Electromagnetic field solver

Кіріспе

Максвелл теңдеулерін шешетін компьютерлік бағдарламалар Электромагниттік өрісті шешушілер (немесе кейде жай өрісті шешушілер) - Максвелл теңдеулерін тікелей шешетін (олардың кіші жиынтығы) мамандандырылған бағдарламалар. Олар электронды дизайнды автоматтандыру немесе EDA саласының бір бөлігін құрайды және интегралдық схемаларды және баспалы схемаларды жобалауда жиі қолданылады. Олар бірінші принциптерден немесе ең жоғары дәлдіктен шешімді қажет еткенде қолданылады.

Кіріспе

Паразиттік схема модельдерін алу физикалық тексерудің әртүрлі аспектілері үшін маңызды, мысалы, уақыт, сигнал тұтастығы, субстратты жалғау және электр желісін талдау. Сұлба жылдамдықтары мен тығыздықтары өскен сайын, паразиттік әсерлерді кеңірек және күрделірек өзара байланысу құрылымдарына дәл есепке алу қажеттілігі артты. Сонымен қатар, электромагниттік күрделілік те өсті, қарсылық пен сыйымдылықтан индукцияға дейін, ал қазір тіпті толық электромагниттік толқын таралуы. Бұл күрделіліктің өсуі интеграцияланған индукторлар сияқты пассивті құрылғыларды талдау үшін де өсті. Электромагниттік мінез-құлық Максвелл теңдеулерімен реттеледі, және барлық паразиттік экстракция Максвелл теңдеулерінің кейбір түрлерін шешуді талап етеді. Бұл нысан қарапайым аналитикалық параллельді пластинаның сыйымдылық теңдеуі болуы мүмкін немесе толқын таралуы бар күрделі 3D геометрия үшін толық сандық шешімді қамтуы мүмкін. Лайп экстракцияда жылдамдықтан гөрі дәлдік маңызды емес жерде қарапайым немесе жеңілдетілген геометрияға арналған аналитикалық формулаларды қолдануға болады. Дегенмен, геометриялық конфигурация қарапайым болмаған кезде және дәлдік талаптары оңайлатуға мүмкіндік бермегенде, Максвелл теңдеулерінің тиісті түрінің сандық шешімін қолдану керек. Максвелл теңдеулерінің тиісті түрі әдетте екі әдіс класының бірімен шешіледі. Біріншісі басқару теңдеулерінің дифференциалдық түрін қолданады және электромагниттік өрістер орналасқан бүкіл доменді дискреттеуді (желілеуді) талап етеді. Бірінші топтағы ең көп таралған тәсілдердің екеуі - шекті айырмашылық (FD) және шекті элемент (FEM) әдістері. Нәтижесінде шешілуі тиіс сызықтық алгебралық жүйе (матрица) үлкен, бірақ аз (анда нөлдік емес жазбалар өте аз). Бұл жүйелерді шешу үшін шамалы сызықтық шешімдер әдістерін, мысалы шамалы факторлау, конъюгат градиент немесе көп желілік әдістерді қолдануға болады, олардың ең жақсысы CPU уақыты мен O ((N) уақыттың жадыны қажет етеді, мұнда N - дискреттеудегі элементтердің саны. Алайда, электронды жобалауды автоматтандыру (EDA) проблемаларының көпшілігі ашық проблемалар болып табылады, оларды сыртқы проблемалар деп те атайды, ал өрістер ақырсызға қарай баяу азаятындықтан, бұл әдістер өте үлкен N талап ете алады. Әдістердің екінші класы - тек электромагниттік өріс көздерін дискреттеуді қажет ететін интегралдық теңдеу әдістері. Бұл көздер физикалық шамалар болуы мүмкін, мысалы сыйымдылық проблемасы үшін беткі заряд тығыздығы немесе Грин теоремасын қолданудан туындайтын математикалық абстракциялар. Үш өлшемді проблемалар үшін көздер тек екі өлшемді беттерде ғана болған кезде, әдіс көбінесе сәттер әдісі (MoM) немесе шекаралық элементтер әдісі (BEM) деп аталады. Ашық проблемалар үшін өрістің көздері өрістердің өзінен әлдеқайда кішігірім доменде болады, сондықтан интегралды теңдеулер әдістерімен құрылған сызықтық жүйелердің көлемі FD немесе FEM-ден әлдеқайда кіші. Интегралды теңдеу әдістері, дегенмен, тығыз (барлық жазулар нөлден басқа) сызықтық жүйелерді тудырады, сондықтан мұндай әдістер FD немесе FEM-ге тек кіші проблемалар үшін артықшылық береді. Мұндай жүйелерге сақтау үшін O ((n2) жады және тікелей Гаусс жою арқылы шешу үшін O ((n3) немесе ең жақсы жағдайда, егер итеративті түрде шешілсе, O ((n2) қажет. Айналым жылдамдықтары мен тығыздықтарының артуы өзара байланыстың күрделілігін арттыруды талап етеді, бұл проблеманың көлемін ұлғайтумен есептеу шығындарының жоғары өсу қарқынына байланысты тығыз интегралды теңдеу тәсілдерін жарамсыз етеді. Соңғы екі онжылдықта дифференциалдық және интегралдық теңдеу әдістерін, сондай-ақ кездейсоқ жүріп өту әдістеріне негізделген жаңа тәсілдерді жақсартуға көп жұмыс жасалды. FD және FEM тәсілдерімен талап етілетін дискреттеуді қысқарту әдістері талап етілетін элементтердің санын айтарлықтай қысқартты. Интегралды теңдеу тәсілдері, матрицалық сығылу, жеделдету немесе матрицалық еркін әдістер деп аталатын, интегралды теңдеу әдістеріне сақтау және шешім уақытында шамамен O ((n) өсімді әкелген, аралас экстракция үшін әсіресе танымал болды. Спарсификацияланған интегралдық теңдеулер әдістері, әдетте, IC индустриясында сыйымдылық пен индуктивтілік алу мәселелерін шешу үшін қолданылады. Кездейсоқ жүріс әдістері сыйымдылықты алу үшін өте жетілді. Максвелл теңдеулерін толық шешуді талап ететін мәселелер үшін (толық толқын) дифференциалдық және интегралдық теңдеу тәсілдері де кең т�...

