Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Категориялар теориясында моноидты монад — монойдальды категориядағы монад, онда функтор бос монойдальды функтор болып табылады, ал табиғи түрлендірулер мен — монойдальды табиғи түрлендірулер болып табылады. Басқаша айтқанда, ол когеренттік карталармен және белгілі бір қасиеттерді қанағаттандыратын (қайтадан: олар бос монойдальды) жабдықталған, ал бірлік пен көбейту — монойдальды табиғи түрлендірулер. -ның монойдальдылығы бойынша, және морфизмдері міндетті түрде тең болады. Жоғарыда айтылғандардың бәрін моноидты монад — монойдальды категориялардың, бос монойдальды функторлардың және монойдальды табиғи түрлендірулердің 2-категориясындағы монад деп жинақтауға болады.
In category theory, a monoidal monad is a monad on a monoidal category such that the functor is a lax monoidal functor and the natural transformations and are monoidal natural transformations. In other words, is equipped with coherence maps and satisfying certain properties (again: they are lax monoidal), and the unit and multiplication are monoidal natural transformations. By monoidality of , the morphisms and are necessarily equal. All of the above can be compressed into the statement that a monoidal monad is a monad in the 2 category of monoidal categories, lax monoidal functors, and monoidal natural transformations.
Опмоноидты монодалар
Опмоноидты монодалар әр түрлі атаулармен зерттелді. Ике Мёрдийк оларды "Хопф монодалары" деп енгізді, ал Бругиер мен Вирелизиердің еңбектерінде олар "бимонадтар" деп аталады, "биалгебраға" ұқсастығымен, ал "Хопф монодасы" термині антиподқа ие опмоноидты монодалар үшін, "Хопф алгебраларына" ұқсас қолданылады. Опмоноидты монад – монадтық категориялардың 2-санатындағы монад, оплакс монадты функторлар және монадты табиғи түрлендірулер. Яғни, монадтық категориядағы монад, когерентті карталармен бірге, опмоноидты функтор құратын үш аксиоманы және бірлік пен көбейтуді опмоноидты табиғи түрлендірулерге айналдыратын тағы төрт аксиоманы қанағаттандырады. Басқаша айтқанда, опмоноидты монад – монадтық категориядағы монад, мұнда Эйленберг-Мур алгебраларының санаты монадтық құрылымға ие, ал ұмыту функторы күшті монадты болып табылады. Векторлық кеңістіктердің монадтық санаты үшін қарапайым мысал – монад, онда биалгебра болып табылады. Опмоноидты монадтың Эйленберг-Мур санаты канондық монадтық құрылымға ие, сондықтан ұмыту функторы күшті монадты болып табылады. Осылайша, 2-санатта монадтар үшін Эйленберг-Мур объектілері бар. -дағы монадтардың 2-санаты – монадтық монадтардың 2-санаты және ол монадтар санатындағы монойдтардың (немесе псевдомонойдтардың) 2-санатына изоморфты, олардың арасында опмоноидты жебелер және олардың арасында опмоноидты жасушалар бар.
Opmonoidal monads have been studied under various names. Ieke Moerdijk introduced them as "Hopf monads", while in works of Bruguières and Virelizier they are called "bimonads", by analogy to "bialgebra", reserving the term "Hopf monad" for opmonoidal monads with an antipode, in analogy to "Hopf algebras". An opmonoidal monad is a monad in the 2 category of monoidal categories, oplax monoidal functors and monoidal natural transformations. That means a monad on a monoidal category together with coherence maps and satisfying three axioms that make an opmonoidal functor, and four more axioms that make the unit and the multiplication into opmonoidal natural transformations. Alternatively, an opmonoidal monad is a monad on a monoidal category such that the category of Eilenberg Moore algebras has a monoidal structure for which the forgetful functor is strong monoidal. An easy example for the monoidal category of vector spaces is the monad , where is a bialgebra. The Eilenberg Moore category of an opmonoidal monad has a canonical monoidal structure such that the forgetful functor is strong monoidal. Thus, the 2 category has Eilenberg Moore objects for monads. The 2 category of monads in is the 2 category of monoidal monads and it is isomorphic to the 2 category of monoidales (or pseudomonoids) in the category of monads opmonoidal arrows between them and opmonoidal cells between them.