Вихревые потоки в гидродинамике

Введение

Поток жидкости, вращающийся вокруг оси вращения.

В динамике жидкостей вихрь (или вихри) – это область в жидкости, в которой поток вращается вокруг осевой линии, которая может быть прямой или изогнутой. Вихри образуются в перемешиваемых жидкостях и могут наблюдаться в дымовых кольцах, водоворотах за движущимся судном, а также в ветрах, окружающих тропический циклон, торнадо или пылевой смерч. Вихри являются важным компонентом турбулентного потока. Для характеристики вихрей используются распределение скорости, вихревость (ротор скорости потока), а также понятие циркуляции. В большинстве вихрей скорость потока жидкости максимальна вблизи его оси и уменьшается обратно пропорционально расстоянию от оси. При отсутствии внешних сил вязкое трение внутри жидкости стремится организовать поток в совокупность ирротационных вихрей, возможно, наложенных на потоки большего масштаба, включая вихри большего размера. После формирования вихри могут перемещаться, растягиваться, скручиваться и взаимодействовать сложным образом. Перемещающийся вихрь переносит с собой определенный угловой и линейный импульс, энергию и массу.

Вихрь

Ключевой концепцией в динамике вихрей является вихревость – вектор, описывающий локальное вращательное движение в точке жидкости, как его воспринял бы наблюдатель, движущийся вместе с ней. Концептуально, вихревость можно представить, поместив крошечный шероховатый шар в рассматриваемую точку, позволяя ему свободно двигаться вместе с жидкостью, и наблюдая за его вращением вокруг своего центра. Направление вектора вихревости определяется направлением оси вращения этого воображаемого шара (в соответствии с правилом правой руки), а его величина равна удвоенной угловой скорости шара. Математически вихревость определяется как ротор (или вращение) поля скоростей жидкости, обычно обозначаемый символом и выражаемый формулой векторного анализа , где – оператор набла, а – локальная скорость потока. Локальное вращение, измеряемое вихревостью , не следует путать с вектором угловой скорости данной части жидкости относительно внешней среды или какой-либо фиксированной оси. В вихре, в частности, может быть направлено противоположно среднему вектору угловой скорости жидкости относительно оси вихря.

Виды вихрей

Теоретически, скорость u частиц (и, следовательно, вихревость) в вихре может изменяться с расстоянием r от оси различными способами. Однако существуют два важных частных случая:

Если жидкость вращается как твердое тело – то есть, если угловая скорость вращения Ω постоянна, так что u увеличивается пропорционально расстоянию r от оси – то небольшой шарик, увлекаемый потоком, также будет вращаться вокруг своего центра, как если бы он был частью этого твердого тела. В таком потоке вихревость одинакова во всех точках: ее направление параллельно оси вращения, а ее величина равна удвоенной постоянной угловой скорости Ω жидкости вокруг центра вращения. Если скорость частицы u обратно пропорциональна расстоянию r от оси, то воображаемый пробный шарик не будет вращаться сам по себе; он будет сохранять одну и ту же ориентацию, двигаясь по окружности вокруг оси вихря. В этом случае вихревость равна нулю в любой точке, не лежащей на этой оси, и такой поток называется потенциальным.

