Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық құрылымдарды топологиялық кеңістіктерге қолдану
Applying Algebraic structures to topological spaces
Математикада гомология – алгебралық объектілердің тізбесін, мысалы, абельдік топтар немесе модульдерді, басқа математикалық объектілермен, мысалы, топологиялық кеңістіктермен байланыстыратын жалпы тәсіл. Гомологиялық топтар бастапқыда алгебралық топологияда анықталған. Осыған ұқсас құрылымдар абстрактілі алгебра, топтар, Ли алгебралары, Галуа теориясы және алгебралық геометрия сияқты көптеген басқа контекстерде де қолданылады. Гомологиялық топтарды анықтауға түрткі болған бастапқы идея – екі нысанды олардың тесіктерін қарастыру арқылы ажыратуға болатындығы туралы байқау болды. Мысалы, шеңбер дискіге тең емес, себебі шеңбердің ішінде тесігі бар, ал дискі толық, ал сфера шеңберге тең емес, себебі сфера екі өлшемді тесікті, ал шеңбер бір өлшемді тесікті қамтиды. Дегенмен, тесік "бар емес" болғандықтан, тесікті қалай анықтауға және әртүрлі тесіктерді қалай ажыратуға болатыны бірден түсініксіз. Гомология бастапқыда көпқырлылықтағы тесіктерді анықтау және жіктеу үшін қатаң математикалық әдіс болды. Шартты түрде айтқанда, цикл – жабық субкөпқырлылық, шекара – субкөпқырлылықтың шекарасы болатын цикл, ал гомология класы (тесікті көрсетеді) – шекаралар бойынша циклдердің эквиваленттік класы. Осылайша, гомология класы кез келген субкөпқырлылықтың шекарасы емес циклмен бейнеленеді: цикл тесікті көрсетеді, атап айтқанда, гипотетикалық көпқырлылықты көрсетеді, оның шекарасы осы цикл болар еді, бірақ ол "бар емес". Көптеген түрлі гомология теориялары бар. Топологиялық кеңістік немесе топ сияқты математикалық объектінің белгілі бір түрі бір немесе бірнеше қатысты гомология теорияларына ие болуы мүмкін. Егер негізгі объект топологиялық кеңістіктер сияқты геометриялық интерпретацияға ие болса, онда n-ші гомологиялық топ n өлшемдегі мінез-құлқымды көрсетеді. Гомологиялық топтардың немесе модульдердің көпшілігі тиісті абельдік категориялар бойынша туынды функторлар ретінде құрастырылуы мүмкін, функтордың дәлдігін жоқтап тұру. Осы абстрактілі тұрғысынан қарағанда, гомологиялық топтар туынды категорияның объектілерімен анықталады.
In mathematics, homology is a general way of associating a sequence of algebraic objects, such as abelian groups or modules, with other mathematical objects such as topological spaces. Homology groups were originally defined in algebraic topology. Similar constructions are available in a wide variety of other contexts, such as abstract algebra, groups, Lie algebras, Galois theory, and algebraic geometry. The original motivation for defining homology groups was the observation that two shapes can be distinguished by examining their holes. For instance, a circle is not a disk because the circle has a hole through it while the disk is solid, and the ordinary sphere is not a circle because the sphere encloses a two dimensional hole while the circle encloses a one dimensional hole. However, because a hole is "not there", it is not immediately obvious how to define a hole or how to distinguish different kinds of holes. Homology was originally a rigorous mathematical method for defining and categorizing holes in a manifold. Loosely speaking, a cycle is a closed submanifold, a boundary is a cycle which is also the boundary of a submanifold, and a homology class (which represents a hole) is an equivalence class of cycles modulo boundaries. A homology class is thus represented by a cycle which is not the boundary of any submanifold: the cycle represents a hole, namely a hypothetical manifold whose boundary would be that cycle, but which is "not there". There are many different homology theories. A particular type of mathematical object, such as a topological space or a group, may have one or more associated homology theories. When the underlying object has a geometric interpretation as topological spaces do, the nth homology group represents behavior in dimension n. Most homology groups or modules may be formulated as derived functors on appropriate abelian categories, measuring the failure of a functor to be exact. From this abstract perspective, homology groups are determined by objects of a derived category.
