Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Топтар теориясында дициклдік топ (Dicn немесе Q4n, ) – 4n (n > 1) реттік абельдік емес топтың ерекше түрі. Ол 2 реттік циклдік топты 2n реттік циклдік топпен кеңейту арқылы құрылады, сондықтан "дициклдік" деп аталады. Топтардың дәл тізбектерінің нотациясында бұл кеңейтуді былай көрсетуге болады:
In group theory, a dicyclic group (notation Dicn or Q4n, ) is a particular kind of non abelian group of order 4n (n > 1). It is an extension of the cyclic group of order 2 by a cyclic group of order 2n, giving the name di cyclic. In the notation of exact sequences of groups, this extension can be expressed as:
Жалпы алғанда, 2 реттік элементі бар кез келген шекті абельдік топ берілген жағдайда, дициклдік топты анықтауға болады.
More generally, given any finite abelian group with an order 2 element, one can define a dicyclic group.
Қасиеттері
Әрбір n > 1 үшін дициклдік топ Dicn – 4n реттік Абельдік емес топ. (N = 1 болған дегенеративті жағдай үшін Dic1 тобы циклдік топ C4 болып табылады, ол дициклдік деп есептелмейді.) A = элементімен туындаған Dicn-нің кіші тобы болсын. Онда A – 2n реттік циклдік топ, сондықтан [Dicn:A] = 2. 2-индексті кіші топ ретінде ол автоматты түрде нормальді кіші топ болып табылады. Квотиенттік топ Dicn/A – 2 реттік циклдік топ. Dicn шешілетін; A нормальді, ал Абельдік болғандықтан, ол өзі шешілетін екенін ескеріңіз.
For each n > 1, the dicyclic group Dicn is a non abelian group of order 4n. (For the degenerate case n = 1, the group Dic1 is the cyclic group C4, which is not considered dicyclic.) Let A = be the subgroup of Dicn generated by a. Then A is a cyclic group of order 2n, so [Dicn:A] = 2. As a subgroup of index 2 it is automatically a normal subgroup. The quotient group Dicn/A is a cyclic group of order 2. Dicn is solvable; note that A is normal, and being abelian, is itself solvable.
Бинарлық диэдрлік топ
Дициклдік топ – бинарлық полиэдрлік топ, ол Пин тобының Pin−(2) кіші топтарының бір класы болып табылады, бұл Спин тобының Spin(3) кіші тобы және осы контексте бинарлық диэдрлік топ деп аталады. Екілік циклдік топ C2n, циклдік топ Cn және 2n реттік диэдрлік топ Dihn-мен байланысы оң жақтағы диаграммада көрсетілген және Пин тобының сәйкес диаграммасына параллель. Коксетер бинарлық диэдрлік топты ⟨2,2,n⟩, ал бинарлық циклдік топты бұрышты жақшалармен ⟨n⟩ деп жазады. Дициклдік топтар мен диэдрлік топтар арасында сырттай ұқсастық бар; екеуі де негізгі циклдік топтың "айналануының" бір түрі. Бірақ диэдрлік топтың ұсынылымында x² = 1 болады, x² = an орнына; және бұл өзгеше құрылым береді. Атап айтқанда, Dicn, A мен жартылай тікелей көбейтіндісі емес, себебі A ∩ тривиалды емес. Дициклдік топтың бірегей инволюциясы (яғни 2 реттік элемент) бар, атап айтқанда x² = an. Бұл элемент Dicn-нің центрінде жататынын ескеріңіз. Шындығында, центр тек бірлік элементі мен x²-ден тұрады. Егер біз x² = 1 қатынасын Dicn ұсынылысына қоссақ, Dihn диэдрлік тобының ұсынылысын аламыз, сондықтан Dicn/<x²> бөлігі Dihn-ге изоморфты. Кватерниондар мен кеңістіктік айналымдарда сипатталған 3 өлшемді айналым тобындағы бірлік кватерниондар тобынан 2-ге 1 гомоморфизм бар. Дициклдік топты бірлік кватерниондардың ішіне енгізуге болатындықтан, оның осы гомоморфизмдегі бейнесі қандай деген сұрақ туындайды. Жауап – диэдрлік симметрия тобы Dihn. Осы себепті дициклдік топты бинарлық диэдрлік топ деп те атайды. Дициклдік топта Dihn-ге изоморфты кіші топтар жоқ екеніне назар салыңыз. Сол сияқты алдын ала бейне құрылымы, Pin−(2) орнына Pin+(2) қолданса, дициклдік топтың орнына басқа диэдрлік топты, Dih2n береді.