Иротационные вихри

При отсутствии внешних сил вихрь обычно довольно быстро развивается в сторону ирротационного потока, где скорость потока *u* обратно пропорциональна расстоянию *r*. Ирротационные вихри также называются свободными вихрями. Для ирротационного вихря циркуляция равна нулю вдоль любого замкнутого контура, не охватывающего ось вихря, и принимает фиксированное значение Γ для любого контура, охватывающего ось один раз. Тангенциальная составляющая скорости частицы тогда равна… Угловой момент на единицу массы относительно оси вихря, следовательно, постоянен. Идеальный ирротационный вихревой поток в свободном пространстве физически не реализуем, поскольку это подразумевало бы, что скорость частицы (и, следовательно, сила, необходимая для удержания частиц на круговых траекториях) неограниченно возрастала бы при приближении к оси вихря. Действительно, в реальных вихрях всегда существует ядро вокруг оси, где скорость частицы перестает увеличиваться и затем уменьшается до нуля при *r*, стремящемся к нулю. Внутри этой области поток перестает быть ирротационным: вихревость становится ненулевой, направленной приблизительно параллельно оси вихря. Вихрь Ранкина – это модель, предполагающая вращение твердого тела при *r*, меньшем фиксированного расстояния *r₀*, и ирротационный поток за пределами этого ядра. В вязкой жидкости ирротационный поток содержит вязкое рассеяние повсюду, однако чистых вязких сил нет, есть только вязкие напряжения. В силу диссипации это означает, что для поддержания ирротационного вязкого вихря требуется непрерывный подвод энергии к ядру (например, путем постоянного вращения цилиндра в ядре). В свободном пространстве подвод энергии к ядру отсутствует, и, следовательно, компактная вихревость, заключенная в ядре, будет естественным образом диффундировать наружу, превращая ядро в постепенно замедляющийся и постепенно расширяющийся поток твердого тела, окруженный исходным ирротационным потоком. Такой затухающий ирротационный вихрь имеет точное решение вязких уравнений Навье-Стокса, известное как вихрь Ламба-Озена.

In the absence of external forces, a vortex usually evolves fairly quickly toward the irrotational flow pattern, where the flow velocity u is inversely proportional to the distance r. Irrotational vortices are also called free vortices. For an irrotational vortex, the circulation is zero along any closed contour that does not enclose the vortex axis; and has a fixed value, Γ, for any contour that does enclose the axis once. The tangential component of the particle velocity is then The angular momentum per unit mass relative to the vortex axis is therefore constant,
The ideal irrotational vortex flow in free space is not physically realizable, since it would imply that the particle speed (and hence the force needed to keep particles in their circular paths) would grow without bound as one approaches the vortex axis. Indeed, in real vortices there is always a core region surrounding the axis where the particle velocity stops increasing and then decreases to zero as r goes to zero. Within that region, the flow is no longer irrotational: the vorticity becomes non zero, with direction roughly parallel to the vortex axis. The Rankine vortex is a model that assumes a rigid body rotational flow where r is less than a fixed distance r0, and irrotational flow outside that core regions. In a viscous fluid, irrotational flow contains viscous dissipation everywhere, yet there are no net viscous forces, only viscous stresses. Due to the dissipation, this means that sustaining an irrotational viscous vortex requires continuous input of work at the core (for example, by steadily turning a cylinder at the core). In free space there is no energy input at the core, and thus the compact vorticity held in the core will naturally diffuse outwards, converting the core to a gradually slowing and gradually growing rigid body flow, surrounded by the original irrotational flow. Such a decaying irrotational vortex has an exact solution of the viscous Navier–Stokes equations, known as a Lamb–Oseen vortex.

Ротационные вихри

Ротационный вихрь – вихрь, вращающийся подобно твердому телу, – не может существовать в таком состоянии неограниченно долго без приложения внешней силы, не возникающей из самого движения жидкости. Вне ядра вихря вихристость повсюду отлична от нуля. Ротационные вихри также называют вихрями твердого тела или вынужденными вихрями. Например, если ведро с водой раскрутить с постоянной угловой скоростью w вокруг своей вертикальной оси, вода в конечном итоге начнет вращаться как твердое тело. Тогда частицы будут двигаться по окружностям со скоростью u, равной wr.

