Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық есептеудегі математикалық әдіс
Mathematical method in calculus
Математикалық есептеуде және жалпы математикалық талдауда, интегралдаудың бөліктерімен немесе жартылай интегралдау – функциялардың көбейтіндісінің интегралын олардың туындысы мен түпнұсқасының көбейтіндісінің интегралы арқылы табу процесі. Бұл әдіс көбінесе функциялардың көбейтіндісінің түпнұсқасын оңай шешімі табылатын түпнұсқаға түрлендіру үшін қолданылады. Бұл ережені көбейтіндінің дифференциалдау ережесінің интегралдық түрі деп қарастыруға болады; шындығында, ол көбейтінді ережесін қолдану арқылы шығарылады. Интегралдаудың бөліктері арқылы формуласы былай жазылады:
In calculus, and more generally in mathematical analysis, integration by parts or partial integration is a process that finds the integral of a product of functions in terms of the integral of the product of their derivative and antiderivative. It is frequently used to transform the antiderivative of a product of functions into an antiderivative for which a solution can be more easily found. The rule can be thought of as an integral version of the product rule of differentiation; it is indeed derived using the product rule. The integration by parts formula states:
Немесе, егер және болса, ал және болса, онда формуланы ықшамдап жазуға болады:
Or, letting and while and the formula can be written more compactly:
Бұл ретте, бірінші өрнек белгілі интеграл түрінде, ал екіншісі – белгісіз интеграл түрінде жазылғанын ескеру маңызды. Екінші өрнекке тиісті шектеулер қолданғанда бірінші өрнек алынуы керек, бірақ екіншісі міндетті түрде біріншісімен сәйкес келе бермейді. Математик Брук Тейлор интегралдаудың бөліктерімен әдісін ашқан, алғашқы идеясын 1715 жылы жариялаған. Риман-Стильтес және Лебег-Стильтес интегралдары үшін интегралдаудың жалпыланған формулалары бар. Тізбектерге қатысты дискретті аналогы – бөліктер бойынша қосынды деп аталады.
It is important to note that the former expression is written as a definite integral and the latter is written as an indefinite integral. Applying the appropriate limits to the latter expression should yield the former, but the latter is not necessarily equivalent to the former. Mathematician Brook Taylor discovered integration by parts, first publishing the idea in 1715. More general formulations of integration by parts exist for the Riemann–Stieltjes and Lebesgue–Stieltjes integrals. The discrete analogue for sequences is called summation by parts.
Гармониялық талдауда қолдану
Бөлшектеп интегралдау жиі гармониялық талдауда, әсіресе Фурье талдауында қолданылады, оның көмегімен жеткілікті түрде тегіс интеграл иесі бар жылдам тербеліп тұратын интегралдар тез жойылатынын көрсетуге болады. Бұған ең көп кездесетін мысал – функцияның Фурье түрлендіруінің жойылуы сол функцияның тегістік деңгейіне байланысты екенін көрсету, бұл төменде сипатталған.
Integration by parts is often used in harmonic analysis, particularly Fourier analysis, to show that quickly oscillating integrals with sufficiently smooth integrands decay quickly. The most common example of this is its use in showing that the decay of function's Fourier transform depends on the smoothness of that function, as described below.
Оператор теориясында қолдану
Операторлар теориясында интегралдаудың бөліктері арқылы қолданылуының бір мысалы, −∆ (мұнда ∆ – Лаплас операторы) Lp кеңістігінде оң оператор екенін көрсетеді. Егер функция тегіс және шектеулі доменде анықталған болса, интегралдаудың бөліктері арқылы мынаны аламыз:
One use of integration by parts in operator theory is that it shows that the −∆ (where ∆ is the Laplace operator) is a positive operator on (see Lp space). If is smooth and compactly supported then, using integration by parts, we have