Введение

В теории категорий, ветви математики, диагональный функтор задаётся формулой , который отображает объекты и морфизмы. Этот функтор можно использовать для лаконичного альтернативного описания произведения объектов в категории : произведение – это универсальная стрелка из в . Эта стрелка состоит из проекционных отображений. В более общем случае, для малой индексной категории , можно построить категорию функторов , объекты которой называются диаграммами. Для каждого объекта в , существует постоянная диаграмма , которая отображает каждый объект в и каждый морфизм в . Диагональный функтор присваивает каждому объекту диаграммы , а каждому морфизму в естественное преобразование в (заданное для каждого объекта в ). Таким образом, например, в случае, когда является дискретной категорией с двумя объектами, диагональный функтор восстанавливается. Диагональные функторы предоставляют способ определения пределов и колимитов диаграмм. Данная диаграмма , естественное преобразование (для некоторого объекта ) называется конусом для . Эти конусы и их факторизации точно соответствуют объектам и морфизмам категории запятой , а предел – это терминальный объект в , то есть универсальная стрелка. Двойственно, колимит – это начальный объект в категории запятой , то есть универсальная стрелка. Если каждый функтор из в имеет предел (что будет иметь место, если является полной), то операция взятия пределов сама является функтором из в . Функтор предела является правым сопряжённым к диагональному функтору. Аналогично, функтор колимита (который существует, если категория является ко-полной) является левым сопряжённым к диагональному функтору. Например, описанный выше диагональный функтор является левым сопряжённым к функтору бинарного произведения и правым сопряжённым к функтору бинарной ко-суммы.