Геометрия вихря

В стационарном вихре типичная линия тока (линия, касательная везде к вектору скорости потока) представляет собой замкнутую петлю, окружающую ось; и каждая вихревая линия (линия, касательная везде к вектору вихревости) приблизительно параллельна оси. Поверхность, касательная везде и к скорости потока, и к вихревости, называется вихревой трубкой. В общем случае, вихревые трубки располагаются в виде вложенных структур вокруг оси вращения. Сама ось является одной из вихревых линий, предельный случай вихревой трубки с нулевым диаметром. Согласно теоремам Гельмгольца, вихревая линия не может начинаться или заканчиваться внутри жидкости – за исключением кратковременных моментов в неустановившемся потоке, при формировании или рассеянии вихря. В общем, вихревые линии (в частности, осевая линия) либо представляют собой замкнутые петли, либо заканчиваются на границе жидкости. Водоворот – пример последнего, то есть вихрь в объеме воды, ось которого упирается в свободную поверхность. Вихревая трубка, все вихревые линии которой замкнуты, будет иметь форму замкнутого тора. Новообразовавшийся вихрь быстро расширяется и изгибается, чтобы устранить любые разомкнутые вихревые линии. Например, при запуске авиационного двигателя перед каждым винтом или турбовентилятором каждого реактивного двигателя обычно образуется вихрь. Один конец вихревой линии прикреплен к двигателю, а другой обычно вытягивается и изгибается, пока не достигнет земли. Когда вихри становятся видимыми благодаря дыму или чернильным следам, они могут казаться имеющими спиральные траектории или линии тока. Однако это часто иллюзия, и частицы жидкости движутся по замкнутым путям. Спиральные полосы, принимаемые за линии тока, на самом деле являются облаками маркирующей жидкости, которые изначально охватывали несколько вихревых трубок и растягивались в спиральные формы из-за неоднородного распределения скорости потока.

Давление в вихре

Движение жидкости в вихре создает динамическое давление (в дополнение к любому гидростатическому давлению), которое минимально в области ядра, ближайшей к оси, и возрастает при удалении от нее в соответствии с принципом Бернулли. Можно сказать, что именно градиент этого давления заставляет жидкость двигаться по криволинейной траектории вокруг оси. В вихревом потоке жидкости с постоянной плотностью динамическое давление пропорционально квадрату расстояния r от оси. В постоянном гравитационном поле свободная поверхность жидкости, если она присутствует, представляет собой вогнутый параболоид. В ирротационном вихревом потоке с постоянной плотностью жидкости и цилиндрической симметрией динамическое давление изменяется как , где P∞ – предельное давление на бесконечном расстоянии от оси. Эта формула накладывает дополнительное ограничение на размер ядра, поскольку давление не может быть отрицательным. Свободная поверхность (если она есть) резко опускается вблизи оси, при этом глубина обратно пропорциональна r^(2). Форма, образованная свободной поверхностью, называется гиперболоидом, или "Рог Габриэля" (по имени Эвангелиста Торричелли). Ядро вихря в воздухе иногда становится видимым, поскольку водяной пар конденсируется из-за адиабатического охлаждения, вызванного низким давлением в ядре; пример – воронка торнадо. Когда вихревая линия заканчивается на граничной поверхности, пониженное давление может также затягивать вещество с этой поверхности в ядро. Например, пылевой смерч – это столб пыли, поднимаемый ядром воздушного вихря, прикрепленного к земле. Вортекс, заканчивающийся на свободной поверхности водоема (например, водоворот, часто образующийся над сливом ванны), может затягивать столб воздуха вниз по ядру. Передний вихрь, выходящий из реактивного двигателя припаркованного самолета, может всасывать воду и мелкие камни в ядро, а затем в двигатель.

Эволюция

Вихри не обязательно являются стационарными образованиями; они могут перемещаться и изменять свою форму. В движущемся вихре траектории частиц не замкнуты, а открыты, представляя собой петлеобразные кривые, такие как спирали и циклоиды. Вихревой поток также может сочетаться с радиальным или осевым потоком. В этом случае линии тока и траектории не являются замкнутыми кривыми, а спиралями или геликоидами соответственно. Это наблюдается в торнадо и водоворотах в сливе. Вихрь со спиральными линиями тока называется соленоидальным. Пока эффекты вязкости и диффузии пренебрежимо малы, жидкость в движущемся вихре движется вместе с ним. В частности, жидкость в ядре (и вещество, захваченное в нем) стремится оставаться в ядре по мере перемещения вихря. Это является следствием второй теоремы Гельмгольца. Таким образом, вихри (в отличие от поверхностных и волн давления) могут переносить массу, энергию и импульс на значительные расстояния по сравнению с их размерами, с удивительно небольшим рассеянием. Этот эффект демонстрируется дымовыми кольцами и используется в игрушках и пушках, основанных на вихревых кольцах. Два или более вихря, приблизительно параллельных и циркулирующих в одном направлении, будут притягиваться и в конечном итоге сливаться, образуя единый вихрь, циркуляция которого будет равна сумме циркуляций составляющих вихрей. Например, крыло самолета, создающее подъемную силу, формирует на задней кромке лист из мелких вихрей. Эти мелкие вихри сливаются, образуя один концевой вихрь крыла, на расстоянии менее одной хорды крыла от этой кромки. Это явление также происходит с другими активными аэродинамическими профилями, такими как лопасти пропеллера. С другой стороны, два параллельных вихря с противоположными циркуляциями (например, два концевых вихря крыла самолета) склонны оставаться разделенными. Вихри содержат значительную энергию в круговом движении жидкости. В идеальной жидкости эта энергия никогда не может рассеяться, и вихрь будет существовать вечно. Однако реальные жидкости обладают вязкостью, которая очень медленно рассеивает энергию из ядра вихря. Только за счет рассеяния вихря из-за вязкости линия вихря может заканчиваться в жидкости, а не на границе жидкости.

