Кіріспе
Кванттық өріс теориясының есептеулерін бейнелеуге арналған диаграмма. Физикада спиндік желі – кванттық механикада бөлшектер мен өрістер арасындағы күйлер мен өзара әрекеттесулерді бейнелеуге арналған диаграмманың бір түрі. Математикалық тұрғыдан алғанда, диаграммалар көп сызықты функцияларды және матрицалық топтардың өкілдіктері арасындағы функцияларды ықшам түрде бейнелеуге мүмкіндік береді. Диаграммалық жазу есептеулерді едәуір жеңілдетеді. Роджер Пенроуз спиндік желілерді 1971 жылы сипаттаған. Бұл диаграмманың түрі, онда әр сызық сегменті «бірліктің» (элементар бөлшектің немесе бөлшектердің күрделі жүйесінің) әлемдік сызығын көрсетеді. Әр түйіске үш сызық сегменті қосылады. Түйін бір бірліктің екіге бөлінуі немесе екі бірліктің соқтығысып, бір бірлікке бірігуі сияқты оқиға ретінде қарастырылуы мүмкін. Сызық сегменттері түйістерде біріктірілген диаграммалар жабық спиндік желілер деп аталады. Уақытты диаграмманың төменгі жағынан жоғарғы жағына қарай бір бағытта ағатын ретінде қарастыруға болады, бірақ жабық спиндік желілер үшін уақыт бағыты есептеулерге әсер етпейді. Әр сызық сегменті спин саны деп аталатын бүтін санмен белгіленеді. Спин саны n бірлігі «n бірлігі» деп аталады және бұрыштық импульсі nħ/2-ге тең, мұнда ħ – Планк тұрақтысының азайтылған шамасы. Фотондар мен глюондар сияқты бозондар үшін n – жұп сан. Электрондар мен кварктар сияқты фермиондар үшін n – тақ сан. Кез келген жабық спиндік желі үшін спиндік желінің нормасы деп аталатын теріс емес бүтін санды есептеуге болады. Нормаларды әртүрлі спин мәндерінің ықтималдығын есептеу үшін пайдалануға болады. Нормасы нөлге тең желінің пайда болу ықтималдығы нөлге тең. Нормаларды және ықтималдықтарды есептеу ережелері осы мақаланың шегінен тыс. Дегенмен, олар спиндік желіде нөлден өзгеше нормаға ие болу үшін әр түйінде екі талап орындалуы керек екенін көрсетеді. Егер түйін спин саны a, b және c бар үш бірлікті біріктірсе, онда бұл талаптар былай формулировкаланады: Үшбұрыш теңсіздігі: a саны b + c-ден кем немесе оған тең болуы керек, b саны a + c-ден кем немесе оған тең болуы керек және c саны a + b-ден кем немесе оған тең болуы керек. Фермион сақталуы: a + b + c саны жұп болуы керек. Мысалы, a = 3, b = 4, c = 6 мүмкін емес, өйткені 3 + 4 + 6 = 13 – тақ сан, ал a = 3, b = 4, c = 9 мүмкін емес, өйткені 9 > 3 + 4. Алайда, a = 3, b = 4, c = 5 мүмкін, өйткені 3 + 4 + 5 = 12 – жұп сан және үшбұрыш теңсіздігі орындалады. Кейбір конвенциялар a + b + c қосындысы бүтін сан болуы керек деген шартпен жартылай бүтін сандармен белгілеуді қолданады.
