Electromagnetic field solver

Введение

Компьютерные программы, которые решают уравнения Максвелла Решатели электромагнитного поля (или иногда просто решатели поля) - это специализированные программы, которые решают (подмножество) уравнений Максвелла напрямую. Они являются частью области автоматизации электронного проектирования или EDA и обычно используются при проектировании интегральных схем и печатных плат. Они используются, когда требуется решение по первым принципам или наибольшая точность.

Введение

Экстракция моделей паразитических цепей имеет важное значение для различных аспектов физической проверки, таких как синхронизация, целостность сигнала, сцепление подложки и анализ энергосети. По мере увеличения скорости и плотности цепей возникла необходимость в точном учете паразитарных эффектов для более обширных и более сложных структур взаимосвязи. Кроме того, электромагнитная сложность также выросла, от сопротивления и емкости до индуктивности, и теперь даже полное распространение электромагнитных волн. Это увеличение сложности также увеличилось для анализа пассивных устройств, таких как интегрированные индукторы. Электромагнитное поведение регулируется уравнениями Максвелла, и все паразитические экстракции требуют решения какой-то формы уравнений Максвелла. Эта форма может быть простым уравнением емкости параллельной пластины или может включать полное числовое решение для сложной 3D геометрии с распространением волны. При экстракции макета аналитические формулы для простой или упрощенной геометрии могут использоваться там, где точность менее важна, чем скорость. Тем не менее, когда геометрическая конфигурация не проста, и требования к точности не позволяют упростить, необходимо использовать числовое решение соответствующей формы уравнений Максвелла. Соответствующая форма уравнений Максвелла обычно решается одним из двух классов методов. Первый использует дифференциальную форму управляющих уравнений и требует дискретизации (смешивания) всей области, в которой находятся электромагнитные поля. Два наиболее распространенных подхода в этом первом классе - конечная разница (FD) и конечные элементы (FEM). Полученная линейная алгебраическая система (матрица), которую необходимо решить, большая, но редкая (содержит очень мало не нулевых записей). Для решения этих систем могут использоваться редкие линейные методы решения, такие как редкая факторизация, конъюгированный градиент или многосетевые методы, лучшие из которых требуют времени процессора и памяти O ((N) времени, где N - количество элементов в дискретизации. Однако большинство задач в автоматизации электронного проектирования (EDA) являются открытыми проблемами, также называемыми внешними проблемами, и поскольку поля медленно уменьшаются к бесконечности, эти методы могут требовать чрезвычайно большого N. Второй класс методов - это методы интегральных уравнений, которые вместо этого требуют дискретизации только источников электромагнитного поля. Эти источники могут быть физическими величинами, такими как плотность заряда поверхности для задачи емкости, или математическими абстракциями, возникающими в результате применения теоремы Грина. Когда источники существуют только на двухмерных поверхностях для трехмерных задач, метод часто называют методом моментов (MoM) или методом граничных элементов (BEM). Для открытых задач источники поля существуют в гораздо меньшей области, чем сами поля, и, таким образом, размер линейных систем, генерируемых методами интегральных уравнений, намного меньше, чем FD или FEM. Однако методы интегральных уравнений генерируют плотные (все входы не нулевые) линейные системы, что делает такие методы предпочтительнее FD или FEM только для небольших задач. Такие системы требуют O(n2) памяти для хранения и O(n3) для решения путем прямого гауссовского устранения или, в лучшем случае, O(n2), если решать итеративно. Увеличение скорости и плотности схем требует решения все более сложных взаимосвязей, что делает неуместными методы плотного интегрального уравнения из-за этих высоких темпов роста вычислительных затрат с увеличением размера проблемы. В последние два десятилетия много работы было направлено на улучшение как дифференциальных, так и интегральных уравнений, а также новых подходов, основанных на методах случайного хождения. Методы сокращения дискреции, требуемой подходами FD и FEM, значительно сократили количество требуемых элементов. Подходы интегрального уравнения стали особенно популярными для экстракции взаимосвязи из-за методов рассеивания, также иногда называемых матричными методами сжатия, ускорения или свободных матриц, которые привели к почти O (n) росту времени хранения и решения методов интегрального уравнения. Спорсифицированные интегральные уравнения обычно используются в промышленности интегральных интегралов для решения проблем выделения емкости и индуктивности. Методы случайн...

The extraction of parasitic circuit models is essential for various aspects of physical verification such as timing, signal integrity, substrate coupling, and power grid analysis. As circuit speeds and densities have increased, the need has grown to account accurately for parasitic effects for more extensive and more complicated interconnect structures. In addition, the electromagnetic complexity has grown as well, from resistance and capacitance to inductance, and now even full electromagnetic wave propagation. This increase in complexity has also grown for the analysis of passive devices such as integrated inductors. Electromagnetic behavior is governed by Maxwell's equations, and all parasitic extraction requires solving some form of Maxwell's equations. That form may be a simple analytic parallel plate capacitance equation or may involve a full numerical solution for a complex 3D geometry with wave propagation. In layout extraction, analytic formulas for simple or simplified geometry can be used where accuracy is less important than speed. Still, when the geometric configuration is not simple, and accuracy demands do not allow simplification, a numerical solution of the appropriate form of Maxwell's equations must be employed. The appropriate form of Maxwell's equations is typically solved by one of two classes of methods. The first uses a differential form of the governing equations and requires the discretization (meshing) of the entire domain in which the electromagnetic fields reside. Two of the most common approaches in this first class are the finite difference (FD) and finite element (FEM) methods. The resultant linear algebraic system (matrix) that must be solved is large but sparse (contains very few non zero entries). Sparse linear solution methods, such as sparse factorization, conjugate gradient, or multigrid methods can be used to solve these systems, the best of which require CPU time and memory of O(N)
time, where N is the number of elements in the discretization. However, most problems in electronic design automation (EDA) are open problems, also called exterior problems, and since the fields decrease slowly towards infinity, these methods can require extremely large N.

The second class of methods are integral equation methods which instead require a discretization of only electromagnetic field sources. Those sources can be physical quantities, such as the surface charge density for the capacitance problem, or mathematical abstractions resulting from applying Green's theorem. When the sources exist only on two dimensional surfaces for three dimensional problems, the method is often called method of moments (MoM) or boundary element method (BEM). For open problems, the sources of the field exist in a much smaller domain than the fields themselves, and thus the size of linear systems generated by integral equations methods are much smaller than FD or FEM. Integral equation methods, however, generate dense (all entries are nonzero) linear systems, making such methods preferable to FD or FEM only for small problems. Such systems require O(n2) memory to store and O(n3) to solve via direct Gaussian elimination or, at best, O(n2) if solved iteratively. Increasing circuit speeds and densities require the solution of increasingly complicated interconnect, making dense integral equation approaches unsuitable due to these high growth rates of computational cost with increasing problem size. In the past two decades, much work has gone into improving both the differential and integral equation approaches, as well as new approaches based on random walk methods. Methods of truncating the discretization required by the FD and FEM approaches has greatly reduced the number of elements required. Integral equation approaches have become particularly popular for interconnect extraction due to sparsification techniques, also sometimes called matrix compression, acceleration, or matrix free techniques, which have brought nearly O(n) growth in storage and solution time to integral equation methods. Sparsified integral equation techniques are typically used in the IC industry to solve capacitance and inductance extraction problems. The random walk methods have become quite mature for capacitance extraction. For problems requiring the solution of the full Maxwell's equations (full wave), both differential and integral equation approaches are common.