Шығу тегі
Гомология теориясы Эйлер полиэдрлік формуласымен немесе Эйлер сипаттамасымен басталды деуге болады. 1857 жылы Риман гендер және n еселі байланысты сандық инварианттарды анықтады, ал 1871 жылы Бетти "гомология сандарының" негіз таңдауына тәуелді еместігін дәлелдеді. Гомологияның өзі манифольдтарды олардың циклдары бойынша талдау және жіктеу әдісі ретінде дамытылды. Бұл циклдар – берілген n өлшемді манифольдта салынған, бірақ бірін-біріне үздіксіз түрлендірілмейтін жабық контурлар (немесе жалпы алғанда, субманифольдтар). Бұл циклдар кейде біріктірілетін кесінділер немесе бекітіліп, ашылатын молнияқтар ретінде де қарастырылады. Циклдар өлшемдері бойынша жіктеледі. Мысалы, бетке салынған сызық 1-циклды, яғни жабық контурды немесе (1-манифольдты) көрсетеді, ал үш өлшемді манифольд арқылы кесілген бет 2-циклды білдіреді.
Homology theory can be said to start with the Euler polyhedron formula, or Euler characteristic. This was followed by Riemann's definition of genus and n fold connectedness numerical invariants in 1857 and Betti's proof in 1871 of the independence of "homology numbers" from the choice of basis. Homology itself was developed as a way to analyse and classify manifolds according to their cycles – closed loops (or more generally submanifolds) that can be drawn on a given n dimensional manifold but not continuously deformed into each other. These cycles are also sometimes thought of as cuts which can be glued back together, or as zippers which can be fastened and unfastened. Cycles are classified by dimension. For example, a line drawn on a surface represents a 1 cycle, a closed loop or (1 manifold), while a surface cut through a three dimensional manifold is a 2 cycle.
Жалпылау
Шекарасы бар немесе ашық көпқырлы жабық көпқырлыдан топологиялық тұрғыдан өзгешеленеді және кез келген қолайлы жабық көпқырлыны кесу арқылы жасалуы мүмкін. Мысалы, диск немесе 2 шар шеңбермен шектеледі. Оны кез келген 2 көпқырлыдағы тривиальды циклді кесіп, алынған бөлігін жою арқылы, сфераны тесіп, тесікті кеңейту арқылы немесе проективті жазықтықты кесу арқылы жасауға болады. Оны жазықтықтағы шеңберді толтыру ретінде де қарастыруға болады. Егер екі цикл бірін-біріне үздіксіз түрлендірілсе, онда біреуін кесу екіншісін кесумен бірдей пішін береді, кейбір иілу мен созуға дейін. Мұндай жағдайда екі цикл гомолог немесе бір гомология класында жатыр деп айтылады. Сонымен қатар, егер бір циклді басқа циклдердің комбинациясына үздіксіз түрлендіруге болады, онда бастапқы цикл бойынша кесу басқа циклдердің комбинациясын кесумен бірдей болады. Мысалы, сегіздік пішінді кесу оның екі бөлігін кесуге тең. Бұл жағдайда сегіздік пішіні оның бөліктерінің қосындысына гомолог деп айтылады. Екі ашық көпқырлыны ұқсас шекараларымен (кейбір иілу мен созуға дейін) біріктіріп, олардың қосылған қосындысы болатын жаңа көпқырлы жасауға болады. Бұл геометриялық талдау көпқырлылар үшін қатаң емес. Қатаңдықты арттыру үшін Пуанкаре үшбұрышты көпқырлының қарапайым гомологиясын жасап, қазір тізбекті кешен деп аталатын нәрсені құрды. Бұл тізбекті кешендер (көптеген жағдайларда жалпыланған) гомологияның қазіргі заманғы көптеген тәсілдерінің негізін құрайды. Мұндай тәсілдерде цикл үздіксіз болуы міндетті емес: 0 цикл – нүктелер жиынтығы, ал осы цикл бойынша кесу көпқырлыны тесуге сәйкес келеді. 1 цикл – жабық циклдер жиынтығы (1 көпқырлының бейнесі). Бір цикл бойынша кесу беттің ажыратылмаған бөліктерін немесе қарапайым пішін алуға мүмкіндік береді. 2 цикл – сфера немесе тор сияқты енгізілген беттер жиынтығына сәйкес келеді. Эмми Нётер және тәуелсіз түрде Леопольд Виторис және Вальтер Майер 1925–28 жылдары алгебралық гомология топтарының теориясын одан әрі дамытты. Жаңа комбинаторлық топология формальды түрде топологиялық кластарды абельдік топтар ретінде қарастырды. Гомология топтары – шекті түрде жасалған абельдік топтар, ал гомология кластары – осы топтардың элементтері. Көпқырлының Бетти сандары – гомология тобының еркін бөлігінің ранкі, ал бағытталмаған циклдар бұрылу бөлігімен сипатталады. Гомология топтарының кейінгі таралуы терминология мен көзқарастың «комбинаторлық топологиядан» «алгебралық топологияға» өзгеруіне әкелді. Алгебралық гомология көпқырлыларды жіктеудің негізгі әдісі болып табылады.