The dicyclic group is a binary polyhedral group — it is one of the classes of subgroups of the Pin group Pin−(2), which is a subgroup of the Spin group Spin(3) — and in this context is known as the binary dihedral group. The connection with the binary cyclic group C2n, the cyclic group Cn, and the dihedral group Dihn of order 2n is illustrated in the diagram at right, and parallels the corresponding diagram for the Pin group. Coxeter writes the binary dihedral group as ⟨2,2,n⟩ and binary cyclic group with angle brackets, ⟨n⟩. There is a superficial resemblance between the dicyclic groups and dihedral groups; both are a sort of "mirroring" of an underlying cyclic group. But the presentation of a dihedral group would have x2 = 1, instead of x2 = an; and this yields a different structure. In particular, Dicn is not a semidirect product of A and , since A ∩ is not trivial. The dicyclic group has a unique involution (i. e. an element of order 2), namely x2 = an. Note that this element lies in the center of Dicn. Indeed, the center consists solely of the identity element and x2. If we add the relation x2 = 1 to the presentation of Dicn one obtains a presentation of the dihedral group Dihn, so the quotient group Dicn/<x2> is isomorphic to Dihn. There is a natural 2 to 1 homomorphism from the group of unit quaternions to the 3 dimensional rotation group described at quaternions and spatial rotations. Since the dicyclic group can be embedded inside the unit quaternions one can ask what the image of it is under this homomorphism. The answer is just the dihedral symmetry group Dihn. For this reason the dicyclic group is also known as the binary dihedral group. Note that the dicyclic group does not contain any subgroup isomorphic to Dihn. The analogous pre image construction, using Pin+(2) instead of Pin−(2), yields another dihedral group, Dih2n, rather than a dicyclic group.
Жалпылау
Абель тобы болсын, онда y деген нақты элементі бар, оның реті 2-ге тең. Егер G тобы A және қосымша элемент x арқылы құрылса, сондай-ақ [G:A] = 2, x² = y және A-дағы барлық a үшін x⁻¹ax = a⁻¹ шарты орындалса, онда бұл топ жалпыланған дициклдік топ деп аталады және Dic(A, y) деп жазылады. Жұп реттік циклдік топта әрқашан 2-ші реттік бірегей элемент болатынын ескерсек, дициклдік топтар жалпыланған дициклдік топтардың нақты бір түрі екенін көреміз. Дициклдік топ – бұл мына презентациямен анықталатын екілік үшбұрышты топтар отбасының бір жағдайы: қосымша қатынас бойынша бөлу қарапайым үшбұрышты топты береді, бұл жағдайда ол диэдрлік бөлу болып табылады.
Let A be an abelian group, having a specific element y in A with order 2. A group G is called a generalized dicyclic group, written as Dic(A, y), if it is generated by A and an additional element x, and in addition we have that [G:A] = 2, x2 = y, and for all a in A, x−1ax = a−1. Since for a cyclic group of even order, there is always a unique element of order 2, we can see that dicyclic groups are just a specific type of generalized dicyclic group. The dicyclic group is the case of the family of binary triangle groups defined by the presentation:Taking the quotient by the additional relation produces an ordinary triangle group, which in this case is the dihedral quotient .