Введение

Математический метод в исчислении

В исчислении и, в более общем смысле, в математическом анализе, интегрирование по частям, или частичная интеграция – это процесс нахождения интеграла произведения функций через интеграл произведения их производной и первообразной. Оно часто используется для преобразования первообразной произведения функций в первообразную, для которой решение можно найти проще. Это правило можно рассматривать как интегральную версию правила дифференцирования произведения; оно, действительно, выводится с использованием правила произведения. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

Или, полагая и в то время как и , формулу можно записать более компактно:

Важно отметить, что первое выражение представлено в виде определенного интеграла, а второе – в виде неопределенного интеграла. Применение соответствующих пределов ко второму выражению должно дать первое, но второе выражение не обязательно эквивалентно первому. Математик Брук Тейлор открыл интегрирование по частям, впервые опубликовав эту идею в 1715 году. Существуют более общие формулировки интегрирования по частям для интегралов Римана — Стильджеса и Лебега — Стильджеса. Дискретный аналог для последовательностей называется суммированием по частям.

Использование в гармоническом анализе

Интегрирование по частям часто применяется в гармоническом анализе, в особенности в анализе Фурье, для доказательства того, что быстро осциллирующие интегралы с достаточно гладкими подынтегральными функциями быстро стремятся к нулю. Наиболее распространенным примером является его использование для демонстрации зависимости скорости убывания преобразования Фурье функции от её гладкости, как описано ниже.

Использование в теории операторов

Одно из применений интегрирования по частям в теории операторов заключается в том, что оно показывает, что −∆ (где ∆ — оператор Лапласа) является положительным оператором на (см. Lp-пространство). Если функция гладкая и имеет компактный носитель, то, используя интегрирование по частям, мы имеем