциалдардағы жүйелер үшін толқындық функция әрқашан уақыттан тәуелді фазалық факторға көбейтілген бостандық дәрежелерінің функциясы түрінде жазылуы мүмкін, оның түрі Шредингер теңдеуімен беріледі. N бөлшектен тұратын жүйе үшін, олардың координаттарын ғана қарастыра отырып және басқа бостандық дәрежелерін ескермей,

мұнда E – жүйенің энергияның өзіндік мәні, ол Ψ өзіндік күйіне сәйкес келеді. Осы түрдегі толқындық функциялар тұрақты күйлер деп аталады. Кванттық күй мен операторлардың уақытқа тәуелділігі операторлар мен күйлерге біртінделік түрлендірулер арқылы орналастырылуы мүмкін. Кез келген кванттық күй және O операторы үшін, Шредингер суретінде Ψ уақыт бойынша Шредингер теңдеуіне сәйкес өзгереді, ал O тұрақты болады. Гейзенберг суретінде керісінше, Ψ тұрақты болады, ал O(t) уақыт бойынша Гейзенберг қозғалыс теңдеуіне сәйкес эволюциялайды. Дирак (немесе өзара әрекеттесу) суреті орталық болып табылады, уақытқа тәуелділік операторлардың екеуіне де және қозғалыс теңдеулеріне сәйкес эволюциялайтын күйлерге де орналастырылады. Ол негізінен S-матрица элементтерін есептеуде пайдалы.

Релятивистік емес мысалдар

Төменде бір релятивистік емес спинсіз бөлшектің Шредингер теңдеуіне шешімдері келтірілген.

Толқын функциялары мен функциялық кеңістіктер

Функциялық кеңістіктер ұғымы толқындық функциялар туралы талқылауда табиғи түрде пайда болады. Функциялық кеңістік – функциялар жиынтығы, әдетте функцияларға қатысты белгілі бір анықтамалы талаптармен (олар квадратқа интегралданатын болуы керек), кейде жиынтықта алгебралық құрылыммен (осы жағдайда ішкі көбейтуі бар векторлық кеңістік құрылымы), сонымен қатар жиынтықта топологиямен бірге. Соңғысы мұнда сирек қолданылады, ол тек функциялық кеңістіктің ішкі жиынының жабық екенін нақты анықтау үшін ғана қажет. Төменде толқындық функциялардың функциялық кеңістігі Хилберт кеңістігі екені көрсетіледі. Бұл байқау кванттық механиканың басым математикалық формулировкасының негізі болып табылады.

Векторлық кеңістіктің құрылымы

Толқындық функция – функциялық кеңістіктің бір елемі, ол нақты және абстрактілі сипаттамалармен ішінара сипатталады. Шредингер теңдеуі сызықтық. Бұл, оның шешімдері – толқындық функциялар – жаңа шешім құру үшін сандармен қосылып, көбейтілуі мүмкін дегенді білдіреді. Шредингер теңдеуінің шешімдері жиынтығы – векторлық кеңістік. Кванттық механиканың суперпозиция принципі. Егер Ψ және Φ кванттық механикалық жүйенің абстрактілі күйлер кеңістігіндегі екі күй болса, ал a және b кез келген екі комплекс сан болса, онда aΨ + bΦ да жарамды күй болып табылады. (Нульдік вектор жарамды күй ("жүйе жоқ") санала ма, жоқ па – бұл анықтама мәселесі. Дегенмен, нөлдік вектор кванттық өріс теориясындағы вакуумдық күйді сипаттамайды.) Рұқсат етілген күйлер жиынтығы – векторлық кеңістік. Бұл ұқсастық, әрине, жай ғана кездейсоқтық емес. Сонымен қатар, ескеру қажет кеңістіктер арасындағы айырмашылықтар да бар.