Vortices need not be steady state features; they can move and change shape. In a moving vortex, the particle paths are not closed, but are open, loopy curves like helices and cycloids. A vortex flow might also be combined with a radial or axial flow pattern. In that case the streamlines and pathlines are not closed curves but spirals or helices, respectively. This is the case in tornadoes and in drain whirlpools. A vortex with helical streamlines is said to be solenoidal. As long as the effects of viscosity and diffusion are negligible, the fluid in a moving vortex is carried along with it. In particular, the fluid in the core (and matter trapped by it) tends to remain in the core as the vortex moves about. This is a consequence of Helmholtz's second theorem. Thus vortices (unlike surface waves and pressure waves) can transport mass, energy and momentum over considerable distances compared to their size, with surprisingly little dispersion. This effect is demonstrated by smoke rings and exploited in vortex ring toys and guns. Two or more vortices that are approximately parallel and circulating in the same direction will attract and eventually merge to form a single vortex, whose circulation will equal the sum of the circulations of the constituent vortices. For example, an airplane wing that is developing lift will create a sheet of small vortices at its trailing edge. These small vortices merge to form a single wingtip vortex, less than one wing chord downstream of that edge. This phenomenon also occurs with other active airfoils, such as propeller blades. On the other hand, two parallel vortices with opposite circulations (such as the two wingtip vortices of an airplane) tend to remain separate. Vortices contain substantial energy in the circular motion of the fluid. In an ideal fluid this energy can never be dissipated and the vortex would persist forever. However, real fluids exhibit viscosity and this dissipates energy very slowly from the core of the vortex. It is only through dissipation of a vortex due to viscosity that a vortex line can end in the fluid, rather than at the boundary of the fluid.

Другие примеры

В гидродинамической интерпретации поведения электромагнитных полей ускорение электрической жидкости в определенном направлении создает положительный вихрь магнитной жидкости. Это, в свою очередь, создает вокруг себя соответствующий отрицательный вихрь электрической жидкости. Точные решения классических нелинейных магнитных уравнений включают уравнение Ландау — Лифшица, модель континуума Гейзенберга, уравнение Ишимори и нелинейное уравнение Шредингера. Вихревые кольца — это вихри в форме тора, где ось вращения представляет собой непрерывную замкнутую кривую. Дымные кольца и пузырьковые кольца — два известных примера. Подъемная сила крыльев самолета, лопастей винта, парусов и других аэродинамических профилей может быть объяснена созданием вихря, наложенного на поток воздуха, обтекающего крыло. Аэродинамическое сопротивление во многом объясняется образованием вихрей в окружающей жидкости, которые уносят энергию от движущегося тела. Крупные водовороты могут возникать под воздействием океанических приливов в определенных проливах или заливах. Примерами служат Харибда из классической мифологии в Мессинском проливе (Италия), водовороты Наруто в Нанкайдо (Япония) и Мельстрём у Лофотенских островов (Норвегия). Вихри в атмосфере Земли являются важными явлениями для метеорологии. К ним относятся мезоциклоны масштаба в несколько километров, торнадо, смерчи и ураганы. Эти вихри часто обусловлены изменениями температуры и влажности с высотой. Направление вращения ураганов подвержено влиянию вращения Земли. Другой пример — полярный вихрь, устойчивый крупномасштабный циклон, центрированный вблизи полюсов Земли в средней и верхней тропосфере и стратосфере. Вихри — заметные особенности атмосфер других планет. К ним относятся постоянное Большое Красное Пятно на Юпитере, периодически возникающее Большое Темное Пятно на Нептуне, полярные вихри Венеры, марсианские пылевые смерчи и Северный Полярный Гексагон Сатурна. Солнечные пятна — темные области на видимой поверхности Солнца (фотосфере), характеризующиеся более низкой температурой, чем окружающая среда, и интенсивной магнитной активностью. Аккреционные диски черных дыр и других массивных гравитационных источников. Течение Тейлора — Куэтта возникает в жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами, один из которых вращается, а другой неподвижен.

