Введение

В функциональном анализе компактные операторы — это линейные операторы в банаховых пространствах, отображающие ограниченные множества в относительно компактные множества. В случае гильбертова пространства H, компактные операторы являются замыканием операторов конечного ранга в равномерной операторной топологии. В общем случае, операторы в бесконечномерных пространствах обладают свойствами, которые не встречаются в конечномерном случае, то есть для матриц. Компактные операторы примечательны тем, что они максимально похожи на матрицы, насколько это возможно для общего оператора. В частности, спектральные свойства компактных операторов схожи со спектральными свойствами квадратных матриц. В данной статье сначала обобщаются соответствующие результаты из теории матриц, а затем обсуждаются спектральные свойства компактных операторов. Читатель увидит, что большинство утверждений переносятся из теории матриц практически без изменений. Спектральная теория компактных операторов была впервые разработана Ф. Риесом.

Неизменные подпространства

Как и в случае матрицы, вышеуказанные спектральные свойства приводят к разложению X на инвариантные подпространства компактного оператора C. Пусть λ ≠ 0 является собственным значением C; тогда λ является изолированной точкой σ(C). Используя голоморфный функциональный исчисление, определим проекцию Рисса E(λ) следующим образом:

где γ – контур Жордана, охватывающий только λ из σ(C). Пусть Y – подпространство Y = E(λ)X. Оператор C, ограниченный на Y, является компактным обратимым оператором со спектром {λ}, следовательно, Y конечномерно. Пусть ν – такое, что Ker(λ − C)ν = Ker(λ − C)ν + 1. Исходя из формы Жордана, видим, что (λ − C)ν = 0, а (λ − C)ν − 1 ≠ 0. Разложение в ряд Лорана отображения резольвенты, центрированное в λ, показывает, что

Следовательно, Y = Ker(λ − C)ν. Проекции E(λ) удовлетворяют условию E(λ)² = E(λ), таким образом, они действительно являются операторами проекции, или спектральными проекциями. По определению, они коммутируют с C. Более того, E(λ)E(μ) = 0, если λ ≠ μ. Пусть X(λ) = E(λ)X, если λ – ненулевое собственное значение. Таким образом, X(λ) является конечномерным инвариантным подпространством, обобщенным собственным пространством, соответствующим λ. Пусть X(0) – пересечение ядер проекций E(λ). Таким образом, X(0) является замкнутым инвариантным подпространством относительно C, а ограничение C на X(0) является компактным оператором со спектром {0}.

Операторы с компактной мощностью

Если B — оператор в банаховом пространстве X, такой что Bⁿ является компактным оператором для некоторого n, то теорема, доказанная выше, справедлива и для B.