Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Абстрактіл алгебралық логикада, математикалық логиканың бір саласы, Лейбниц операторы - дедуктивті жүйелерді жіктеу үшін қолданылатын құрал, олар нақты техникалық анықтамасы бар және көптеген логиканы қамтиды. Лейбниц операторын осы саланың негізін қалаушылардың екеуі Вим Блок пен Дон Пигоцци таныстырды. Бұл - Буль алгебрасын классикалық пропозициялық калькульмен байланыстыруға әкелетін және оны мүмкіндігінше әртүрлі сөйлемдік логикаға қолдануға болатын белгілі Линденбаум-Тарски процесін абстракциялау құралы ретінде. Бұл - берілген сөйлемдік логиканың берілген теориясына, оның ғаламда операциясы бар алгебра термині ретінде қабылданатын, теориямен үйлесімді алгебрадағы ең үлкен конгруентті тағайындаған оператор.
In abstract algebraic logic, a branch of mathematical logic, the Leibniz operator is a tool used to classify deductive systems, which have a precise technical definition and capture a large number of logics. The Leibniz operator was introduced by Wim Blok and Don Pigozzi, two of the founders of the field, as a means to abstract the well known Lindenbaum–Tarski process, that leads to the association of Boolean algebras to classical propositional calculus, and make it applicable to as wide a variety of sentential logics as possible. It is an operator that assigns to a given theory of a given sentential logic, perceived as a term algebra with a consequence operation on its universe, the largest congruence on the algebra that is compatible with the theory.
Иерархиялық жүйе
Лейбниц операторы және оның белгілі бір сөйлемдік логика үшін қанағаттандырылуы немесе қанағаттандырылмауы мүмкін әртүрлі қасиеттерін зерттеу қазір абстрактіл алгебралық иерархия немесе сөйлемдік логиканың Лейбниц иерархиясы деп аталатын нәрсеге жол ашты. Логика логика мен оның алгебралық әріптесі арасындағы байланыстың қаншалықты берік екеніне байланысты осы иерархияның әртүрлі деңгейлеріне жіктеледі. Лейбниц операторының логиканы жіктеуге көмектесетін қасиеттері - кері алмастырулар бар монотондық, инжективтілік, үздіксіздік және коммутативтілік. Мысалы, иерархиядағы ең кең класты құрайтын протоалгебралық логика , яғни иерархияның түбінде жатқан және барлық басқа кластарды қамтитын , олардың теориялары бойынша Лейбниц операторының монотондылығымен сипатталады. Басқа да елеулі сыныптар басқаларымен қатар эквиваленттік логика, әлсіз алгебралық логика және алгебралық логика арқылы қалыптасады. Категорикалық абстрактіл алгебралық логика аясында Лейбниц операторының жалпылауы бар, бұл бұрын тек сөйлемдік логика шеңберінде қолданылатын әдістердің кең ауқымын институттар ретінде формальданған логикаға қолдануға мүмкіндік береді. Институттық негіздеме сөйлемдік логиканың шеңберінен әлдеқайда кең, өйткені ол тілге бірнеше қолтаңбалар мен сандықтарды енгізуге мүмкіндік береді және синтаксистік негізделмеген логиканы басқару механизмін ұсынады.
The Leibniz operator and the study of various of its properties that may or may not be satisfied for particular sentential logics have given rise to what is now known as the abstract algebraic hierarchy or Leibniz hierarchy of sentential logics. Logics are classified in various levels of this hierarchy depending on how strong a tie exists between the logic and its algebraic counterpart. The properties of the Leibniz operator that help classify the logics are monotonicity, injectivity, continuity and commutativity with inverse substitutions. For instance, protoalgebraic logics, forming the widest class in the hierarchy – i. e., the one that lies in the bottom of the hierarchy and contains all other classes – are characterized by the monotonicity of the Leibniz operator on their theories. Other notable classes are formed by the equivalential logics, the weakly algebraizable logics and the algebraizable logics, among others. There is a generalization of the Leibniz operator, in the context of categorical abstract algebraic logic, that makes it possible to apply a wide variety of techniques that were previously applicable only in the sentential logic framework to logics formalized as institutions. The institution framework is significantly wider in scope than the framework of sentential logics because it allows incorporating multiple signatures and quantifiers in the language and it provides a mechanism for handling logics that are not syntactically based.