Кванттық механиканың математикалық құрылымы

Кіріспе

Кванттық механиканы түсіндіруге мүмкіндік беретін математикалық құрылымдар. Кванттық механиканың математикалық формулалары – кванттық механиканы қатаң сипаттауға мүмкіндік беретін математикалық формализмдер. Бұл математикалық формализм негізінен функционалдық талдаудың бір бөлігін, әсіресе сызықтық кеңістіктің бір түрі болып табылатын Гильберт кеңістіктерін пайдаланады. Мұндай формализмдер 1900 жылдардың басына дейін дамыған физика теорияларының математикалық формализмдерінен шексіз өлшемді Гильберт кеңістіктері (негізінен L2 кеңістігі) және осы кеңістіктердегі операторлар сияқты абстрактілі математикалық құрылымдарды қолдану арқылы ерекшеленеді. Қысқаша айтқанда, энергия және импульс сияқты физикалық шамалар енді фазалық кеңістіктегі функциялардың мәндері ретінде емес, өзіндік мәндер ретінде қарастырылды; дәлірек айтқанда, Гильберт кеңістігіндегі сызықтық операторлардың спектрлік мәндері ретінде. Кванттық механиканың осы формулалары бүгінгі күні де қолданылуда. Сипаттаманың негізінде кванттық күй және кванттық шамалар туралы идеялар жатыр, олар физикалық шындықтың бұрынғы модельдерінде қолданылғандарынан түбегейлі өзгеше. Математика эксперименттік түрде өлшеуге болатын көптеген шамаларды есептеуге мүмкіндік берсе де, бір мезгілде өлшенетін мәндерге нақты теориялық шектеу бар. Бұл шектеуді алғаш рет Хайзенберг ой эксперименті арқылы анықтады және жаңа формализмде кванттық шамаларды білдіретін операторлардың антикоммутативтілігі арқылы математикалық түрде бейнеленеді. Кванттық механика жеке теория ретінде дамуына дейін физикада қолданылатын математика негізінен формалды математикалық талдаудан, есептеуден басталып, дифференциалдық геометрия және дербес дифференциалдық теңдеулерге дейін күрделілік деңгейін арттырды. Ықтималдықтар теориясы статистикалық механикада қолданылды. Геометриялық түйсік алғашқы екеуінде маңызды рөл атқарды, сондықтан салыстырмалылық теориясы толығымен дифференциалдық геометриялық ұғымдар тұрғысынан қалыптастырылды. Кванттық физиканың феноменологиясы шамамен 1895 және 1915 жылдар аралығында пайда болды, ал кванттық механиканың дамуына дейін (1925 жыл шамасында) 10-15 жыл бойы физиктер кванттық теорияны қазір классикалық физика деп аталатын және әсіресе сол математикалық құрылымдар шегінде қарастыра берді. Бұның ең күрделі мысалы – Сомерфельд-Уилсон-Ишивара кванттау ережесі, ол толығымен классикалық фазалық кеңістікте тұжырымдалған.

Mathematical structures that allow quantum mechanics to be explained

The mathematical formulations of quantum mechanics are those mathematical formalisms that permit a rigorous description of quantum mechanics. This mathematical formalism uses mainly a part of functional analysis, especially Hilbert spaces, which are a kind of linear space. Such are distinguished from mathematical formalisms for physics theories developed prior to the early 1900s by the use of abstract mathematical structures, such as infinite dimensional Hilbert spaces (L2 space mainly), and operators on these spaces. In brief, values of physical observables such as energy and momentum were no longer considered as values of functions on phase space, but as eigenvalues; more precisely as spectral values of linear operators in Hilbert space. These formulations of quantum mechanics continue to be used today. At the heart of the description are ideas of quantum state and quantum observables, which are radically different from those used in previous models of physical reality. While the mathematics permits calculation of many quantities that can be measured experimentally, there is a definite theoretical limit to values that can be simultaneously measured. This limitation was first elucidated by Heisenberg through a thought experiment, and is represented mathematically in the new formalism by the non commutativity of operators representing quantum observables. Prior to the development of quantum mechanics as a separate theory, the mathematics used in physics consisted mainly of formal mathematical analysis, beginning with calculus, and increasing in complexity up to differential geometry and partial differential equations. Probability theory was used in statistical mechanics. Geometric intuition played a strong role in the first two and, accordingly, theories of relativity were formulated entirely in terms of differential geometric concepts. The phenomenology of quantum physics arose roughly between 1895 and 1915, and for the 10 to 15 years before the development of quantum mechanics (around 1925) physicists continued to think of quantum theory within the confines of what is now called classical physics, and in particular within the same mathematical structures. The most sophisticated example of this is the Sommerfeld–Wilson–Ishiwara quantization rule, which was formulated entirely on the classical phase space.