In physics, a spin network is a type of diagram which can be used to represent states and interactions between particles and fields in quantum mechanics. From a mathematical perspective, the diagrams are a concise way to represent multilinear functions and functions between representations of matrix groups. The diagrammatic notation can thus greatly simplify calculations. Roger Penrose described spin networks in 1971. is a kind of diagram in which each line segment represents the world line of a "unit" (either an elementary particle or a compound system of particles). Three line segments join at each vertex. A vertex may be interpreted as an event in which either a single unit splits into two or two units collide and join into a single unit. Diagrams whose line segments are all joined at vertices are called closed spin networks. Time may be viewed as going in one direction, such as from the bottom to the top of the diagram, but for closed spin networks the direction of time is irrelevant to calculations. Each line segment is labelled with an integer called a spin number. A unit with spin number n is called an n unit and has angular momentum nħ/2, where ħ is the reduced Planck constant. For bosons, such as photons and gluons, n is an even number. For fermions, such as electrons and quarks, n is odd. Given any closed spin network, a non negative integer can be calculated which is called the norm of the spin network. Norms can be used to calculate the probabilities of various spin values. A network whose norm is zero has zero probability of occurrence. The rules for calculating norms and probabilities are beyond the scope of this article. However, they imply that for a spin network to have nonzero norm, two requirements must be met at each vertex. Suppose a vertex joins three units with spin numbers a, b, and c. Then, these requirements are stated as:
Triangle inequality: a must be less than or equal to b + c, b less than or equal to a + c, and c less than or equal to a + b.
Fermion conservation: a + b + c must be an even number. For example, a = 3, b = 4, c = 6 is impossible since 3 + 4 + 6 = 13 is odd, and a = 3, b = 4, c = 9 is impossible since 9 > 3 + 4. However, a = 3, b = 4, c = 5 is possible since 3 + 4 + 5 = 12 is even, and the triangle inequality is satisfied. Some conventions use labellings by half integers, with the condition that the sum a + b + c must be a whole number.
Анықтамаға ресми көзқарас
Формальды түрде спиндік желі — (бағытталған) граф, оның қабырғалары компактты Ли тобының ирредуктибелдік өкілдіктерімен байланыстырылған, ал түйіндері оған іргелес қабырғалардың өкілдіктерінің өзара байланыстырушыларымен байланыстырылған.
Қасиеттері
Көптікке енгізілген спиндік желі, осы көптіктегі байланыстар кеңістігінде функционалды анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Байланыстың әрбір қабырғасы (жабық жолы) бойымен голономияларын есептеу, әрбір қабырғаға сәйкес келетін өкілдік матрицаларын анықтау, барлық матрицаларды және аралық байланыстарды көбейту, содан кейін индекстерді белгіленген тәртіпте жинақтау жүргізіледі. Алынған функционалдың ерекше қасиеті – ол жергілікті өлшеулік түрлендірулерге қатысты инвариантты болып табылады.
Жалпы өлшем теориясы
Осыған ұқсас конструкцияларды жалпы гаузерлік теориялар үшін компактты Лай тобы G және байланыс формасымен жасауға болады. Бұл, шындығында, тордағы нақты дуалдық. Бірақ, көптегенде диффеоморфизм инварианттығы сияқты талаптар дуалдықты нақты ету үшін қажет (Уилсон циклдарын жұмсарту қиын). Кейін Роберт Оекль бұл дуалдықты Таннака-Крейн дуалдығын қолдана отырып, 2 және 3 өлшемдегі кванттық топтардың өкілдіктеріне кеңейтті. Майкл А. Левин мен Сяо Ган Вэн де тензорлық категорияларды пайдалана отырып, сызықтық желілерді анықтады, олар спин желілеріне өте ұқсас объектілер. Дегенмен, спин желілерімен нақты байланыс әлі анық емес. Сызықтық желілердің конденсациясы конденсирленген материяда топологиялық реттелген күйлерді жасайды.
Математикадағы қолданысы
Математикада спиндік желілер байланыстар кеңістігіне сәйкес келетін скин модульдері мен сипаттамалық түрлерін зерттеу үшін қолданылады.
Қазіргі заманғы қағаздар
Сяо Ган Вэнь, "Көп дене жүйелерінің кванттық өріс теориясы – дыбыстың пайда болуынан жарық пен фермиондардың пайда болуына дейін" (бұл жерде жіптік торлар деп аталады).