Кіріспе
Жабық және оқшауланған нүктелері жоқ қосалқы жиынтық Жалпы топологияда топологиялық кеңістіктің қосалқы жиынтығы егер ол жабық болса және оқшауланған нүктелері болмаса, кемелді болып табылады. Теңдестірілген түрде: жиын толық болса, онда , барлық шекті нүктелердің жиынтығын білдіреді, сонымен қатар ол туынды жиын ретінде де белгілі. Кемел жиынтықта әрбір нүкте жиынтықтың басқа нүктелерімен кездейсоқ жақсы шамалана алады: кез-келген нүкте және кез-келген көршілес нүкте, көршілес аймақта орналасқан басқа нүкте бар. Сонымен қатар, кеңістіктің кез келген нүктесі, оны нүктелермен шамамен келтіруге болады, бұл термин топологиялық кеңістіктің басқа қасиеттеріне, мысалы Gδ кеңістігіне сілтеме жасау үшін, үйлеспеушілікпен қолданылады. Басқа да шатасудың мүмкін көзі ретінде, толық жиынтық қасиетке ие болу толық жиынтық болумен бірдей емес екеніне назар аударыңыз.
In general topology, a subset of a topological space is perfect if it is closed and has no isolated points. Equivalently: the set is perfect if , where denotes the set of all limit points of , also known as the derived set of
In a perfect set, every point can be approximated arbitrarily well by other points from the set: given any point of and any neighborhood of the point, there is another point of that lies within the neighborhood. Furthermore, any point of the space that can be so approximated by points of belongs to
Note that the term perfect space is also used, incompatibly, to refer to other properties of a topological space, such as being a Gδ space. As another possible source of confusion, also note that having the perfect set property is not the same as being a perfect set.
Мысалдар
Нақты түзудің толық кіші жиынтықтарына бос жиынтық, барлық жабық интервалдар, нақты түзудің өзі және Кантор жиынтығы мысал бола алады. Соңғысы ерекше, өйткені ол мүлдем ажыратылған. Жинақтың кемелді немесе емес (және ол жабық немесе емес) болуы қоршаған кеңістікке байланысты. Мысалы, жиынтық кеңістіктің қосалқы жиынтығы ретінде толық, бірақ кеңістіктің қосалқы жиынтығы ретінде толық емес.
Басқа топологиялық қасиеттермен байланыс
Әрбір топологиялық кеңістік толық жиынның және шашыраңқы жиынның ажыратылған қосылысы ретінде ерекше түрде жазылуы мүмкін. Кантор нақты түзудің әрбір жабық қосалқы жиынтығын толық жиынтық пен саналатын жиынтықтың ажыратылған бірлестігі ретінде ерекше түрде жазуға болатынын дәлелдеді. Бұл поляк кеңістіктерінің барлық жабық қосалқы жиынтықтарына қатысты да, бұл жағдайда теорема Кантор Бендикссон теоремасы деп аталады. Кантор сонымен қатар нақты түзудің бос емес толық кіші жиынтығы, континуумның кардиналдығына ие екенін көрсетті. Бұл нәтижелер сипаттамалық жиынтық теориясында келесідей кеңейтіледі: Егер X - оқшауланған нүктелері жоқ толық метрикалық кеңістік болса, онда Кантор кеңістігі 2ω X-ге үздіксіз еніп отыруы мүмкін. Сонымен X кем дегенде кардиналдылыққа ие. Егер X оқшауланған нүктелері жоқ ажыратылатын, толық метрикалық кеңістік болса, X-тің кардиналдылығы дәл осыған сәйкес келеді. Егер X оқшауланған нүктелері жоқ жергілікті компактты Хаусдорф кеңістігі болса, Кантор кеңістігінен X-ке инъективті функция (қажетті түрде үздіксіз емес) бар, сондықтан X кем дегенде кардиналдылыққа ие.
If X is a complete metric space with no isolated points, then the Cantor space 2ω can be continuously embedded into X. Thus X has cardinality at least If X is a separable, complete metric space with no isolated points, the cardinality of X is exactly
If X is a locally compact Hausdorff space with no isolated points, there is an injective function (not necessarily continuous) from Cantor space to X, and so X has cardinality at least .