Өкілдіктер

Негізгі күйлер кванттық сандар жиынтығымен сипатталады. Бұл – максималды коммутациялайтын бақылаулардың өзіндік мәндерінің жиынтығы. Физикалық бақылаулар векторлық кеңістікте сызықтық операторлармен, сондай-ақ бақылаулар деп аталады. Максималдылық дегеніміз – жинаққа алгебралық тәуелсіз, қазіргілермен коммутациялайтын қосымша бақылауларды қосу мүмкін емес екендігін білдіреді. Мұндай жиынтықты таңдауды өкілдік таңдау деп атауға болады. Кванттық механиканың постулаты бойынша, жүйедегі физикалық бақыланатын шама, мысалы, координата, импульс немесе спин, күй кеңістігінде сызықтық Гермиттік оператормен бейнеленеді. Шаманы өлшеудің мүмкін нәтижелері оператордың өзіндік мәндері болып табылады. Көбінесе, мүмкін барлық бақылаулар симметриялардың туындылары болып табылады. Физикалық тұрғыдан алғанда, мұндай жиын теориялық тұрғыдан бір мезгілде кез келген дәлдікпен өлшенетін нәрсені көрсетеді. Гейзенбергтің белгісіздік принципі екі коммутацияламайтын бақылауды бір мезгілде дәл өлшеуге тыйым салады. Бұл жиын бірегей емес. Мысалы, бір бөлшектік жүйе үшін бұл координата және спин z проекциясы (x, Sz) немесе импульс және спин y проекциясы (p, Sy) болуы мүмкін. Бұл жағдайда, координатаға сәйкес оператор (координаталық өкілдікте көбейту операторы) және импульске сәйкес оператор (координаталық өкілдікте дифференциалдық оператор) коммутацияламайды. Өкілдік таңдалғаннан кейін де белгілі бір еркіндік сақталады. Координата жүйесін таңдау қажет. Мысалы, бұл x, y және z осьтерін таңдауға немесе сутегі атомының толқындық функциялары үшін қолданылатын сфералық координаттар сияқты қисық сызықты координаттарды таңдауға сәйкес болуы мүмкін. Бұл соңғы таңдау абстрактілі Гильберт кеңістігіндегі негізді де анықтайды. Негізгі күйлер максималды коммутациялайтын бақылаулар жиынтығына және тиісті координата жүйесіне сәйкес келетін кванттық сандармен сипатталады. Абстрактілі күйлер тек оның нақты сипатталуы үшін қажетті кездейсоқ таңдау берілмегендіктен «абстрактілі» болып табылады. Бұл максималды коммутациялайтын бақылаулар жиынтығы таңдалмағанын айтумен бірдей. Бұл нақты негізі жоқ векторлық кеңістікке ұқсас. Сондықтан, бір күйге сәйкес келетін толқындық функциялар бірегей емес. Бұл бірегейлік максималды коммутациялайтын бақылаулар жиынтығын таңдаудағы бірегейлікке байланысты. Бір өлшемдегі бір спиндік бөлшектің белгілі бір күйіне екі толқындық функция сәйкес келеді: Ψ(x, Sz) және Ψ(p, Sy), екеуі де бірдей күйді сипаттайды. Абстрактілі күй кеңістігі үшін бақылаулардың максималды коммутациялайтын жиынтығының әр таңдауына толқындық функциялардың функциялық кеңістігіне байланысты сәйкес келетін өкілдік бар. Осы әр түрлі функциялық кеңістіктер мен абстрактілі күй кеңістігі арасында бір-бірге сәйкестік бар (нормалау және байқалмайтын фазалық факторларды ескермегенде), ортақ белгі осы абстрактілі күй болып табылады. Мысалы, бірдей күйді сипаттайтын импульс және координата кеңістігіндегі толқындық функциялар арасындағы байланыс Фурье түрлендіруі болып табылады. Әрбір өкілдік таңдауын осы өкілдік таңдауына сәйкес келетін толқындық функциялар тұратын бірегей функциялық кеңістікті анықтау ретінде қарастыру керек. Бұл айырмашылықты сақтаған жөн, тіпті егер екі функциялық кеңістік математикалық жағынан тең болуы мүмкін болса да, мысалы, квадраттық интегралданған функциялар жиынтығы. Содан кейін функциялық кеңістіктерді сол жиынның екі бөлек көшірмесі ретінде қарастыруға болады.

