Применение алгебраических структур к топологическим пространствам.

Введение

Применение алгебраических структур к топологическим пространствам

В математике гомология — это общий способ сопоставления последовательности алгебраических объектов, таких как абелевы группы или модули, другим математическим объектам, таким как топологические пространства. Гомологические группы первоначально были определены в алгебраической топологии. Подобные построения доступны в широком разнообразии других областей, таких как абстрактная алгебра, группы, алгебры Ли, теория Галуа и алгебраическая геометрия. Первоначальной мотивацией для определения групп гомологии было наблюдение, что две фигуры можно различить, исследуя их отверстия. Например, окружность не является диском, потому что окружность имеет отверстие, а диск — сплошной, и обычная сфера не является окружностью, потому что сфера заключает в себе двумерное отверстие, в то время как окружность заключает в себе одномерное отверстие. Однако, поскольку отверстия «отсутствуют», не сразу очевидно, как определить отверстие или как различить различные типы отверстий. Гомология изначально была строгим математическим методом определения и классификации отверстий в многообразии. В общих чертах, цикл — это замкнутое подмногообразие, граница — это цикл, который также является границей подмногообразия, а класс гомологии (который представляет отверстие) — это класс эквивалентности циклов по модулю границ. Таким образом, класс гомологии представлен циклом, который не является границей какого-либо подмногообразия: цикл представляет собой отверстие, а именно гипотетическое многообразие, границей которого был бы этот цикл, но которое «отсутствует». Существует множество различных теорий гомологии. Определенный тип математического объекта, такой как топологическое пространство или группа, может иметь одну или несколько связанных с ним теорий гомологии. Когда базовый объект имеет геометрическую интерпретацию, как это происходит с топологическими пространствами, n-я гомологическая группа представляет поведение в размерности n. Большинство гомологических групп или модулей можно сформулировать как производные функторы на соответствующих абелевых категориях, измеряя неточность функтора. С этой абстрактной точки зрения гомологические группы определяются объектами производной категории.

In mathematics, homology is a general way of associating a sequence of algebraic objects, such as abelian groups or modules, with other mathematical objects such as topological spaces. Homology groups were originally defined in algebraic topology. Similar constructions are available in a wide variety of other contexts, such as abstract algebra, groups, Lie algebras, Galois theory, and algebraic geometry. The original motivation for defining homology groups was the observation that two shapes can be distinguished by examining their holes. For instance, a circle is not a disk because the circle has a hole through it while the disk is solid, and the ordinary sphere is not a circle because the sphere encloses a two dimensional hole while the circle encloses a one dimensional hole. However, because a hole is "not there", it is not immediately obvious how to define a hole or how to distinguish different kinds of holes. Homology was originally a rigorous mathematical method for defining and categorizing holes in a manifold. Loosely speaking, a cycle is a closed submanifold, a boundary is a cycle which is also the boundary of a submanifold, and a homology class (which represents a hole) is an equivalence class of cycles modulo boundaries. A homology class is thus represented by a cycle which is not the boundary of any submanifold: the cycle represents a hole, namely a hypothetical manifold whose boundary would be that cycle, but which is "not there". There are many different homology theories. A particular type of mathematical object, such as a topological space or a group, may have one or more associated homology theories. When the underlying object has a geometric interpretation as topological spaces do, the nth homology group represents behavior in dimension n. Most homology groups or modules may be formulated as derived functors on appropriate abelian categories, measuring the failure of a functor to be exact. From this abstract perspective, homology groups are determined by objects of a derived category.

Происхождение

Можно сказать, что теория гомологии берет начало в формуле Эйлера для многогранников, или в характеристике Эйлера. За этим последовало определение Риманом рода и n-кратной связности как численных инвариантов в 1857 году и доказательство Бетти в 1871 году независимости "гомологических чисел" от выбора базиса. Сама гомология была разработана как метод анализа и классификации многообразий на основе их циклов – замкнутых контуров (или, в более общем случае, подмногообразий), которые можно нарисовать на заданном n-мерном многообразии, но нельзя непрерывно деформировать друг в друга. Эти циклы также иногда представляются как разрезы, которые можно склеить, или как молнии, которые можно застегнуть и расстегнуть. Циклы классифицируются по размерности. Например, линия, нарисованная на поверхности, представляет собой 1-цикл, замкнутую петлю или 1-многообразие, а поверхность, прорезанная сквозь трехмерное многообразие, – 2-цикл.

