Функционалдық анализдегі ықшам операторлардың спектралдық теориясы
Spectral theory of compact operators
Компакт операторлар: Банаш кеңістіктеріндегі сызықты операторлар, қасиеттері матрицаларға ұқсас. Функционалдық анализ, спектралдық қасиеттер туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Функционалдық талдауда, компакт операторлар — Банах кеңістіктеріндегі сызықтық операторлар, олар шектелген жиындарды салыстырмалы түрде компакт жиындарға бейнелейді. Егер H — Хилберт кеңістігі болса, онда компакт операторлар бірыңғай оператор топологиясындағы шекті рангілі операторлардың жабылуы болып табылады. Жалпы алғанда, шексіз өлшемді кеңістіктердегі операторлар, шекті өлшемді жағдайларда, яғни матрицаларда кездеспейтін қасиеттерге ие. Компакт операторлар ерекшелігі — олар жалпы оператордан матрицаға қарағанда көбірек ұқсастықтарға ие. Атап айтқанда, компакт операторлардың спектрлік қасиеттері төртбұрышты матрицалардың қасиеттеріне ұқсас келеді. Осы мақалада компакт операторлардың спектрлік қасиеттерін талқылауға кіріспес бұрын, матрицалық жағдайдан алынған тиісті нәтижелер қысқаша баяндалады. Оқырман көптеген тұжырымдардың матрицалық жағдайдан сөзсіз көшірілгенін байқайды. Компакт операторлардың спектрлік теориясын алғаш рет Ф. Рис әзірлеген.
In functional analysis, compact operators are linear operators on Banach spaces that map bounded sets to relatively compact sets. In the case of a Hilbert space H, the compact operators are the closure of the finite rank operators in the uniform operator topology. In general, operators on infinite dimensional spaces feature properties that do not appear in the finite dimensional case, i. e. for matrices. The compact operators are notable in that they share as much similarity with matrices as one can expect from a general operator. In particular, the spectral properties of compact operators resemble those of square matrices. This article first summarizes the corresponding results from the matrix case before discussing the spectral properties of compact operators. The reader will see that most statements transfer verbatim from the matrix case. The spectral theory of compact operators was first developed by F. Riesz.
Өзгермейтін кіші кеңістіктер
Матрицалық жағдайдағыдай, жоғарыда көрсетілген спектрлік қасиеттер X-тің компакт оператор C-нің инвариантты субкеңістіктеріне жіктелуіне әкеледі. λ ≠ 0 болсын, C-нің өзіндік мәні; демек, λ σ(C)-нің оқшауланған нүктесі. Голоморфты функционалдық есептеуді пайдаланып, Риес проекциясын E(λ) былай анықтаңыз:
As in the matrix case, the above spectral properties lead to a decomposition of X into invariant subspaces of a compact operator C. Let λ ≠ 0 be an eigenvalue of C; so λ is an isolated point of σ(C). Using the holomorphic functional calculus, define the Riesz projection E(λ) by
мұнда γ – σ(C)-ден тек λ-ны қамтитын Джордан контуры. Y = E(λ)X болсын. Y-мен шектелген C операторы {λ} спектрлі компактты инвертирленетін оператор, сондықтан Y – шекті өлшемді. ν Ker(λ − C)ν = Ker(λ − C)ν + 1 болатындай ν-ні таңдайық. Джордан формасын қарастырғанда, (λ − C)ν = 0, ал (λ − C)ν − 1 ≠ 0 екенін көреміз. λ-да орталастырылған резюльвенттің Лоран қатары мынаны көрсетеді:
where γ is a Jordan contour that encloses only λ from σ(C). Let Y be the subspace Y = E(λ)X. C restricted to Y is a compact invertible operator with spectrum {λ}, therefore Y is finite dimensional. Let ν be such that Ker(λ − C)ν = Ker(λ − C)ν + 1. By inspecting the Jordan form, we see that (λ − C)ν = 0 while (λ − C)ν − 1 ≠ 0. The Laurent series of the resolvent mapping centered at λ shows that
Осылайша Y = Ker(λ − C)ν. E(λ) операторлары E(λ)² = E(λ) шартын қанағаттандырады, сондықтан олар шынымен проекция операторлары немесе спектральдық проекциялар. Анықтамасы бойынша, олар C-мен коммутациялайды. Сонымен қатар, λ ≠ μ болғанда E(λ)E(μ) = 0. Егер λ нөлдік емес өзіндік мән болса, онда X(λ) = E(λ)X. Осылайша X(λ) – λ-ның жалпыланған өзіндік кеңістігі, шекті өлшемді инвариантты субкеңістік. X(0) – E(λ) ядроларының қиылысы болсын. Осылайша X(0) – C астында инвариантты жабық субкеңістік, ал C-нің X(0)-ға шектелуі – спектрі {0} болатын компакт оператор.
So Y = Ker(λ − C)ν. The E(λ) satisfy E(λ)2 = E(λ), so that they are indeed projection operators or spectral projections. By definition they commute with C. Moreover E(λ)E(μ) = 0 if λ ≠ μ. Let X(λ) = E(λ)X if λ is a non zero eigenvalue. Thus X(λ) is a finite dimensional invariant subspace, the generalised eigenspace of λ. Let X(0) be the intersection of the kernels of the E(λ). Thus X(0) is a closed subspace invariant under C and the restriction of C to X(0) is a compact operator with spectrum {0}.
Компактты қуатты операторлар
Егер B – Банах кеңістігі X-те оператор болса және белгілі бір n үшін Bn компактты болса, онда жоғарыда дәлелденген теорема B үшін де қолданылады.
If B is an operator on a Banach space X such that Bn is compact for some n, then the theorem proven above also holds for B.