Basic states are characterized by a set of quantum numbers. This is a set of eigenvalues of a maximal set of commuting observables. Physical observables are represented by linear operators, also called observables, on the vectors space. Maximality means that there can be added to the set no further algebraically independent observables that commute with the ones already present. A choice of such a set may be called a choice of representation. It is a postulate of quantum mechanics that a physically observable quantity of a system, such as position, momentum, or spin, is represented by a linear Hermitian operator on the state space. The possible outcomes of measurement of the quantity are the eigenvalues of the operator. At a deeper level, most observables, perhaps all, arise as generators of symmetries. The physical interpretation is that such a set represents what can – in theory – simultaneously be measured with arbitrary precision. The Heisenberg uncertainty relation prohibits simultaneous exact measurements of two non commuting observables. The set is non unique. It may for a one particle system, for example, be position and spin z projection, (x, Sz), or it may be momentum and spin y projection, (p, Sy). In this case, the operator corresponding to position (a multiplication operator in the position representation) and the operator corresponding to momentum (a differential operator in the position representation) do not commute. Once a representation is chosen, there is still arbitrariness. It remains to choose a coordinate system. This may, for example, correspond to a choice of x, y and z axis, or a choice of curvilinear coordinates as exemplified by the spherical coordinates used for the Hydrogen atomic wave functions. This final choice also fixes a basis in abstract Hilbert space. The basic states are labeled by the quantum numbers corresponding to the maximal set of commuting observables and an appropriate coordinate system. The abstract states are "abstract" only in that an arbitrary choice necessary for a particular explicit description of it is not given. This is the same as saying that no choice of maximal set of commuting observables has been given. This is analogous to a vector space without a specified basis. Wave functions corresponding to a state are accordingly not unique. This non uniqueness reflects the non uniqueness in the choice of a maximal set of commuting observables. For one spin particle in one dimension, to a particular state there corresponds two wave functions, Ψ(x, Sz) and Ψ(p, Sy), both describing the same state. For each choice of maximal commuting sets of observables for the abstract state space, there is a corresponding representation that is associated to a function space of wave functions. Between all these different function spaces and the abstract state space, there are one to one correspondences (here disregarding normalization and unobservable phase factors), the common denominator here being a particular abstract state. The relationship between the momentum and position space wave functions, for instance, describing the same state is the Fourier transform. Each choice of representation should be thought of as specifying a unique function space in which wave functions corresponding to that choice of representation lives. This distinction is best kept, even if one could argue that two such function spaces are mathematically equal, e. g. being the set of square integrable functions. One can then think of the function spaces as two distinct copies of that set.

Ішкі өнім

Толқындық функциялардың векторлық кеңістіктерінде және абстрактілі күй кеңістігінде қосымша алгебралық құрылым бар. Физикалық тұрғыдан алғанда, әртүрлі толқындық функциялар белгілі бір дәрежеде бірімен-бірі қабаттасады деп түсіндіріледі. Φ күйімен қабаттаспайтын Ψ күйіндегі жүйе, өлшеу кезінде Φ күйінде табылмайды. Бірақ егер Φ1, Φ2 Ψ-мен белгілі бір дәрежеде қабаттасса, онда Ψ-мен сипатталған жүйенің өлшемі Φ1, Φ2 күйлерінде табылуы мүмкін. Сонымен қатар, таңдау ережелері де сақталады. Бұл әдетте, кейбір кванттық сандардың сақталуымен формулировкаланады. Бұл, кейбір көзқарас бойынша рұқсат етілген процестердің (мысалы, энергия мен импульстің сақталуы) болмауына себеп болады, себебі бастапқы және соңғы жалпы толқындық функциялар бірімен-бірі қабаттаспайды. Математикалық тұрғыдан алғанда, Шредингер теңдеуінің нақты потенциалдар үшін шешімдері белгілі бір жағдайда ортогоналды болып келеді, бұл әдетте интегралмен сипатталады, онда m, n – әртүрлі шешімдерді белгілейтін индекстердің (кванттық сандардың) жиынтығы, қатаң оң функция w – салмақ функциясы деп аталады, ал δmn – Кронекер дельтасы. Интеграл барлық қатысты кеңістік бойынша алынады. Бұл, абстрактілі кванттық күйлердің векторлық кеңістігінде ішкі көбейтіндіні енгізуге ынталандырады, ол жоғарыдағы математикалық байқаулармен үйлеседі, бейнелеуге өткеде. Ол (Ψ, Φ) деп белгіленеді, немесе Bra-ket белгілемесінде күрделі санды береді. Ішкі көбейтіндісі бар функциялық кеңістік – ішкі көбейтінді кеңістігі. Ішкі көбейтіндінің нақты көрінісі (әдетте интеграл немесе интегралдардың қосындысы) бейнелеу таңдауына байланысты, бірақ күрделі сан (Ψ, Φ) байланысты емес. Кванттық механиканың көптеген физикалық интерпретациялары Борн ережесінен туындайды. Ол, жүйе Ψ күйінде болғанда, өлшеу кезінде Φ күйін табу ықтималдығы p,