"Ескі кванттық теория" және жаңа математиканың қажеттілігі

1890 жылдары Планк қара дене спектрін шығара алды, ол кейіннен классикалық ультракөк сәулелену катастрофасынан құтылу үшін қолданылды. Ол электромагниттік сәулеленудің материямен өзара әрекеттесуінде энергияның тек дискретті бірліктермен ғана алмасып, оларды кванттар деп атады деген қалыптан тыс болжам жасады. Планк сәулеленудің жиілігі мен сол жиіліктегі энергия кванты арасында тікелей пропорционалдылық бар екенін постулаттады. Бұл пропорционалдылық тұрақтысы, h, қазір оның құрметіне Планк тұрақтысы деп аталады. 1905 жылы Эйнштейн фотоэлектрлік эффектінің кейбір ерекшеліктерін Планктың энергия кванттарының нақты бөлшектер екені деп болжап түсіндірді, олар кейін фотондар деп аталды. Бұл барлық жаңалықтар феноменологиялық сипатта болды және сол кездегі теориялық физикаға қарсы шықты. Бор және Сомерфельд Бор моделін бастапқы қағидалардан шығаруға тырысып, классикалық механиканы өзгертуге көшті. Олар механикалық жүйенің фазалық кеңістігіндегі барлық жабық классикалық орбиталардың тек Планк тұрақтысының еселігіне тең ауданды қамтитын орбиталар ғана рұқсат етілетінін ұсынды. Бұл формализмнің ең күрделі нұсқасы Сомерфельд-Уилсон-Ишивара квантталуы деп аталды. Сутек атомының Бор моделі осылай түсіндірілгенімен, гелий атомының спектрін (классикалық тұрғыдан шешілмейтін үш дене проблемасы) болжау мүмкін болмады. Кванттық теорияның математикалық мәртебесі біраз уақытқа дейін белгісіз күйде қалды. 1923 жылы де Бройль толқын-бөлшектік дуалдық принципінің тек фотондарға ғана емес, сонымен қатар электрондарға және басқа да кез келген физикалық жүйелерге де қатысты екенін ұсынды. 1925-1930 жылдары жағдай тез өзгерді, Эруин Шредингер, Вернер Гейзенберг, Макс Борн, Паскуаль Джордан және Джон фон Нейман, Герман Вейл мен Пол Дирактың негізгі еңбектері арқылы математикалық негіздер табылды, соның нәтижесінде жаңа идеялар жиынтығы негізінде бірнеше түрлі тәсілдерді біріктіруге мүмкіндік туды. Теорияның физикалық интерпретациясы осы жылдары Вернер Гейзенберг белгісіздік қатынастарын ашқаннан кейін және Нильс Бор толықтыру идеясын енгізгеннен кейін нақтыланды.

In the 1890s, Planck was able to derive the blackbody spectrum, which was later used to avoid the classical ultraviolet catastrophe by making the unorthodox assumption that, in the interaction of electromagnetic radiation with matter, energy could only be exchanged in discrete units which he called quanta. Planck postulated a direct proportionality between the frequency of radiation and the quantum of energy at that frequency. The proportionality constant, h, is now called Planck's constant in his honor. In 1905, Einstein explained certain features of the photoelectric effect by assuming that Planck's energy quanta were actual particles, which were later dubbed photons. All of these developments were phenomenological and challenged the theoretical physics of the time. Bohr and Sommerfeld went on to modify classical mechanics in an attempt to deduce the Bohr model from first principles. They proposed that, of all closed classical orbits traced by a mechanical system in its phase space, only the ones that enclosed an area which was a multiple of Planck's constant were actually allowed. The most sophisticated version of this formalism was the so called Sommerfeld–Wilson–Ishiwara quantization. Although the Bohr model of the hydrogen atom could be explained in this way, the spectrum of the helium atom (classically an unsolvable 3 body problem) could not be predicted. The mathematical status of quantum theory remained uncertain for some time. In 1923, de Broglie proposed that wave–particle duality applied not only to photons but to electrons and every other physical system. The situation changed rapidly in the years 1925–1930, when working mathematical foundations were found through the groundbreaking work of Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan, and the foundational work of John von Neumann, Hermann Weyl and Paul Dirac, and it became possible to unify several different approaches in terms of a fresh set of ideas. The physical interpretation of the theory was also clarified in these years after Werner Heisenberg discovered the uncertainty relations and Niels Bohr introduced the idea of complementarity.

