Введение

Группа матриц с детерминантом 1

В математике специальная линейная группа SL(n, R) степени n над коммутативным кольцом R — это множество матриц n × n с детерминантом 1, с групповыми операциями обычного умножения матриц и инверсии матриц. Это нормальная подгруппа общей линейной группы, заданная ядром детерминанта, где R× — это мультипликативная группа R (то есть R без нуля). Эти элементы являются "специальными" в том смысле, что они образуют алгебраическую подвариантность общей линейной группы – они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку детерминант является полиномом от элементов матрицы). Когда R — конечное поле порядка q, иногда используется обозначение SL(n, q).

Геометрическая интерпретация

Специальную линейную группу SL(n, R) можно охарактеризовать как группу линейных преобразований пространства Rn, сохраняющих объем и ориентацию; это соответствует пониманию определителя как меры изменения объема и ориентации.

Подгруппа Лей

Когда F равно R или C, SL(n, F) является подгруппой Ли группы GL(n, F) размерности n² − 1. Алгебра Ли SL(n, F) состоит из всех n × n матриц над F с нулевым следом. Ли скобка задается коммутатором.

Топология

Любая обратимая матрица может быть однозначно представлена в соответствии с полярным разложением как произведение унитарной матрицы и эрмитовой матрицы с положительными собственными значениями. Детерминант унитарной матрицы лежит на единичной окружности, а детерминант эрмитовой матрицы является вещественным и положительным, и поскольку в случае матрицы из специальной линейной группы произведение этих двух детерминантов должно быть равно 1, то каждый из них должен быть равен 1. Следовательно, специальную линейную матрицу можно записать как произведение специальной унитарной матрицы (или специальной ортогональной матрицы в вещественном случае) и положительно определенной эрмитовой матрицы (или симметричной матрицы в вещественном случае) с детерминантом 1. Таким образом, топология группы SL(n, C) является произведением топологии SU(n) и топологии группы эрмитовых матриц с единичным детерминантом и положительными собственными значениями. Эрмитова матрица с единичным детерминантом и положительными собственными значениями может быть однозначно выражена как экспонента от бесследной эрмитовой матрицы, и поэтому её топология соответствует топологии (n² − 1)-мерного евклидова пространства. Поскольку SU(n) простосвязна, заключаем, что SL(n, C) также простосвязна для всех n, больших или равных 2. Топология SL(n, R) является произведением топологии SO(n) и топологии группы симметричных матриц с положительными собственными значениями и единичным детерминантом. Поскольку последние матрицы могут быть однозначно выражены как экспоненты от симметричных бесследных матриц, то эта последняя топология соответствует топологии ((n + 2)(n − 1))/2-мерного евклидова пространства. Таким образом, группа SL(n, R) имеет ту же фундаментальную группу, что и SO(n), то есть Z для n = 1 или n = 2 и Z₂ для n > 2. В частности, это означает, что SL(n, R), в отличие от SL(n, C), не является простосвязной для n больше 1.

Генераторы и связи

Если работать над кольцом, где SL порождается трансвекциями (например, поле или евклидово кольцо), можно представить SL с помощью трансвекций и некоторых соотношений. Трансвекции удовлетворяют соотношениям Штейнберга, но этих соотношений недостаточно: полученная группа является группой Штейнберга, которая не совпадает со специальной линейной группой, а представляет собой универсальное центральное расширение коммутаторной подгруппы GL. Достаточный набор соотношений для SL(n, Z) при n ≥ 3 задается двумя соотношениями Штейнберга и третьим соотношением. Пусть T<sub>ij</sub> := e<sub>ij</sub>(1) – элементарная матрица с единицами на диагонали и в позиции (i, j), а в остальных позициях – нули (причем i ≠ j). Тогда

являются полным набором соотношений для SL(n, Z), n ≥ 3.

СЛ±(n,F)

В характеристике, отличной от 2, множество матриц с детерминантом ±1 образует другую подгруппу GL, при этом SL является подгруппой индекса 2 (необходимо нормальной); в характеристике 2 это то же самое, что SL. Это формирует точную короткую последовательность групп:

Эта последовательность расщепляется, если взять любую матрицу с детерминантом −1, например, диагональную матрицу. Если *n* нечетно, то отрицательная единичная матрица находится в SL^(±)(n,F), но не в SL(n,F), и, следовательно, группа расщепляется как внутреннее прямое произведение. Однако, если *n* четно, то она уже находится в SL(n,F), SL^(±) не расщепляется и, в общем случае, является нетривиальным расширением группы. Над действительными числами SL^(±)(n, R) имеет два связных компонента, соответствующих SL(n, R) и другому компоненту, которые изоморфны с идентификацией, зависящей от выбора точки (матрицы с детерминантом −1). В нечетных измерениях они естественно отождествляются, но в четных измерениях не существует единственной естественной идентификации.