тең, мұнда Φ және Ψ нормаланған деп есептеледі. Шашырау экспериментін қарастырайық. Кванттық өріс теориясында, егер Φout шашырау бөлшектерінің өзара әрекеттесуі тоқтағаннан кейін "алыс болашақтағы" ("шығу күйін") сипаттаса, ал Ψin – "алыс өткендегі" "кіру күйін", онда (Φout, Ψin) шамалары, Φout және Ψin сәйкесінше кіру және шығу күйлерінің толық жиынтығы бойынша өзгере отырып, S матрицасы немесе шашырау матрицасы деп аталады. Оны білу, болжамдар тұрғысынан алғанда, қолдағы теорияны шешкенмен тең. S матрицасынан ыдырау жылдамдықтары және шашырау қималары сияқты өлшенетін шамаларды есептеуге болады.

Гилберт кеңістігі

Жоғарыда келтірілген байқаулар толқындық функциялардың элементтері болатын функциялық кеңістіктердің мәнін қамтиды. Дегенмен, сипаттама әлі толық емес. Функциялық кеңістікке қосымша техникалық талап бар – толықтық, ол функциялық кеңістіктегі тізбектердің лиміттерін алуға және егер лимит болса, оның функциялық кеңістіктің элементі екеніне көз жеткізуге мүмкіндік береді. Толық ішкі көбейтінді кеңістігі Гилберт кеңістігі деп аталады. Толықтық қасиеті кванттық механиканың жоғары деңгейдегі қарастырылуы мен қолданылуында маңызды рөл атқарады. Мысалы, проекция операторларының немесе ортогональды проекциялардың болуы кеңістіктің толықтығына байланысты. Бұл проекция операторлары, өз кезегінде, көптеген пайдалы теоремаларды, мысалы, спектральдық теореманы тұжырымдау және дәлелдеу үшін қажет. Бұл кванттық механикаға кіріспе ретінде аса маңызды емес, ал техникалық егжей-тегжейлі мәліметтер мен сілтемелерді төмендегі ескертулерде табуға болады. L^(2) кеңістігі – Гилберт кеңістігі, оның ішкі көбейтіндісі кейін ұсынылады. Суреттегі мысалдың функциялық кеңістігі L^(2) кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады. Гилберт кеңістігінің ішкі кеңістігі, егер ол жабық болса, Гилберт кеңістігі болып табылады. Қорыта айтқанда, белгілі бір базистің таңдалуымен жүйе үшін барлық мүмкін нормаланатын толқындық функциялар жиыны, нөлдік вектормен бірге, Гилберт кеңістігін құрайды. Барлық қызығушылық тудыратын функциялар кейбір Гилберт кеңістігінің элементтері емес, мысалы, L^(2). Ең айқын мысал – функциялар жиыны. Бұл еркін бөлшектің Шредингер теңдеуінің жазық толқындық шешімдері, бірақ нормалана алмайды, сондықтан L^(2) кеңістігіне жатпайды. Бірақ олар сипаттама үшін өте маңызды. Оларды пайдаланып, толқындық пакеттер арқылы нормаланатын функцияларды беруге болады. Олар белгілі бір мағынада базис (бірақ Гилберт кеңістігінің базисі немесе Гамель базисі емес) болып табылады, онда қызығушылық тудыратын толқындық функцияларды беруге болады. Сонымен қатар, жиі жазбаларды ыңғайлы ету үшін қолданылатын «дельта функциясына нормалау» артефакті де бар, толығырақ төменде қараңыз. Дельта функциялары да квадраттық интегралдана алмайды. Жоғарыдағы толқындық функцияларды қамтитын функциялық кеңістіктің сипаттамасы негізінен математикалық тұрғыдан негізделген. Функциялық кеңістіктер толықтығының арқасында белгілі бір мағынада өте кең. Барлық функциялар да физикалық жүйенің нақты сипаттамасы болып табылмайды. Мысалы, L^(2) функциялық кеңістігінде барлық рационал сандар үшін 0 және [0, 1] аралығындағы иррационал сандар үшін i мәнін қабылдайтын функцияны табуға болады. Бұл квадраттық интегралданады, бірақ физикалық күйді бейнелеуі қиын.