"Жаңа кванттық теория"

Вернер Гейзенбергтің матрицалық механикасы атомдық спектрлердің байқалатын квантталуын қайта жасай білген алғашқы сәтті әрекет болды. Сол жылы Шредингер толқындық механиканы құрды. Шредингердің формализмі физиктердің шешуге үйренген дифференциалдық теңдеулерге алып келгендіктен, оны түсіну, көру және есептеу оңайырақ деп есептелді. Бір жыл ішінде екі теорияның эквивалентті екені көрсетілді. Шредингердің өзі кванттық механиканың негізгі ықтималдық сипатын бастапқыда түсінбеді, себебі ол электронның толқындық функциясының абсолютті квадраты кеңістікте тараған, мүмкін шексіз көлемдегі объектінің заряд тығыздығы ретінде интерпретациялануы керек деп ойлады. Макс Борн толқындық функцияның абсолютті квадратын нүктелі объектінің орналасуының ықтималдық таралымы ретінде түсіндіруді енгізді. Борнның идеясын Нильс Бор Копенгагенде тез қабылдады, ол кейін кванттық механиканың Копенгагендік интерпретациясының «әкесі» атанды. Шредингердің толқындық функциясы классикалық Гамильтон-Жакоби теңдеуімен тығыз байланысты екенін көруге болады. Классикалық механикаға сәйкестік Гейзенбергтің матрицалық механикасында одан да нақтырақ, бірақ сәл ресмирақ болды. Докторлық диссертациясында Пол Дирак Гейзенбергтік бейнелеудегі операторлар теңдеуінің, қазіргідей аталатынының, классикалық механиканың Гамильтондық формализміндегі белгілі бір шамалардың динамикасы үшін классикалық теңдеулерге ұқсас екенін анықтады, оларды Пуассон жақшалары арқылы өрнектелгенде, қазір канондық кванттау деп аталады. Нақтырақ айтқанда, Шредингерден бұрын жас постдокторант Вернер Гейзенберг өзінің матрицалық механикасын ойлап тапты, ол бірінші дұрыс кванттық механика болды – маңызды жаңалық. Гейзенбергтің матрицалық механикалық формуласы шексіз матрицалардың алгебраларына негізделген, классикалық физика математикасының тұрғысынан қарағанда өте радикалды формула, бірақ ол сол кездегі экспериментаторлардың индекс терминологиясынан бастады, тіпті оның «индекстік схемалары» матрицалар екенін білмейтін, өйткені Борн оған көп ұзамай көрсетті. Шындығында, сол жылдары сызықтық алгебра физиктер арасында кең таралған жоқ. Шредингердің өзі бір жылдан кейін толқындық механикасы мен Гейзенбергтің матрицалық механикасының эквивалентті екенін дәлелдесе де, екі тәсілдің үйлесуі және олардың қазіргі заманғы абстракциясы Гильберт кеңістігіндегі қозғалыстар ретінде көбінесе Пол Диракқа жатады, ол 1930 жылғы «Кванттық механиканың қағидалары» атты классикалық еңбегінде нақты есеп берді. Ол осы саланың үшінші және, мүмкін, ең маңызды тірегі (оның өзі теорияның релятивистік жалпылануын ашқан жалғыз адам болды). Аталған еңбегінде ол функционалдық талдауда қолданылатын Гильберт кеңістігі тұрғысынан абстрактілі тұжырымдамамен бірге бра-кет нотациясын енгізді; ол Шредингер мен Гейзенбергтің тәсілдерінің бір теорияның екі түрлі бейнеленуі екенін көрсетті және жүйенің динамикасын сипаттайтын үшінші, ең жалпы түрін тапты. Оның жұмысы осы саланың көптеген жалпылауларында өте жемісті болды. Бұл тәсілдің алғашқы толық математикалық тұжырымдамасы Дирак-фон Нейман аксиомалары деп аталады, әдетте Джон фон Нейманның 1932 жылғы «Кванттық механиканың математикалық негіздері» кітабына жатқызылады, бірақ Герман Вейль 1927 жылғы классикалық мақаласында және кітабында Гильберт кеңістіктеріне (ол оларды унитарлық кеңістіктер деп атады) сілтеме жасаған. Ол бір буын бұрын Дэвид Гильберттің әдісі болған квадраттық формаларға қарағанда сызықтық операторларға негізделген жаңа математикалық спектрлік теориямен бірге дамыды. Кванттық механика теориясы бүгінгі күнге дейін дамып келе жатқанмен, кванттық механиканың математикалық тұжырымдамасының негізгі құрылымы бар, ол көптеген тәсілдерге негізделген және оны Джон фон Нейманның математикалық жұмысына дейін табуға болады. Басқаша айтқанда, теорияны интерпретациялау және оны кеңейту туралы пікірталастар қазір көбінесе математикалық негіздер туралы ортақ болжамдар негізінде жүргізіледі.