Обобщение

Многообразие с границей или открытое многообразие топологически отличается от замкнутого многообразия и может быть получено путем разрезания любого подходящего замкнутого многообразия. Например, диск или 2-шар ограничен кругом. Его можно получить, разрезая тривиальный цикл на любом 2-многообразии и удаляя часть, проколоть сферу и расширить прокол, или разрезать проективную плоскость. Это также можно представить как заполнение круга на плоскости. Когда два цикла можно непрерывно деформировать друг в друга, то разрез вдоль одного дает ту же форму, что и разрез вдоль другого, с точностью до изгиба и растяжения. В этом случае говорят, что два цикла гомологичны или лежат в одном классе гомологии. Кроме того, если один цикл можно непрерывно деформировать в комбинацию других циклов, то разрез вдоль исходного цикла эквивалентен разрезу вдоль комбинации других циклов. Например, разрез вдоль восьмерки эквивалентен разрезу вдоль ее двух петель. В этом случае восьмерка считается гомологичной сумме ее петель. Два открытых многообразия с похожими границами (с точностью до изгиба и растяжения) можно склеить вместе, чтобы образовать новое многообразие, которое является их связной суммой. Этот геометрический анализ многообразий не является строгим. В поисках большей строгости Пуанкаре разработал симплициальную гомологию триангулированного многообразия и создал то, что теперь называется цепным комплексом. Эти цепные комплексы (которые значительно обобщены) составляют основу большинства современных подходов к гомологии. В таких подходах цикл не обязательно должен быть непрерывным: 0-цикл — это набор точек, и разрез вдоль этого цикла соответствует проколу многообразия. 1-цикл соответствует набору замкнутых контуров (изображению 1-многообразия). На поверхности разрез вдоль 1-цикла дает либо несвязные части, либо более простую форму. 2-цикл соответствует набору вложенных поверхностей, таких как сфера или тор, и так далее. Эмми Нётер и, независимо от нее, Леопольд Виеторис и Вальтер Майер дополнительно развили теорию алгебраических гомологических групп в период 1925–1928 годов. Новая комбинаторная топология формально рассматривала топологические классы как абелевы группы. Гомологические группы — это конечно порожденные абелевы группы, а гомологические классы — элементы этих групп. Числа Бетти многообразия — это ранг свобоной части гомологической группы, а неориентируемые циклы описываются торсионной частью. Последующее распространение гомологических групп привело к изменению терминологии и точки зрения с «комбинаторной топологии» на «алгебраическую топологию». Алгебраическая гомология остается основным методом классификации многообразий.

A manifold with boundary or open manifold is topologically distinct from a closed manifold and can be created by making a cut in any suitable closed manifold. For example the disk or 2 ball is bounded by a circle It may be created by cutting a trivial cycle in any 2 manifold and keeping the piece removed, by piercing the sphere and stretching the puncture wide, or by cutting the projective plane. It can also be seen as filling in the circle in the plane. When two cycles can be continuously deformed into each other, then cutting along one produces the same shape as cutting along the other, up to some bending and stretching. In this case the two cycles are said to be homologous or to lie in the same homology class. Additionally, if one cycle can be continuously deformed into a combination of other cycles, then cutting along the initial cycle is the same as cutting along the combination of other cycles. For example, cutting along a figure 8 is equivalent to cutting along its two lobes. In this case, the figure 8 is said to be homologous to the sum of its lobes. Two open manifolds with similar boundaries (up to some bending and stretching) may be glued together to form a new manifold which is their connected sum. This geometric analysis of manifolds is not rigorous. In a search for increased rigour, Poincaré went on to develop the simplicial homology of a triangulated manifold and to create what is now called a chain complex. These chain complexes (since greatly generalized) form the basis for most modern treatments of homology. In such treatments a cycle need not be continuous: a 0 cycle is a set of points, and cutting along this cycle corresponds to puncturing the manifold. A 1 cycle corresponds to a set of closed loops (an image of the 1 manifold ). On a surface, cutting along a 1 cycle yields either disconnected pieces or a simpler shape. A 2 cycle corresponds to a collection of embedded surfaces such as a sphere or a torus, and so on. Emmy Noether and, independently, Leopold Vietoris and Walther Mayer further developed the theory of algebraic homology groups in the period 1925–28. The new combinatorial topology formally treated topological classes as abelian groups. Homology groups are finitely generated abelian groups, and homology classes are elements of these groups. The Betti numbers of the manifold are the rank of the free part of the homology group, and the non orientable cycles are described by the torsion part. The subsequent spread of homology groups brought a change of terminology and viewpoint from "combinatorial topology" to "algebraic topology". Algebraic homology remains the primary method of classifying manifolds.

