Введение
Подмножество, которое является закрытым и не имеет изолированных точек В общей топологии подмножество топологического пространства является совершенным, если оно закрыто и не имеет изолированных точек. Эквивалентно: множество является совершенным, если , где обозначает множество всех предельных точек , также известных как производная множество В совершенном множестве каждая точка может быть произвольно хорошо приближена другими точками из множества: при любой точке и любой окрестности точки, есть другая точка, которая находится в окрестностях. Кроме того, любая точка пространства, которая может быть приближена точками, принадлежит к. Обратите внимание, что термин "совершенное пространство" также используется несовместимо, чтобы относиться к другим свойствам топологического пространства, например, к пространству Gδ. В качестве другого возможного источника путаницы, также обратите внимание, что наличие свойства идеального множества не то же самое, что и быть идеальным множеством.
In general topology, a subset of a topological space is perfect if it is closed and has no isolated points. Equivalently: the set is perfect if , where denotes the set of all limit points of , also known as the derived set of
In a perfect set, every point can be approximated arbitrarily well by other points from the set: given any point of and any neighborhood of the point, there is another point of that lies within the neighborhood. Furthermore, any point of the space that can be so approximated by points of belongs to
Note that the term perfect space is also used, incompatibly, to refer to other properties of a topological space, such as being a Gδ space. As another possible source of confusion, also note that having the perfect set property is not the same as being a perfect set.
Примеры
Примерами идеальных подмножеств реальной прямой являются пустое множество, все закрытые интервалы, сама реальная прямой и множество Кантора. Последний примечателен тем, что полностью отключен. Совершенна ли множество или нет (и закрыто ли оно или нет) зависит от окружающего пространства. Например, множество является совершенным как подмножество пространства, но не совершенным как подмножество пространства.
Связь с другими топологическими свойствами
Каждое топологическое пространство может быть написано уникальным образом как разрозненное соединение совершенного множества и рассеянного множества. Кантор доказал, что каждое закрытое подмножество реальной прямой может быть уникально написано как разъединенное соединение совершенного множества и считываемого множества. Это также верно более широко для всех закрытых подмножеств польских пространств, в этом случае теорема известна как теорема КантораБендикссона. Кантор также показал, что каждое непустое совершенное подмножество реальной прямой имеет кардинальность, кардинальность континуума. Эти результаты расширяются в описательной теории множеств следующим образом: если X - это полное метрическое пространство без изолированных точек, то пространство Кантора 2ω может быть непрерывно встроено в X. Таким образом, X имеет кардинальность по крайней мере Если X является разделяемым, полным метрическим пространством без изолированных точек, кардинальность X равна точно Если X является локально компактным пространством Хаусдорфа без изолированных точек, существует инъекционная функция (не обязательно непрерывная) из пространства Кантора к X, и поэтому X имеет кардинальность по крайней мере .
If X is a complete metric space with no isolated points, then the Cantor space 2ω can be continuously embedded into X. Thus X has cardinality at least If X is a separable, complete metric space with no isolated points, the cardinality of X is exactly
If X is a locally compact Hausdorff space with no isolated points, there is an injective function (not necessarily continuous) from Cantor space to X, and so X has cardinality at least .