Werner Heisenberg's matrix mechanics was the first successful attempt at replicating the observed quantization of atomic spectra. Later in the same year, Schrödinger created his wave mechanics. Schrödinger's formalism was considered easier to understand, visualize and calculate as it led to differential equations, which physicists were already familiar with solving. Within a year, it was shown that the two theories were equivalent. Schrödinger himself initially did not understand the fundamental probabilistic nature of quantum mechanics, as he thought that the absolute square of the wave function of an electron should be interpreted as the charge density of an object smeared out over an extended, possibly infinite, volume of space. It was Max Born who introduced the interpretation of the absolute square of the wave function as the probability distribution of the position of a pointlike object. Born's idea was soon taken over by Niels Bohr in Copenhagen who then became the "father" of the Copenhagen interpretation of quantum mechanics. Schrödinger's wave function can be seen to be closely related to the classical Hamilton–Jacobi equation. The correspondence to classical mechanics was even more explicit, although somewhat more formal, in Heisenberg's matrix mechanics. In his PhD thesis project, Paul Dirac discovered that the equation for the operators in the Heisenberg representation, as it is now called, closely translates to classical equations for the dynamics of certain quantities in the Hamiltonian formalism of classical mechanics, when one expresses them through Poisson brackets, a procedure now known as canonical quantization. To be more precise, already before Schrödinger, the young postdoctoral fellow Werner Heisenberg invented his matrix mechanics, which was the first correct quantum mechanics–– the essential breakthrough. Heisenberg's matrix mechanics formulation was based on algebras of infinite matrices, a very radical formulation in light of the mathematics of classical physics, although he started from the index terminology of the experimentalists of that time, not even aware that his "index schemes" were matrices, as Born soon pointed out to him. In fact, in these early years, linear algebra was not generally popular with physicists in its present form. Although Schrödinger himself after a year proved the equivalence of his wave mechanics and Heisenberg's matrix mechanics, the reconciliation of the two approaches and their modern abstraction as motions in Hilbert space is generally attributed to Paul Dirac, who wrote a lucid account in his 1930 classic The Principles of Quantum Mechanics. He is the third, and possibly most important, pillar of that field (he soon was the only one to have discovered a relativistic generalization of the theory). In his above mentioned account, he introduced the bra–ket notation, together with an abstract formulation in terms of the Hilbert space used in functional analysis; he showed that Schrödinger's and Heisenberg's approaches were two different representations of the same theory, and found a third, most general one, which represented the dynamics of the system. His work was particularly fruitful in many types of generalizations of the field. The first complete mathematical formulation of this approach, known as the Dirac–von Neumann axioms, is generally credited to John von Neumann's 1932 book Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, although Hermann Weyl had already referred to Hilbert spaces (which he called unitary spaces) in his 1927 classic paper and book. It was developed in parallel with a new approach to the mathematical spectral theory based on linear operators rather than the quadratic forms that were David Hilbert's approach a generation earlier. Though theories of quantum mechanics continue to evolve to this day, there is a basic framework for the mathematical formulation of quantum mechanics which underlies most approaches and can be traced back to the mathematical work of John von Neumann. In other words, discussions about interpretation of the theory, and extensions to it, are now mostly conducted on the basis of shared assumptions about the mathematical foundations.