The above observations encapsulate the essence of the function spaces of which wave functions are elements. However, the description is not yet complete. There is a further technical requirement on the function space, that of completeness, that allows one to take limits of sequences in the function space, and be ensured that, if the limit exists, it is an element of the function space. A complete inner product space is called a Hilbert space. The property of completeness is crucial in advanced treatments and applications of quantum mechanics. For instance, the existence of projection operators or orthogonal projections relies on the completeness of the space. These projection operators, in turn, are essential for the statement and proof of many useful theorems, e. g. the spectral theorem. It is not very important in introductory quantum mechanics, and technical details and links may be found in footnotes like the one that follows. The space L^(2) is a Hilbert space, with inner product presented later. The function space of the example of the figure is a subspace of L^(2). A subspace of a Hilbert space is a Hilbert space if it is closed. In summary, the set of all possible normalizable wave functions for a system with a particular choice of basis, together with the null vector, constitute a Hilbert space. Not all functions of interest are elements of some Hilbert space, say L^(2). The most glaring example is the set of functions These are plane wave solutions of the Schrödinger equation for a free particle, but are not normalizable, hence not in L^(2). But they are nonetheless fundamental for the description. One can, using them, express functions that are normalizable using wave packets. They are, in a sense, a basis (but not a Hilbert space basis, nor a Hamel basis) in which wave functions of interest can be expressed. There is also the artifact "normalization to a delta function" that is frequently employed for notational convenience, see further down. The delta functions themselves are not square integrable either. The above description of the function space containing the wave functions is mostly mathematically motivated. The function spaces are, due to completeness, very large in a certain sense. Not all functions are realistic descriptions of any physical system. For instance, in the function space L^(2) one can find the function that takes on the value 0 for all rational numbers and i for the irrationals in the interval [0, 1]. This is square integrable,
but can hardly represent a physical state.

Ортақ Гилберт кеңістіктері

Ерітінділер кеңістігі тұтастай алғанда Гилберт кеңістігі болса да, жиі қолданылатын ингредиенттер ретінде қызмет ететін көптеген басқа Гилберт кеңістіктері де бар. Интервалдағы квадраттық интегралға ие күрделі мәнді функциялар жинағы {e^(int)/2π, n ∈ 'Z'} – максималды ортонормальды жиын, яғни Гилберт кеңістігінің негізі. Фурье түрлендірмесі жоғарыдағы кеңістіктегі функцияларды 'Z' → 'C' кеңістігіндегі квадраттық жиынтық функциялар кеңістігі l^(2)('Z') элементтеріне айналдырады. Бұл соңғы кеңістік – Гилберт кеңістігі, ал Фурье түрлендірмесі – Гилберт кеңістіктерінің изоморфизмі. Оның негізі {ei, i ∈ 'Z'} болып табылады, мұнда 1=ei(j) = δij, i, j ∈ 'Z'. Көптамаларды кеңейтудің ең қарапайым мысалы – интервалдағы квадраттық интегралға ие функциялар кеңістігі, онда Лежандр көптамалары Гилберт кеңістігінің негізін (толық ортонормальды жиын) құрайды. Бірлік сферадағы S^(2) квадраттық интегралға ие функциялар кеңістігі – Гилберт кеңістігі. Бұл жағдайда негізгі функциялар сфералық гармоникалар болып табылады. Лежандр полиномдары сфералық гармоникалардың құрамдас бөліктері болып табылады. Ротациялық симметрияға ие көптеген проблемалар сол симметрияға қатысты "бірдей" (белгілі) шешімге ие болады, сондықтан бастапқы проблема төмен өлшемділікке дейін қарапайымдастырылады. Сфералық гармоникаларды ескере отырып, Лагердің байланысты полиномдары сутектік толқындық функциялар мәселесінде пайда болады. Бұлар жартылай шексіз интервалдағы квадраттық интегралға ие функциялардың Гилберт кеңістігін құрайды. Көбінесе, Sturm–Liouville теңдеулерінің барлық екінші реттік полиномиалдық шешімдерін Гилберт кеңістігінің аясында біріктірілген түрде қарастыруға болады. Бұларға Лежандр және Лагер полиномдары, сондай-ақ Чебышев полиномдары, Якоби полиномдары және Гермит полиномдары кіреді. Бұлардың барлығы физикалық проблемаларда кездеседі, соңғылары гармоникалық осцилляторда, ал ерекше функциялардың қасиеттерінің түсініксіз лабиринты ұйымдастырылған фактілер жиынтығына айналады. Толығырақ ақпарат алу үшін қараңыз: Сондай-ақ, шекті өлшемді Гилберт кеңістіктері де бар. C^(n) кеңістігі n өлшемді Гилберт кеңістігі болып табылады. Ішкі көбейтінді – бұл кеңістіктердегі стандартты ішкі көбейтінді. Онда бір бөлшектің толқындық функциясының "спин бөлігі" орналасқан. Электронды релятивистік емес тұрғысынан қарағанда 1=n = 2 және жалпы толқындық функция Паули теңдеуінің шешімі болып табылады. Тиісті релятивистік тұрғысынан қарағанда 1=n = 4 және толқындық функция Дирак теңдеуін шешеді. Көп бөлшектер болғанда жағдай күрделірек болады. Тензорлық көбейтінділерді қолдану және қатысты симметрия топтарының (айналу тобы және Лоренц тобы) бейнелеу теориясын пайдалану арқылы тензорлық көбейтіндіден (жалпы) спиндік толқындық функциялар орналасқан кеңістіктерді бөліп алу қажет. (Бөлшектер еркін болмаса, релятивистік жағдайда қосымша мәселелер туындайды. Бетхе-Сальпетер теңдеуін қараңыз.) Изоспин түсінігіне де ұқсас ескертулер қатысты, оның симметрия тобы SU(2) болып табылады. Алпысыншы жылдардың ядролық күштерінің модельдері (қазір де пайдалы, ядролық күшті қараңыз) SU(3) симметрия тобын қолданды. Бұл жағдайда да толқындық функциялардың ішкі симметрияларға сәйкес бөлігі кейбір C^(n) немесе осындай кеңістіктердің тензорлық көбейтінділерінің кіші кеңістіктерінде орналасқан. Кванттық өріс теориясында негізгі Гилберт кеңістігі – Фок кеңістігі. Ол еркін бір бөлшектік күйлерден, яғни бейнелеу таңдалған кездегі толқындық функциялардан құрылады және кез келген шекті, уақыт бойынша тұрақты емес бөлшектер санын қабылдай алады. Қызықты (немесе дұрыс айтқанда, шешілетін) динамика толқындық функцияларда емес, Фок кеңістігінде әрекет ететін өрістік операторларда жатыр. Осылайша, Хайзенберг суреті ең көп қолданылатын таңдау болып табылады (тұрақты күйлер, уақыт бойынша өзгеретін операторлар). Жүйенің шексіз өлшемді табиғатына байланысты, тиісті математикалық құралдар функционалдық талдауда зерттеу нысаны болып табылады.