In the hydrodynamic interpretation of the behaviour of electromagnetic fields, the acceleration of electric fluid in a particular direction creates a positive vortex of magnetic fluid. This in turn creates around itself a corresponding negative vortex of electric fluid. Exact solutions to classical nonlinear magnetic equations include the Landau–Lifshitz equation, the continuum Heisenberg model, the Ishimori equation, and the nonlinear Schrödinger equation. Vortex rings are torus shaped vortices where the axis of rotation is a continuous closed curve. Smoke rings and bubble rings are two well known examples. The lifting force of aircraft wings, propeller blades, sails, and other airfoils can be explained by the creation of a vortex superimposed on the flow of air past the wing. Aerodynamic drag can be explained in large part by the formation of vortices in the surrounding fluid that carry away energy from the moving body. Large whirlpools can be produced by ocean tides in certain straits or bays. Examples are Charybdis of classical mythology in the Straits of Messina, Italy; the Naruto whirlpools of Nankaido, Japan; and the Maelstrom at Lofoten, Norway. Vortices in the Earth's atmosphere are important phenomena for meteorology. They include mesocyclones on the scale of a few miles, tornadoes, waterspouts, and hurricanes. These vortices are often driven by temperature and humidity variations with altitude. The sense of rotation of hurricanes is influenced by the Earth's rotation. Another example is the Polar vortex, a persistent, large scale cyclone centered near the Earth's poles, in the middle and upper troposphere and the stratosphere. Vortices are prominent features of the atmospheres of other planets. They include the permanent Great Red Spot on Jupiter, the intermittent Great Dark Spot on Neptune, the polar vortices of Venus, the Martian dust devils and the North Polar Hexagon of Saturn. Sunspots are dark regions on the Sun's visible surface (photosphere) marked by a lower temperature than its surroundings, and intense magnetic activity. The accretion disks of black holes and other massive gravitational sources. Taylor–Couette flow occurs in a fluid between two nested cylinders, one rotating, the other fixed.

Резюме

В динамике жидкости вихрь – это жидкость, вращающаяся вокруг оси. Эта жидкость может быть изогнутой или прямой. Вихри образуются в результате перемешивания жидкости: их можно наблюдать в дымовых кольцах, водоворотах, в кильватере лодки или в ветрах вокруг торнадо или пылевого смерча. Вихри являются важной частью турбулентного потока. Вихрь можно также определить как круговое движение жидкости. В отсутствие внешних сил жидкость успокаивается, оставаясь неподвижной. При создании вихри могут двигаться, растягиваться, скручиваться и взаимодействовать сложным образом. Движущийся вихрь иногда может влиять на угловое положение. Например, если ведро с водой постоянно вращать, оно будет вращаться вокруг невидимой линии, называемой осью вращения. Вращение происходит по окружности. В этом примере вращение ведра создает дополнительную силу. Способность вихрей изменять форму обусловлена открытыми траекториями частиц, что позволяет им быть подвижными. Примеры этого можно увидеть в форме торнадо и водоворотов в сливе. Когда два или более вихря находятся близко друг к другу, они могут сливаться, образуя один вихрь. Вихри также содержат энергию во вращающемся потоке жидкости. Если эта энергия не рассеивается, вращение будет продолжаться бесконечно.