Кванттық механиканың постулаттары

Физикалық жүйе әдетте үш негізгі компонентпен сипатталады: күйлер; байқалатын шамалар; және динамика (немесе уақыт бойынша эволюция заңы) немесе, жалпы алғанда, физикалық симметриялар тобы. Классикалық сипаттаманы механиканың фазалық кеңістік моделі арқылы шамалы тікелей беруге болады: күйлер – симплектикалық көпқырлымен құрылған фазалық кеңістіктегі нүктелер, байқалатын шамалар – ондағы нақты мәнді функциялар, уақыт бойынша эволюция – фазалық кеңістіктің симплектикалық түрлендірулерінің бір параметрлік тобы арқылы беріледі, ал физикалық симметриялар симплектикалық түрлендірулермен іске асырылады. Кванттық сипаттама әдетте күйлердің Гильберт кеңістігінен тұрады, байқалатын шамалар – күйлер кеңістігіндегі өзіне-қоса операторлар, уақыт бойынша эволюция – күйлердің Гильберт кеңістігіндегі унитарлық түрлендірулердің бір параметрлік тобы арқылы беріледі, ал физикалық симметриялар унитарлық түрлендірулермен іске асырылады. (Бұл Гильберт кеңістігін фазалық кеңістік формасына инвертті түрде бейнелеуге болады. Төменде қараңыз.) Кванттық механиканың математикалық негіздерінің келесі шолуы Дирак–фон Нейман аксиомаларына толығымен негізделген.

Физикалық шамалардың сипаттамасы

Физикалық шамалар H кеңістігіндегі гермиттік матрицалармен өрнектеледі. Бұл операторлар гермиттік болғандықтан, олардың өзіндік сандары әрқашан нақты болады және сәйкес физикалық шаманы өлшеудің мүмкін нәтижелерін көрсетеді. Егер физикалық шаманың спектрі дискретті болса, онда мүмкін нәтижелер квантталған болады.

Өлшемнің күйге әсері

Өлшеу жүргізілген кезде тек бір нәтиже алынады (кванттық механиканың кейбір түсіндірмелеріне сәйкес). Бұл математикалық тұрғыдан өлшеуден алынған қосымша ақпаратты өңдеу ретінде модельдендіріледі, сол байқалатынның бірден екінші өлшеуінің ықтималдықтарын шектейді. Дискретті, дегенерацияланбаған спектр жағдайында, бір байқалатынның екі реттік өлшеуі әрқашан бірдей мән береді, екіншісі біріншісінен кейін дереу орындалса. Сондықтан, күй векторы өлшеу нәтижесінде өзгеруі керек және өлшенген өзіндік мәнмен байланысты өзіндік кіші кеңістікке құлдырауы керек. Аралас күй ρ үшін, сәйкес байқалатынның дискретті, дегенерацияланбаған спектріндегі өзіндік мән алынғаннан кейін жаңартылған күй мына түрде беріледі. Егер өзіндік мән дегенерацияланған, ортонормальды өзіндік векторларына ие болса, онда өзіндік субкеңістікке проекция операторы келесідей болады. II постулаты c кейде "күйді жаңарту ережесі" немесе "құлдыру ережесі" деп аталады; Born ережесімен (II постулаттарының II.a және II.b бөлімдері) бірге, олар өлшемдердің толық сипаттамасын құрайды және кейде оларды жиынтық түрде өлшем постулаттары деп атайды. Өлшем постулатында сипатталған проекциялық бағаланған өлшемдер (PVM) кванттық механикадағы ең жалпы өлшеу түрі болып табылатын оң операторлық бағаланған өлшемдерге (POVM) жалпылана алатынын ескеріңіз. POVM үлкен, құрамдас жүйеде PVM орындалғанда компоненттік жүйеге тигізетін әсер ретінде түсіндірілуі мүмкін (Naimark кеңейту теоремасын қараңыз).

