Кіріспе

Категория теориясында, математиканың бір саласы, диагональдық функтор келесі арқылы беріледі , ол нысандарды да, морфизмдерді де бейнелейді. Бұл функтор категориядағы нысандардың көбейтіндісін қысқаша сипаттау үшін қолданылуы мүмкін: көбейтінді – бұл нысаннан нысанға дейінгі универсалды жебе. Бұл жебе проекциялық бейнелеулерді қамтиды. Жалпы алғанда, кішкентай индекстік категория берілгенде, функторлық категорияны құруға болады, оның нысандары диаграммалар деп аталады. Әрбір нысан үшін , әр нысанды және әр морфизмді бейнелейтін тұрақты диаграмма бар. Диагональдық функтор әрбір нысанға диаграммадан және әрбір морфизмге табиғи түрлендіруді (әрбір нысан үшін арқылы берілген) тағайындайды. Осылайша, мысалы, екі нысаннан тұратын дискретті категорияда диагональдық функтор қалпына келтіріледі. Диагональдық функторлар диаграммалардың лимиттері мен колимиттерін анықтауға мүмкіндік береді. Диаграмма берілгенде, табиғи түрлендіру (кейбір нысан үшін) конус деп аталады. Бұл конустар мен олардың факторлық жіктелулері үтірлі категорияның нысандары мен морфизмдеріне дәл сәйкес келеді, ал лимит – бұл үтірлі категориядағы терминалдық нысан, яғни универсалды жебе. Егер нысаннан нысанға дейінгі әрбір функтордың лимиті болса (категория толық болған жағдайда), онда лимиттерді алу операциясы өзі – нысаннан лимитке дейінгі функтор болады. Лимит функторы диагональдық функтордың оң жақ қосымшасы болып табылады. Сол сияқты, колимит функторы (категория ко-толық болса) диагональдық функтордың сол жақ қосымшасы болып табылады. Мысалы, жоғарыда сипатталған диагональдық функтор – екілік көбейтінді функторының сол жақ қосымшасы және екілік ко-көбейтінді функторының оң жақ қосымшасы болып табылады.