Гомология против гомотопии

Гомотопические группы похожи на гомологические группы в том, что они могут представлять "дыры" в топологическом пространстве. Существует тесная связь между первой гомотопической группой и первой гомологической группой: последняя является абелианизацией первой. Поэтому говорят, что "гомология — это коммутативная альтернатива гомотопии". Высшие гомотопические группы абелевы и связаны с гомологическими группами теоремой Гуревича, но могут быть значительно сложнее. Например, гомотопические группы сфер изучены недостаточно хорошо и в общем случае не известны, в отличие от простого описания, приведенного выше для гомологических групп. В качестве примера рассмотрим X — фигуру, напоминающую восьмерку. Ее первая гомотопическая группа — это группа ориентированных петель, начинающихся и заканчивающихся в заданной точке (например, в ее центре). Она эквивалентна свободной группе ранга 2, которая некоммутативна: обход сначала левой петли, а затем правой отличается от обхода сначала правой петли, а затем левой. В отличие от этого, ее первая гомологическая группа — это группа разрезов, сделанных на поверхности. Эта группа коммутативна, поскольку (неформально) разрез сначала левой петли, а затем правой приводит к тому же результату, что и разрез сначала правой петли, а затем левой.

Типы гомологии

Различные типы теории гомологии возникают из функторов, отображающих различные категории математических объектов в категорию цепных комплексов. В каждом случае композиция функтора из объектов в цепные комплексы и функтора из цепных комплексов в группы гомологий определяет общий гомологический функтор для данной теории.

Однозначная гомология

Используя пример упрощенной гомологии в качестве модели, можно определить сингулярную гомологию для любого топологического пространства X. Цепной комплекс для X определяется путем задания Cn как свободной абелевой группы (или свободного модуля), генераторами которой являются все непрерывные отображения из n-мерных симплексов в X. Гомоморфизмы ∂n возникают из граничных отображений симплексов.

Функторы гомологии

Цепные комплексы образуют категорию: морфизм из цепного комплекса в цепной комплекс – это последовательность гомоморфизмов , такая, что для всех n. n-я гомология Hn может рассматриваться как ковариантный функтор из категории цепных комплексов в категорию абелевых групп (или модулей). Если цепной комплекс зависит от объекта X ковариантно (то есть любой морфизм индуцирует морфизм из цепного комплекса X в цепной комплекс Y), то Hn являются ковариантными функторами из категории, к которой принадлежит X, в категорию абелевых групп (или модулей). Единственное различие между гомологией и кохомологией состоит в том, что в кохомологии цепные комплексы зависят от X контравариантно, и поэтому группы гомологий (которые в этом контексте называются группами кохомологий и обозначаются Hn) образуют контравариантные функторы из категории, к которой принадлежит X, в категорию абелевых групп или модулей.

Применение в науке и технике

В топологическом анализе данных, наборы данных рассматриваются как дискретная выборка облака точек многообразия или алгебраического многообразия, встроенного в евклидово пространство. Соединяя ближайшие соседние точки в облаке в триангуляцию, создается симплициальное приближение многообразия, и может быть вычислена его симплициальная гомология. Поиск методов надежного вычисления гомологии с использованием различных стратегий триангуляции в нескольких масштабах является предметом устойчивой гомологии. В сенсорных сетях датчики могут обмениваться информацией посредством ad hoc сети, динамически изменяющейся во времени. Для понимания глобального контекста этого набора локальных измерений и путей связи полезно вычислить гомологию топологии сети для оценки, например, дыр в покрытии. В теории динамических систем в физике Пуанкаре одним из первых рассмотрел взаимодействие между инвариантным многообразием динамической системы и ее топологическими инвариантами. Теория Морса связывает динамику градиентного потока на многообразии, например, с его гомологией. Гомология Флоера распространила это на бесконечномерные многообразия. Теорема КАМ установила, что периодические орбиты могут следовать сложным траекториям; в частности, они могут образовывать косы, которые можно исследовать с помощью гомологии Флоера. В одном классе методов конечных элементов, граничные задачи для дифференциальных уравнений, включающих оператор Ходжа-Лапласа, могут нуждаться в решении на топологически нетривиальных областях, например, в электромагнитных симуляциях. В этих симуляциях решению помогает фиксация класса когомологий решения на основе выбранных граничных условий и гомологии области. Области FEM могут быть триангулированы, из которых можно вычислить симплициальную гомологию.

Программное обеспечение

Разработаны различные программные пакеты для вычисления гомологических групп конечных клеточных комплексов. Linbox – это библиотека на C++ для выполнения быстрых матричных операций, включая нормальную форму Смита; она имеет интерфейс как с Gap, так и с Maple. Chomp, CAPD::Redhom и Perseus также написаны на C++. Все три реализуют алгоритмы предварительной обработки, основанные на простой эквивалентности гомотопии и дискретной теории Морзе, для выполнения гомологически сохраняющих сокращений входных клеточных комплексов перед использованием матричной алгебры. Kenzo написан на Lisp и может использоваться не только для вычисления гомологии, но и для генерации представлений гомотопических групп конечных симплициальных комплексов. Gmsh включает в себя решатель гомологии для сеток конечных элементов, который может генерировать кохомологические базисы, непосредственно пригодные для использования в программном обеспечении для численного моделирования методом конечных элементов.