Постулаттардың басқа да әсерлері

Физикалық симметриялар Вигнер теоремасына сәйкес кванттық күйлердің Хилберт кеңістігінде унитарлы немесе антиунитарлы түрде әрекет етеді (суперсимметрия – мүлдем бөлек мәселе). Тығыздық операторлары – бірөлшемді ортогональды проекторлардың дөңгелек қабығының жабылуындағы операторлар. Керісінше, бірөлшемді ортогональды проекторлар тығыздық операторлары жиынының шеткі нүктелері болып табылады. Физиктер бірөлшемді ортогональды проекторларды таза күйлер деп, ал қалған тығыздық операторларын аралас күйлер деп атайды. Осы формализмде Хайзенбергтің белгісіздік принципін тұжырымдап, оны теорема ретінде дәлелдеуге болады, бірақ кімнің нені және қандай негізде алғаш рет шығарғанына қатысты нақты тарихи реттілік осы мақала шеңберінен тыс тарихи зерттеулердің нысаны болып табылады. Жақындағы зерттеулер көрсеткендей, күй постулатынан (I постулат) және өлшеу постулаттарынан (II постулат) композиттік жүйе постулатын (тензорлық көбейту постулатын) шығаруға болады. Сонымен қатар, өлшеу постулаттарын (II постулат) тек күй постулатын (I постулат), композиттік жүйе постулатын (тензорлық көбейту постулатын) және унитарлы эволюция постулатын (III постулат) қамтитын "унитарлы кванттық механикадан" шығаруға болады. Бұған қоса, кванттық механика постулаттарына спиннің қасиеттері және Паулидің тыйым салу принципі туралы негізгі мәлімдемелерді де қосу керек, қараңыз төменде.

Айналу

Басқа қасиеттерінен басқа, барлық бөлшектер спин деп аталатын мөлшерге ие, ол ішкі бұрыштық импульс. Атауына қарамастан, бөлшектер физикалық түрде осінің айнала айналмайды, ал кванттық механикалық спин классикалық физикада баламасы жоқ. Орындық өрнекте, спинсіз толқындық функция 'r' позициясы мен t уақытын үздіксіз айнымалылар ретінде қабылдайды, 1=ψ = ψ('r', t). Спинмен сипатталатын толқындық функциялар үшін спин қосымша дискретті айнымалы болып табылады: 1=ψ = ψ('r', t, σ), мұнда σ мынадай мәндерді қабылдайды; Яғни, спин S-қа ие бір бөлшектің күйі кешенді мәнді толқындық функциялардың (2S + 1) компоненттік спиноры арқылы бейнеленеді. Өте ерекшеленетін екі класс бөлшектер бар: толық санды спинге ие бозондар (1=S = 0, 1, 2, …) және жартылай санды спинге ие фермиондар.

Симметриялық постулат

Кванттық механикада екі бөлшекті бір-бірінен ажыратудың екі тәсілі бар. Әрбір бөлшектің ішкі қасиеттерін өлшеу арқылы әртүрлі типтегі бөлшектерді ажыратуға болады. Әйтпесе, егер бөлшектер бірдей болса, олардың траекторияларын қадағалау арқылы әр бөлшектің орналасқан жеріне сүйене отырып ажыратуға болады. Екінші тәсіл классикалық механикада рұқсат етіледі (яғни, барлық классикалық бөлшектер ажыратылатын болып есептеледі), бірақ кванттық механикалық бөлшектерге қатысты осылай деуге болмайды, себебі бұл процесс кіші масштабтардағы негізгі белгісіздік принциптеріне байланысты мүмкін емес. Сондықтан кванттық бөлшектердің ажыратылмайтындығы талабы симметриялау постулаты арқылы ұсынылады. Бұл постулат бозондар немесе фермиондар жүйесіне қолданылады, мысалы, гелий атомының спектрлерін болжауда. Келесі бөлімдерде түсіндірілетін постулатты былай формулиреуге болады:

Бөлшектерді екі кеңістіктік өлшеммен шектеген кезде ерекше жағдайлар туындауы мүмкін, онда фермиондар мен бозондар арасындағы статистикалық қасиеттердің үздіксіз диапазонына ие аниондар деп аталатын бөлшектердің болуы мүмкін. Бірдей бөлшектердің мінез-құлқы мен олардың спині арасындағы байланыс спин-статистика теоремасымен сипатталады. Ғарыштағы әртүрлі аймақтарда орналасқан екі бөлшекті симметрияланған/антисимметрияланған толқындық функция арқылы бейнелеуге болады және осы толқындық функцияларды тәуелсіз қарастыру бірдей нәтиже береді. Осылайша, симметриялау постулаты бірдей бөлшектер жүйесінің жалпы жағдайында қолданылады.

