Кіріспе
Сұйықтық бөлшегінің ағып бара жатқандағы бұрылу эволюциясын сипаттайтын теңдеу. Сұйықтық динамикасының бұрылу теңдеуі, сұйықтық бөлшегі ағысымен бірге қозғалғандағы 'ω' бұрылуының эволюциясын сипаттайды; яғни, сұйықтықтың жергілікті айналуын (векторлық есептеуде бұл ағыс жылдамдығының роторы). Басқару теңдеуі: мұндағы – материалдық туынды операторы, 'u' – ағыс жылдамдығы, ρ – жергілікті сұйықтық тығыздығы, p – жергілікті қысым, τ – тұтқырлық кернеу тензоры, ал 'B' – сыртқы дене күштерінің қосындысын көрсетеді. Оң жақтағы бірінші мүше бұрқасын созуды білдіреді. Теңдеу, кез келген шоғырланған моменттер мен сызықтық күштердің болмауы жағдайында, сығылмайтын Ньютондық сұйықтық үшін қолданылады. Сығылмайтын ағын (яғни, Мах саны төмен) және консервативті дене күштері бар изотропты сұйықтықтар үшін теңдеу бұрылу көшу теңдеуіне дейін жеңілдетеді: мұнда ν – кинематикалық тұтқырлық, ал – Лаплас операторы. Екі өлшемді ағын болжамында теңдеу былай қарапайымдастырылады:
The vorticity equation of fluid dynamics describes the evolution of the vorticity 'ω' of a particle of a fluid as it moves with its flow; that is, the local rotation of the fluid (in terms of vector calculus this is the curl of the flow velocity). The governing equation is:where is the material derivative operator, 'u' is the flow velocity, ρ is the local fluid density, p is the local pressure, τ is the viscous stress tensor and 'B' represents the sum of the external body forces. The first source term on the right hand side represents vortex stretching. The equation is valid in the absence of any concentrated torques and line forces for a compressible, Newtonian fluid. In the case of incompressible flow (i. e., low Mach number) and isotropic fluids, with conservative body forces, the equation simplifies to the vorticity transport equation:
where ν is the kinematic viscosity and is the Laplace operator. Under the further assumption of two dimensional flow, the equation simplifies to:
Физикалық түсіндіру
Сол жақтағы термин – "ω" вихромдық векторының материалдық туындысы. Ол қозғалмалы сұйық бөлшегінің вихромдығының өзгеру шарапатын сипаттайды. Бұл өзгеріс ағындағы тұрақсыздыққа (тұрақсыз мүше) немесе сұйық бөлшегінің бір нүктеден екінші нүктеге жылжуына байланысты болуы мүмкін (конвекциялық мүше). Оң жақтағы ("ω" ∙ ∇) 'u' мүшесі ағын жылдамдығы градиенттерінен туындаған вихромдықтың созылуын немесе бұрылуын сипаттайды. Ескеріңіз, ("ω" ∙ ∇) 'u' – векторлық шама, себебі "ω" ∙ ∇ – скалярлық дифференциалды оператор, ал ∇'u' – тоғыз элементтен тұратын тензорлық шама. "ω"(∇ ∙ 'u') мүшесі ағынның сығымдалуынан туындаған вихромдықтың созылуын сипаттайды. Ол Навье-Стокстің үздіксіздік теңдеуінен шығады, атап айтқанда, мұндағы – сұйық элементінің нақты көлемі. ∇ ∙ 'u' ағынның сығымдалу шамасын өлшеуге арналған шама деп қарастыруға болады. Кейде бұл мүшеге теріс белгі қосылады. – бароклиникалық мүше. Ол тығыздық және қысым беттерінің қиылысуынан туындаған вихромдықтың өзгеруін қамтиды. мүшесі тұтқыр әсерлердің салдарынан болатын вихромдықтың таралуын көрсетеді. ∇ × 'B' мүшесі сыртқы дене күштерінен туындаған өзгерістерді қамтиды. Бұл күштер сұйықтың үш өлшемді аймағына таралатын күштер, мысалы, гравитациялық немесе электромагниттік күштер. (Бұл күштер бетке ғана (мысалы, қабырғаға қарсылық күші) немесе сызыққа ғана (мысалы, менсикус айналасындағы беттік кернеу) әсер ететін күштерден өзгеше.)
Алыстыру
Вортикальдық теңдеуді бұрыштық импульстің сақталуына арналған Navier-Stokes теңдеуінен тудыруға болады. Егер концентрацияланған моменттер мен сызықтық күштер болмаса, мынадай нәтижеге келінеді:
Енді, вортицитет ағын жылдамдығы векторының роторы ретінде анықталады; импульс теңдеуінің роторын алу қажетті теңдеуді береді. Теңдеуді тудыру үшін келесі теңбе-теңдіктер пайдалы:
мұнда – кез келген скалярлық өріс.
Атмосфералық ғылымдар
Атмосфералық ғылымдарда, шұңқырлық теңдеуі инерциялық жүйеге қатысты ауаның абсолюттік шұңқырлығы немесе Жердің айналысына қатысты шұңқырлық тұрғысынан тұжырымдалады. Онда η – шұңқырлықтың полярлық (z) компоненті, ρ – атмосфералық тығыздық, u, v және w – жел жылдамдығының компоненттері, ал ∇h – 2 өлшемді (яғни, тек көлденең компонент) градиент операторы.
Here, η is the polar (z) component of the vorticity, ρ is the atmospheric density, u, v, and w are the components of wind velocity, and ∇h is the 2 dimensional (i. e. horizontal component only) del.