A manifold with boundary or open manifold is topologically distinct from a closed manifold and can be created by making a cut in any suitable closed manifold. For example the disk or 2 ball is bounded by a circle It may be created by cutting a trivial cycle in any 2 manifold and keeping the piece removed, by piercing the sphere and stretching the puncture wide, or by cutting the projective plane. It can also be seen as filling in the circle in the plane. When two cycles can be continuously deformed into each other, then cutting along one produces the same shape as cutting along the other, up to some bending and stretching. In this case the two cycles are said to be homologous or to lie in the same homology class. Additionally, if one cycle can be continuously deformed into a combination of other cycles, then cutting along the initial cycle is the same as cutting along the combination of other cycles. For example, cutting along a figure 8 is equivalent to cutting along its two lobes. In this case, the figure 8 is said to be homologous to the sum of its lobes. Two open manifolds with similar boundaries (up to some bending and stretching) may be glued together to form a new manifold which is their connected sum. This geometric analysis of manifolds is not rigorous. In a search for increased rigour, Poincaré went on to develop the simplicial homology of a triangulated manifold and to create what is now called a chain complex. These chain complexes (since greatly generalized) form the basis for most modern treatments of homology. In such treatments a cycle need not be continuous: a 0 cycle is a set of points, and cutting along this cycle corresponds to puncturing the manifold. A 1 cycle corresponds to a set of closed loops (an image of the 1 manifold ). On a surface, cutting along a 1 cycle yields either disconnected pieces or a simpler shape. A 2 cycle corresponds to a collection of embedded surfaces such as a sphere or a torus, and so on. Emmy Noether and, independently, Leopold Vietoris and Walther Mayer further developed the theory of algebraic homology groups in the period 1925–28. The new combinatorial topology formally treated topological classes as abelian groups. Homology groups are finitely generated abelian groups, and homology classes are elements of these groups. The Betti numbers of the manifold are the rank of the free part of the homology group, and the non orientable cycles are described by the torsion part. The subsequent spread of homology groups brought a change of terminology and viewpoint from "combinatorial topology" to "algebraic topology". Algebraic homology remains the primary method of classifying manifolds.
Гомология мен гомотопия
Гомотопиялық топтар гомологиялық топтарға ұқсас, себебі олар топологиялық кеңістіктегі "бөліктерді" көрсете алады. Бірінші гомотопиялық топ пен бірінші гомологиялық топ арасында тығыз байланыс бар: екіншісі біріншісінің абелиандалуы болып табылады. Сондықтан, "гомология – гомотопияның коммутативті альтернативасы" делінеді. Жоғары гомотопиялық топтар абельдік және Гуревич теоремасы бойынша гомологиялық топтармен байланысты, бірақ олар әлдеқайда күрделі болуы мүмкін. Мысалы, сфералардың гомотопиялық топтары жеткілікті зерттелмеген және гомологиялық топтарға қарағанда, жалпы жағдайда белгілі емес. Мысалы, X фигурасы сегіз болсын. Оның бірінші гомотопиялық тобы – алдын ала белгіленген нүктеден басталып, сонда аяқталатын бағытталған циклдар тобы (мысалы, оның ортасы). Бұл 2-дәрежелі еркін топқа тең, ол коммутативті емес: сол жақ циклдың бойымен, содан кейін оң жақ циклдың бойымен жүру, оң жақ циклдың бойымен, содан кейін сол жақ циклдың бойымен жүруден өзгеше. Керісінше, оның бірінші гомологиялық тобы – бетте жасалған кесінділер тобы. Бұл топ коммутативті, себебі (бейресми түрде) сол жақ циклды, содан кейін оң жақ циклды кесу, оң жақ циклды, содан кейін сол жақ циклды кесумен бірдей нәтиже береді.
Homotopy groups are similar to homology groups in that they can represent "holes" in a topological space. There is a close connection between the first homotopy group and the first homology group : the latter is the abelianization of the former. Hence, it is said that "homology is a commutative alternative to homotopy". The higher homotopy groups are abelian and are related to homology groups by the Hurewicz theorem, but can be vastly more complicated. For instance, the homotopy groups of spheres are poorly understood and are not known in general, in contrast to the straightforward description given above for the homology groups. As an example, let X be the figure eight. Its first homotopy group is the group of directed loops starting and ending at a predetermined point (e. g. its center). It is equivalent to the free group of rank 2, which is not commutative: looping around the leftmost cycle and then around the rightmost cycle is different than looping around the rightmost cycle and then looping around the leftmost cycle. In contrast, its first homology group is the group of cuts made in a surface. This group is commutative, since (informally) cutting the leftmost cycle and then the rightmost cycle leads to the same result as cutting the rightmost cycle and then the leftmost cycle.
