Моноидные монады в теории категорий: определение, свойства и связь с лакс-моноидными функторами и естественными преобразованиями. Обзор и ключевые аспекты.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В теории категорий моноидальная монада — это монада на моноидальной категории, такая что функтор является лаксовым моноидальным функтором, а естественные преобразования η и μ — моноидальными естественными преобразованиями. Иными словами, она снабжена когерентными морфизмами α и ρ, удовлетворяющими определенным свойствам (опять же, они лаксово моноидальные), и единичный морфизм η и умножение μ — моноидальные естественные преобразования. В силу моноидальности, морфизмы α и ρ необходимо равны. Все вышесказанное можно свести к утверждению, что моноидальная монада — это монада в 2-категории моноидальных категорий, лаксовых моноидальных функторов и моноидальных естественных преобразований.
In category theory, a monoidal monad is a monad on a monoidal category such that the functor is a lax monoidal functor and the natural transformations and are monoidal natural transformations. In other words, is equipped with coherence maps and satisfying certain properties (again: they are lax monoidal), and the unit and multiplication are monoidal natural transformations. By monoidality of , the morphisms and are necessarily equal. All of the above can be compressed into the statement that a monoidal monad is a monad in the 2 category of monoidal categories, lax monoidal functors, and monoidal natural transformations.
Опмоноидные монады
Опмоноидные монады изучались под различными названиями. Ике Мёрдьяк представил их как «монады Хопфа», в то время как в работах Брюгиера и Вирелизера они называются «бимонады», по аналогии с «биалгеброй», при этом термин «монад Хопфа» сохраняется для опмоноидных монад с антиподом, по аналогии с «алгебрами Хопфа». Опмоноидальная монада — это монада в 2-категории моноидальных категорий, оплаксных моноидальных функторов и моноидальных естественных преобразований. Это означает монаду на моноидной категории вместе с картами когерентности, удовлетворяющую трем аксиомам, которые делают функтор опмоноидальным, и еще четырем аксиомам, которые превращают единицу и умножение в опмоноидальные естественные преобразования. Альтернативно, опмоноидальная монада — это монада на моноидной категории, такая, что категория алгебр Эйленберга — Мура имеет моноидную структуру, для которой забывающий функтор является строгим моноидным функтором. Простым примером для моноидной категории векторных пространств является монада , где — биалгебра. Категория Эйленберга — Мура опмоноидальной монады имеет каноническую моноидную структуру, при которой забывающий функтор является строгим моноидальным функтором. Таким образом, в 2-категории существуют объекты Эйленберга — Мура для монад. 2-категория монад в является 2-категорией моноидальных монад, и она изоморфна 2-категории моноидов (или псевдомоноидов) в категории монад с опмоноидными стрелками между ними и опмоноидными ячейками между ними.
Opmonoidal monads have been studied under various names. Ieke Moerdijk introduced them as "Hopf monads", while in works of Bruguières and Virelizier they are called "bimonads", by analogy to "bialgebra", reserving the term "Hopf monad" for opmonoidal monads with an antipode, in analogy to "Hopf algebras". An opmonoidal monad is a monad in the 2 category of monoidal categories, oplax monoidal functors and monoidal natural transformations. That means a monad on a monoidal category together with coherence maps and satisfying three axioms that make an opmonoidal functor, and four more axioms that make the unit and the multiplication into opmonoidal natural transformations. Alternatively, an opmonoidal monad is a monad on a monoidal category such that the category of Eilenberg Moore algebras has a monoidal structure for which the forgetful functor is strong monoidal. An easy example for the monoidal category of vector spaces is the monad , where is a bialgebra. The Eilenberg Moore category of an opmonoidal monad has a canonical monoidal structure such that the forgetful functor is strong monoidal. Thus, the 2 category has Eilenberg Moore objects for monads. The 2 category of monads in is the 2 category of monoidal monads and it is isomorphic to the 2 category of monoidales (or pseudomonoids) in the category of monads opmonoidal arrows between them and opmonoidal cells between them.