Симметриялау постулатына қатысты ерекшеліктер

Релятивистік емес кванттық механикада барлық бөлшектер бозон немесе фермион болып табылады; релятивистік кванттық теорияларда «суперсимметриялық» теориялар да бар, онда бөлшек бозондық және фермиондық бөліктердің сызықтық комбинациясы болып табылады. Тек d = 2 өлшемінде ғана (−1)^(2S) саны 1 модульдік кез келген комплекс санмен алмастырылатын объектілерді құруға болады, олар аниондар деп аталады. Релятивистік кванттық механикада спин-статистика теоремасы, белгілі бір шарттар орындалғанда, бүтін спинді бөлшектер бозон, ал жарты спинді бөлшектер фермион ретінде жіктелетінін дәлелдей алады. Симметриялық немесе антисимметриялық күйде болмайтын аниондар бөлшекті спинге ие. Спин мен Паули принципі кванттық механиканың релятивистік жалпыламаларынан ғана туындаса да, соңғы екі абзацта айтылған қасиеттер релятивистік емес лимиттегі негізгі постулаттарға жатады. Атап айтқанда, табиғаттану ғылымдарындағы көптеген маңызды қасиеттер, мысалы, химияның периодтық жүйесі, осы екі қасиеттің салдары болып табылады.

Өкілдіктер

Шредингер теңдеуінің бастапқы түрі Гейзенбергтің каноникалық коммутациялық қатынастарының нақты бір бейнелеуін таңдауға байланысты. Стоун-Вон Нейман теоремасы шекті өлшемді Гейзенберг коммутациялық қатынастарының барлық ирредукцияланатын бейнелері унитарлық түрде эквивалентті екенін көрсетеді. Оның салдарының жүйелі түсінілуі кванттық механиканың фазалық кеңістіктегі формулировкасына алып келді, ол Гильберт кеңістігінің орнына толық фазалық кеңістікте жұмыс істейді, осылайша классикалық лимитпен көбірек интуитивті байланыс орнатылады. Бұл көзқарас кванттауды, классикалық механикадан кванттық механикаға деформациялық кеңейтуді қарастыруды да жеңілдетеді. Кванттық гармоникалық осциллятор – әртүрлі бейнелеулерді оңай салыстыруға болатын дәл шешілетін жүйе. Онда Гейзенберг немесе Шредингер (позиция немесе импульс) немесе фазалық кеңістік бейнелеулерінен басқа, Фок (саны) бейнелеуі және Сегал-Баргман (Фок кеңістігі немесе когеренттік күй) бейнелеуі де кездеседі (Ирвинг Сегал және Валентин Баргманның есімдерімен аталады). Барлығы төрт бейнелеу де унитарлық эквивалентті.

Оператор ретінде уақыт

Осыған дейін ұсынылған жүйеде уақыт – барлық нәрсеге тәуелді параметр ретінде ерекшеленеді. Механиканы осылай құрастыруға болады, онда уақыт өзіне-өзі қосатын оператормен байланысты байқалатын шамаға айналады. Классикалық деңгейде бөлшектердің траекторияларын физикалық емес параметр s арқылы кез келген түрде параметрлеуге болады, және осы жағдайда t уақыты физикалық жүйенің қосымша обобщалған координатасына айналады. Кванттық деңгейде s бойынша трансляциялар "Гамильтониан" H − E арқылы туындайды, мұнда E – энергия операторы, ал H – "қалыпты" Гамильтониан. Дегенмен, s физикалық емес параметр болғандықтан, физикалық күйлер "s эволюциясына" қатысты өзгермейтін болуы керек, сондықтан физикалық күй кеңістігі H − E ядросы болып табылады (бұл үшін қайырмаланған Гильберт кеңістігін қолдану және норманы қайта нормалау қажет). Бұл шектеулі жүйелерді кванттау және өлшеу теорияларын кванттаумен байланысты. Сондай-ақ, уақыт байқалатын шамаға айналатын "оқиғалардың" кванттық теориясын құруға да болады.