Гомология түрлері
Гомология теориясының әртүрлі түрлері математикалық объектілердің әртүрлі санаттарынан тізбекті кешендер санатына бейнелейтін функторлардан туындайды. Әрбір жағдайда, объектілерден тізбекті кешендерге және тізбекті кешендерден гомология топтарына функторлардың композициясы, теорияның толық гомология функторын анықтайды.
The different types of homology theory arise from functors mapping from various categories of mathematical objects to the category of chain complexes. In each case the composition of the functor from objects to chain complexes and the functor from chain complexes to homology groups defines the overall homology functor for the theory.
Бірлік гомология
Модель ретінде симплициалдық гомология мысалын қолдана отырып, кез келген X топологиялық кеңістік үшін сингулярлы гомологияны анықтауға болады. X үшін тізбектік кешен Cn – n өлшемді симплекстерден X-ке барлық үздіксіз бейнелеулердің генераторлары болатын еркін абельдік топ (немесе еркін модуль) ретінде анықталады. ∂n гомоморфизмдері симплекстердің шекаралық бейнелеулерінен туындайды.
Using simplicial homology example as a model, one can define a singular homology for any topological space X. A chain complex for X is defined by taking Cn to be the free abelian group (or free module) whose generators are all continuous maps from n dimensional simplices into X. The homomorphisms ∂n arise from the boundary maps of simplices.
Гомология функторлары
Тізбекті кешендер бір санатты құрайды: тізбекті кешеннен тізбекті кешенге морфизм – барлық n үшін гомоморфизмдер тізбегі. n-ші гомология Hn тізбекті кешендер санатынан абельдік топтар (немесе модульдер) санатына ковариантты функтор ретінде қарастырылуы мүмкін. Егер тізбектік кешен X нысанына ковариантты түрде тәуелді болса (яғни, кез келген морфизм f: X → Y, X-тің тізбектік кешенінен Y-тің тізбектік кешеніне морфизмді тудырады), онда Hn, X жататын санаттан абельдік топтар (немесе модульдер) санатына ковариантты функтор болады. Гомология мен кохомологияның жалғыз айырмашылығы – кохомологияда тізбекті кешендер X-ке қарама-қарсы түрде тәуелді, сондықтан гомология топтары (осы контексте кохомология топтары деп аталады және Hn арқылы белгіленеді) X жататын санаттан абельдік топтар немесе модульдер санатына қарама-қарсы функторларды құрайды.
Chain complexes form a category: A morphism from the chain complex to the chain complex is a sequence of homomorphisms such that for all n. The n th homology Hn can be viewed as a covariant functor from the category of chain complexes to the category of abelian groups (or modules). If the chain complex depends on the object X in a covariant manner (meaning that any morphism induces a morphism from the chain complex of X to the chain complex of Y), then the Hn are covariant functors from the category that X belongs to into the category of abelian groups (or modules). The only difference between homology and cohomology is that in cohomology the chain complexes depend in a contravariant manner on X, and that therefore the homology groups (which are called cohomology groups in this context and denoted by Hn) form contravariant functors from the category that X belongs to into the category of abelian groups or modules.
