Введение
В теории групп дициклическая группа (обозначается как Dicn или Q4n, ) — это особый тип неабелевой группы порядка 4n (n > 1). Она является расширением циклической группы порядка 2 циклической группой порядка 2n, что и обуславливает название "дициклическая". В обозначениях точных последовательностей групп это расширение можно представить следующим образом:
В более общем случае, для любой конечной абелевой группы, содержащей элемент порядка 2, можно определить дициклическую группу.
Свойства
Для каждого n > 1 дициклическая группа Dicn является неабелевой группой порядка 4n. (Для вырожденного случая n = 1 группа Dic1 является циклической группой C4, которая не считается дициклической.) Пусть A — подгруппа Dicn, порожденная элементом a. Тогда A — циклическая группа порядка 2n, следовательно, [Dicn:A] = 2. Как подгруппа индекса 2, она автоматически является нормальной подгруппой. Факторгруппа Dicn/A является циклической группой порядка 2. Группа Dicn разрешима; заметим, что A нормальна и, будучи абелевой, сама является разрешимой.
Двойная диэдрическая группа
Дициклическая группа — это двоичная полиэдрическая группа, являющаяся одним из классов подгрупп группы Pin−(2), которая, в свою очередь, является подгруппой группы Spin(3), и в этом контексте известна как двоичная диэдрическая группа. Связь с двоичной циклической группой C2n, циклической группой Cn и диэдрической группой Dihn порядка 2n иллюстрируется диаграммой справа и аналогична соответствующей диаграмме для группы Pin. Коксетер записывает двоичную диэдрическую группу как ⟨2,2,n⟩, а двоичную циклическую группу — с угловыми скобками, ⟨n⟩. Между дициклическими и диэдрическими группами существует некоторое внешнее сходство: обе представляют собой своего рода «отражение» лежащей в основе циклической группы. Однако представление диэдрической группы имеет вид x² = 1, а не x² = aⁿ, что приводит к иной структуре. В частности, Dicn не является полупрямым произведением A и , поскольку пересечение A и нетривиально. Дициклическая группа имеет единственную инволюцию (то есть элемент порядка 2), а именно x² = aⁿ. Следует отметить, что этот элемент лежит в центре Dicn. Действительно, центр состоит исключительно из единичного элемента и x². Если к представлению Dicn добавить соотношение x² = 1, то получится представление диэдрической группы Dihn, а факторгруппа Dicn/<x²> изоморфна Dihn. Существует естественный 2-к-1 гомоморфизм из группы единичных кватернионов в 3-мерную группу вращений, описанный в разделе «Кватернионы и пространственные вращения». Поскольку дициклическую группу можно вложить в единичные кватернионы, возникает вопрос о ее образе при этом гомоморфизме. Ответ — просто диэдрическая группа симметрии Dihn. По этой причине дициклическую группу также называют двоичной диэдрической группой. Важно отметить, что дициклическая группа не содержит подгрупп, изоморфных Dihn. Аналогичная конструкция предварительного образа, использующая Pin+(2) вместо Pin−(2), приводит к другой диэдрической группе Dih2n, а не к дициклической группе.
Обобщения
Пусть A — абелева группа, содержащая элемент y порядка 2. Группа G называется обобщённой дициклической группой и обозначается Dic(A, y), если она порождена A и дополнительным элементом x, причём [G:A] = 2, x² = y и для всех a из A выполняется x⁻¹ax = a⁻¹. Поскольку для циклической группы чётного порядка всегда существует единственный элемент порядка 2, можно видеть, что дициклические группы являются частным случаем обобщённых дициклических групп. Дициклическая группа является частным случаем семейства бинарных треугольных групп, задаваемого представлением: Взятие факторгруппы по дополнительному соотношению даёт обычную треугольную группу, которая в данном случае является двугранной факторгруппой.