Введение
Функция, равная произведению своих значений на взаимно простых множителях.
В теории чисел, мультипликативная функция – это арифметическая функция f(n) положительного целого числа n, обладающая свойством f(1) = 1 и f(ab) = f(a)f(b) для любых взаимно простых a и b. Арифметическая функция f(n) называется полностью мультипликативной (или тотально мультипликативной), если f(1) = 1 и f(ab) = f(a)f(b) для всех положительных целых чисел a и b, даже если они не являются взаимно простыми.
whenever a and b are coprime. An arithmetic function f(n) is said to be completely multiplicative (or totally multiplicative) if f(1) = 1 and f(ab) = f(a)f(b) holds for all positive integers a and b, even when they are not coprime.
Ряд Дирихле для некоторых множительных функций
Больше примеров приведено в статье о рядах Дирихле.
Рациональные арифметические функции
Арифметическая функция f называется рациональной арифметической функцией порядка, если существуют полностью мультипликативные функции g1, ..., gr, h1, ..., hs такие, что
h1, ,hs such that
где обратные берутся относительно свёртки Дирихле. Рациональные арифметические функции порядка называются тотиентными функциями, а рациональные арифметические функции порядка – квадратичными функциями или особо мультипликативными функциями. Функция Эйлера является тотиентной функцией, а функция делителей – квадратичной функцией. Полностью мультипликативные функции являются рациональными арифметическими функциями порядка. Функция Лиувиля является полностью мультипликативной. Функция Мёбиуса – рациональная арифметическая функция порядка. По определению, нейтральный элемент относительно свёртки Дирихле является рациональной арифметической функцией порядка.
Все рациональные арифметические функции мультипликативны. Мультипликативная функция f является рациональной арифметической функцией порядка, если и только если её ряд Белла имеет вид
для всех простых чисел p. Концепция рациональной арифметической функции восходит к Р. Вайдянатхасвами (1931).
The concept of a rational arithmetical function originates from R. Vaidyanathaswamy (1931).
Умножающая функция на
Пусть 1=A = Fq[X], кольцо полиномов над конечным полем с q элементами. A является областью главных идеалов и, следовательно, областью однозначных разложений. Комплекснозначная функция на A называется мультипликативной, если для любых взаимно простых f и g выполняется условие.