Ғылым мен техникада қолдану
Топологиялық деректерді талдауда дерек жиынтықтары Евклид кеңістігіне енгізілген көпқырлы немесе алгебралық сан алуандықтың нүктелік бұлтты үлгісі ретінде қарастырылады. Бұлттағы ең жақын көрші нүктелерді үшбұрыштық байланыс арқылы қосу арқылы көпқырлының қарапайым шамалауы жасалады және оның қарапайым гомологиясы есептелуі мүмкін. Әртүрлі үшбұрыштық стратегияларды қолдана отырып, әртүрлі ұзындық масштабтарында гомологияны тұрақты түрде есептеу әдістерін табу – тұрақты гомологияның тақырыбы. Сенсорлық желілерде сенсорлар ақпаратты уақыт өте динамикалық түрде өзгеретін арнайы желі арқылы жіберуі мүмкін. Жергілікті өлшемдер мен байланыс жолдарының бұл жиынтығының жаһандық контекстін түсіну үшін желі топологиясының гомологиясын есептеу пайдалы, мысалы, жабудағы тесіктерді бағалау үшін. Физикадағы динамикалық жүйелер теориясында Пуанкаре динамикалық жүйенің инвариантты көпқырлылығы мен оның топологиялық инварианттары арасындағы байланысты алғашқылардың бірі болып қарастырды. Морс теориясы, мысалы, оның гомологиясына, көпқырлы бетіндегі градиент ағынының динамикасын байланыстырады. Флор гомологиясы оны шексіз өлшемді көпқырлылықтарға дейін кеңейтті. КАМ теоремасы кезеңдік орбиталар күрделі траекторияларды қадағалайтынын көрсетті; атап айтқанда, олар Флор гомологиясын қолдана отырып зерттелетін өрімдерді құрауы мүмкін. Шекті элементтік әдістердің бір класында Ходж Лаплас операторына қатысты дифференциалдық теңдеулердің шекаралық мәндер проблемаларын топологиялық емес домендерде, мысалы, электромагниттік модельдеуде шешу қажет болуы мүмкін. Бұл модельдеулерде шешімді таңдалған шекаралық шарттар мен доменнің гомологиясына сүйенген шешімнің когомология класын бекіту арқылы жеңілдетуге болады. FEM домендерін үшбұрыштауға болады, содан кейін қарапайым гомологияны есептеуге болады.
In topological data analysis, data sets are regarded as a point cloud sampling of a manifold or algebraic variety embedded in Euclidean space. By linking nearest neighbor points in the cloud into a triangulation, a simplicial approximation of the manifold is created and its simplicial homology may be calculated. Finding techniques to robustly calculate homology using various triangulation strategies over multiple length scales is the topic of persistent homology. In sensor networks, sensors may communicate information via an ad hoc network that dynamically changes in time. To understand the global context of this set of local measurements and communication paths, it is useful to compute the homology of the network topology to evaluate, for instance, holes in coverage. In dynamical systems theory in physics, Poincaré was one of the first to consider the interplay between the invariant manifold of a dynamical system and its topological invariants. Morse theory relates the dynamics of a gradient flow on a manifold to, for example, its homology. Floer homology extended this to infinite dimensional manifolds. The KAM theorem established that periodic orbits can follow complex trajectories; in particular, they may form braids that can be investigated using Floer homology. In one class of finite element methods, boundary value problems for differential equations involving the Hodge Laplace operator may need to be solved on topologically nontrivial domains, for example, in electromagnetic simulations. In these simulations, solution is aided by fixing the cohomology class of the solution based on the chosen boundary conditions and the homology of the domain. FEM domains can be triangulated, from which the simplicial homology can be calculated.
Бағдарламалық жасақтама
Шекті жасушалық кешендердің гомологиялық топтарын есептеу мақсатында әртүрлі бағдарламалық пакеттер әзірленді. Linbox – бұл Смит қалыпты түрін қоса алғанда, жылдам матрицалық операцияларды орындауға арналған C++ кітапханасы; ол Gap және Maple екеуімен де байланысады. Chomp, CAPD::Redhom және Perseus та C++ тілінде жазылған. Үшеуі де қарапайым гомотопиялық теңдестік және дискретті Морзе теориясына негізделген алдын ала өңдеу алгоритмдерін іске асырады, бұл матрицалық алгебраны қолдану алдында кіріс жасушалық кешендерін гомологияны сақтайтын күйге келтіруге мүмкіндік береді. Kenzo Lisp тілінде жазылған, және гомологиядан басқа, оны шекті симплициалдық кешендердің гомотопиялық топтарының ұсынылымдарын жасау үшін де пайдалануға болады. Gmsh шекті элементтік торлар үшін гомологияны шешу құралына ие, ол шекті элементтік бағдарламалық жасақтамада тікелей қолданылатын кохомологиялық базаларды құруға мүмкіндік береді.
Various software packages have been developed for the purposes of computing homology groups of finite cell complexes. Linbox is a C++ library for performing fast matrix operations, including Smith normal form; it interfaces with both Gap and Maple. Chomp, CAPD::Redhom and Perseus are also written in C++. All three implement pre processing algorithms based on simple homotopy equivalence and discrete Morse theory to perform homology preserving reductions of the input cell complexes before resorting to matrix algebra. Kenzo is written in Lisp, and in addition to homology it may also be used to generate presentations of homotopy groups of finite simplicial complexes. Gmsh includes a homology solver for finite element meshes, which can generate Cohomology bases directly usable by finite element software.