While the space of solutions as a whole is a Hilbert space there are many other Hilbert spaces that commonly occur as ingredients. Square integrable complex valued functions on the interval The set {e^(int)/2π, n ∈ 'Z'} is a Hilbert space basis, i. e. a maximal orthonormal set. The Fourier transform takes functions in the above space to elements of l^(2)('Z'), the space of square summable functions 'Z' → 'C'. The latter space is a Hilbert space and the Fourier transform is an isomorphism of Hilbert spaces. Its basis is {ei, i ∈ 'Z'} with 1=ei(j) = δij, i, j ∈ 'Z'. The most basic example of spanning polynomials is in the space of square integrable functions on the interval for which the Legendre polynomials is a Hilbert space basis (complete orthonormal set). The square integrable functions on the unit sphere S^(2) is a Hilbert space. The basis functions in this case are the spherical harmonics. The Legendre polynomials are ingredients in the spherical harmonics. Most problems with rotational symmetry will have "the same" (known) solution with respect to that symmetry, so the original problem is reduced to a problem of lower dimensionality. The associated Laguerre polynomials appear in the hydrogenic wave function problem after factoring out the spherical harmonics. These span the Hilbert space of square integrable functions on the semi infinite interval
More generally, one may consider a unified treatment of all second order polynomial solutions to the Sturm–Liouville equations in the setting of Hilbert space. These include the Legendre and Laguerre polynomials as well as Chebyshev polynomials, Jacobi polynomials and Hermite polynomials. All of these actually appear in physical problems, the latter ones in the harmonic oscillator, and what is otherwise a bewildering maze of properties of special functions becomes an organized body of facts. For this, see
There occurs also finite dimensional Hilbert spaces. The space 'C'^(n) is a Hilbert space of dimension n. The inner product is the standard inner product on these spaces. In it, the "spin part" of a single particle wave function resides. In the non relativistic description of an electron one has 1=n = 2 and the total wave function is a solution of the Pauli equation. In the corresponding relativistic treatment, 1=n = 4 and the wave function solves the Dirac equation. With more particles, the situations is more complicated. One has to employ tensor products and use representation theory of the symmetry groups involved (the rotation group and the Lorentz group respectively) to extract from the tensor product the spaces in which the (total) spin wave functions reside. (Further problems arise in the relativistic case unless the particles are free. See the Bethe–Salpeter equation.) Corresponding remarks apply to the concept of isospin, for which the symmetry group is SU(2). The models of the nuclear forces of the sixties (still useful today, see nuclear force) used the symmetry group SU(3). In this case, as well, the part of the wave functions corresponding to the inner symmetries reside in some 'C'^(n) or subspaces of tensor products of such spaces. In quantum field theory the underlying Hilbert space is Fock space. It is built from free single particle states, i. e. wave functions when a representation is chosen, and can accommodate any finite, not necessarily constant in time, number of particles. The interesting (or rather the tractable) dynamics lies not in the wave functions but in the field operators that are operators acting on Fock space. Thus the Heisenberg picture is the most common choice (constant states, time varying operators). Due to the infinite dimensional nature of the system, the appropriate mathematical tools are objects of study in functional analysis.