The extraction of parasitic circuit models is essential for various aspects of physical verification such as timing, signal integrity, substrate coupling, and power grid analysis. As circuit speeds and densities have increased, the need has grown to account accurately for parasitic effects for more extensive and more complicated interconnect structures. In addition, the electromagnetic complexity has grown as well, from resistance and capacitance to inductance, and now even full electromagnetic wave propagation. This increase in complexity has also grown for the analysis of passive devices such as integrated inductors. Electromagnetic behavior is governed by Maxwell's equations, and all parasitic extraction requires solving some form of Maxwell's equations. That form may be a simple analytic parallel plate capacitance equation or may involve a full numerical solution for a complex 3D geometry with wave propagation. In layout extraction, analytic formulas for simple or simplified geometry can be used where accuracy is less important than speed. Still, when the geometric configuration is not simple, and accuracy demands do not allow simplification, a numerical solution of the appropriate form of Maxwell's equations must be employed. The appropriate form of Maxwell's equations is typically solved by one of two classes of methods. The first uses a differential form of the governing equations and requires the discretization (meshing) of the entire domain in which the electromagnetic fields reside. Two of the most common approaches in this first class are the finite difference (FD) and finite element (FEM) methods. The resultant linear algebraic system (matrix) that must be solved is large but sparse (contains very few non zero entries). Sparse linear solution methods, such as sparse factorization, conjugate gradient, or multigrid methods can be used to solve these systems, the best of which require CPU time and memory of O(N)
time, where N is the number of elements in the discretization. However, most problems in electronic design automation (EDA) are open problems, also called exterior problems, and since the fields decrease slowly towards infinity, these methods can require extremely large N.

The second class of methods are integral equation methods which instead require a discretization of only electromagnetic field sources. Those sources can be physical quantities, such as the surface charge density for the capacitance problem, or mathematical abstractions resulting from applying Green's theorem. When the sources exist only on two dimensional surfaces for three dimensional problems, the method is often called method of moments (MoM) or boundary element method (BEM). For open problems, the sources of the field exist in a much smaller domain than the fields themselves, and thus the size of linear systems generated by integral equations methods are much smaller than FD or FEM. Integral equation methods, however, generate dense (all entries are nonzero) linear systems, making such methods preferable to FD or FEM only for small problems. Such systems require O(n2) memory to store and O(n3) to solve via direct Gaussian elimination or, at best, O(n2) if solved iteratively. Increasing circuit speeds and densities require the solution of increasingly complicated interconnect, making dense integral equation approaches unsuitable due to these high growth rates of computational cost with increasing problem size. In the past two decades, much work has gone into improving both the differential and integral equation approaches, as well as new approaches based on random walk methods. Methods of truncating the discretization required by the FD and FEM approaches has greatly reduced the number of elements required. Integral equation approaches have become particularly popular for interconnect extraction due to sparsification techniques, also sometimes called matrix compression, acceleration, or matrix free techniques, which have brought nearly O(n) growth in storage and solution time to integral equation methods. Sparsified integral equation techniques are typically used in the IC industry to solve capacitance and inductance extraction problems. The random walk methods have become quite mature for capacitance extraction. For problems requiring the solution of the full Maxwell's equations (full wave), both differential and integral equation approaches are common.