Қарапайым сипаттама

Барлық кіріспе оқулықтары толық Гильберт кеңістігін пайдалануды қажет етпейді, бірақ назар белгілі бір стандартты потенциалдар үшін позициялық өрнектегі релятивистік емес Шредингер теңдеуіне шоғырланады. Есептеулер мен физикалық түсіндірудің дұрыс болуы үшін толқындық функцияға келесі шектеулер кейде нақты қойылады:

Толқындық функция квадраттық интегралдануы керек. Бұл Копенгагендік интерпретация бойынша толқындық функцияның ықтималдық амплитудасы ретінде қарастырылуымен байланысты. Ол кез келген нүктеде үздіксіз және кез келген нүктеде үздіксіз дифференциалдануы тиіс. Бұл физикалық тұрғыдан негізді потенциалдардың көпшілігі үшін Шредингер теңдеуінің пайда болуымен түсіндіріледі. Бұл талаптарды белгілі бір жағдайларда жеңілдетуге болады. Егер бұл талаптар орындалмаса, толқындық функцияны ықтималдық амплитудасы ретінде қарастыру мүмкін емес. Потенциал өрісінің шексіз үзіліс нүктелерінде туындылардың үздіксіздік ережесінен ауытқулар болуы мүмкін екеніне назар аударыңыз. Мысалы, «қораптағы бөлшек» мысалында толқындық функцияның туындысы, потенциалы шексіз үзіліс болатын қораптың шекарасында үздіксіз болмауы мүмкін. Бұл осы толқындық функциялардың орналасқан Гильберт кеңістігінің құрылымын өзгертпейді, бірақ екінші талапты қанағаттандыратын квадраттық интегралданатын функциялардың L^(2) кеңістігіндегі кіші кеңістігі жабық емес, сондықтан өзі Гильберт кеңістігі болып табылмайды. Бұл талаптарға сәйкес келмейтін функциялар техникалық және практикалық себептермен де қажет.

Онтология

Толқындық функцияның шынымен бар болуы және ол нені білдіретіні – кванттық механиканы түсіндірудегі маңызды мәселелер. Өткен буынның көптеген белгілі физиктері, мысалы Шредингер, Эйнштейн және Бор, осы мәселені шешуге тырысты. Кейбіреулер Копенгагендік интерпретацияның формулировкаларын немесе түрлерін жақтаса (мысалы, Бор, Вигнер және фон Нейман), ал басқалары, Уилер немесе Джейнес сияқты, көбірек классикалық көзқарас ұстанады және толқындық функцияны бақылаушының санасындағы ақпаратты білдіретін нәрсе деп қарастырады, яғни шындық туралы біліміміздің өлшемі. Шредингер, Бом және Эверетт сияқтылар толқындық функцияның объективті, физикалық болуы керек деп сараптап айтты. Эйнштейн физикалық шындықтың толық сипаттамасы физикалық кеңістік пен уақытқа тікелей сілтеме жасауы тиіс деп ойлады, бұл толқындық функциядан ерекшеленеді, себебі толқындық функция абстрактілі математикалық кеңістікке сілтеме жасайды.