Кіріспе
3D кеңістікте векторларға математикалық операция – үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі екі вектордың векторлық көбейтіндісі. Математикада векторлық көбейтінді немесе вектор көбейтіндісі (кейде геометриялық мағынасын баса көрсету үшін бағытталған аудан көбейтіндісі) – үш өлшемді бағдарланған Евклидтік вектор кеңістігіндегі екі вектордың (бұл жерде аталған) екілік операциясы. Екі сызықтық тәуелсіз вектор 'a' және 'b' берілген кезде, векторлық көбейтіндісі, 'a' × 'b' (оқылыңыз "a векторлық көбейтінді b"), – 'a' және 'b' екеуіне де перпендикуляр және оларды қамтитын жазықтыққа нормаль вектор болады. Оның математика, физика, инженерия және компьютерлік бағдарламалау салаларында көптеген қолданыстары бар. Оны скалярлық көбейтіндімен (проекциялық көбейтіндімен) шатастыруға болмайды. Векторлық көбейтіндінің модулі қабырғалары ретінде векторлары бар параллелограмның ауданына тең; атап айтқанда, екі перпендикуляр вектордың көбейтіндісінің модулі олардың ұзындықтарының көбейтіндісіне тең. Векторлық көбейтіндінің өлшем бірліктері әр вектордың өлшем бірліктерінің көбейтіндісіне тең. Егер екі вектор параллель немесе антипараллель болса (яғни, олар сызықтық тәуелді болса) немесе олардың біреуінің ұзындығы нөлге тең болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі нөлге тең болады. Векторлық көбейтінді антикоммутативті (яғни, ) және қосу бойынша дистрибутивті, яғни, . Жеті өлшемдегі векторлық көбейтінді жағымсыз қасиеттерге ие (мысалы, ол Якоби тождестігін қанағаттандырмайды), сондықтан ол математикалық физикада көп өлшемді кеңістік-уақыт сияқты шамаларды бейнелеу үшін қолданылмайды. (Басқа өлшемдер үшін төмендегі қараңыз.)
the cross product of two vectors in three dimensional Euclidean space
In mathematics, the cross product or vector product (occasionally directed area product, to emphasize its geometric significance) is a binary operation on two vectors in a three dimensional oriented Euclidean vector space (named here ), and is denoted by the symbol Given two linearly independent vectors 'a' and 'b', the cross product, 'a' × 'b' (read "a cross b"), is a vector that is perpendicular to both 'a' and 'b', and thus normal to the plane containing them. It has many applications in mathematics, physics, engineering, and computer programming. It should not be confused with the dot product (projection product). The magnitude of the cross product equals the area of a parallelogram with the vectors for sides; in particular, the magnitude of the product of two perpendicular vectors is the product of their lengths. The units of the cross product are the product of the units of each vector. If two vectors are parallel or are anti parallel (that is, they are linearly dependent), or if either one has zero length, then their cross product is zero. The cross product is anticommutative (that is, ) and is distributive over addition, that is, The cross product in seven dimensions has undesirable properties, however (e. g. it fails to satisfy the Jacobi identity), so it is not used in mathematical physics to represent quantities such as multi dimensional space time. (See below for other dimensions.)
Бағыт
n векторының бағыты кеңістіктің таңдалған бағдарына байланысты. Дәстүрлі түрде, ол оң қол ережесімен анықталады, онда оң қолдың көрсеткіш саусағын а бағытына, ал ортаңғы саусағын b бағытына бағыттаңыз. Содан кейін n векторы бас бармақтан шығады (қараңыз, жанындағы сурет). Бұл ережені қолдану айқас көбейтіндінің антикоммутативті екенін білдіреді; яғни b × a = −(a × b). Егер көрсеткіш саусақты алдымен b бағытына, содан кейін ортаңғы саусақты a бағытына бағыттасаңыз, бас бармақ кері бағытта болады, бұл көбейтінді векторының таңбасын өзгертеді. Айқас көбейтінді операторы кеңістіктің бағдарына тәуелді болғандықтан, екі вектордың айқас көбейтіндісі, әдетте, "шынайы" вектор емес, псевдовектор болып табылады. Толығырақ ақпарат алу үшін қараңыз.
Айналымның шексіз кіші генераторлары
Кросс-өнім R3 кеңістігіндегі айналымдардың шексіз кіші генераторларын ыңғайлы түрде сипаттайды. Атап айтқанда, егер n – R3 кеңістігіндегі бірлік вектор болса, ал R(φ, n) – n векторымен көрсетілген координаталар басынан өтетін осьтің φ бұрышымен (радианмен өлшенген, n векторының ұшынан қарағанда сағат тіліне қарсы бағытта) айналуын білдірсе, онда R3 кеңістігіндегі кез келген x векторы үшін:
Сондықтан n векторымен кросс-өнім n осенің айналуының шексіз кіші генераторын сипаттайды. Бұл шексіз кіші генераторлар SO(3) айналу тобының so(3) Ли алгебрасын құрайды, және кросс-өніммен жабдықталған R3 Ли алгебрасы so(3) Ли алгебрасына изоморфты екенін аламыз.
Ортонормальды негіздің парадокс
(i, j, k) ортонормальды негіз болсын. i, j және k векторлары кеңістіктің бағытына тәуелді емес. Олар тіпті ешқандай бағыт-бағдар болмаған жағдайда да анықталуы мүмкін. Сондықтан олар осьтік векторлар бола алмайды. Бірақ егер i және j полярлық векторлар болса, онда k = i × j немесе k = j × i үшін k осьтік вектор болып табылады. Бұл парадокс. "Осьтік" және "полярлық" – физикалық векторларға қатысты физикалық сипаттамалар; яғни, жылдамдық немесе магниттік өріс сияқты физикалық шамаларды көрсететін векторлар. i, j және k векторлары математикалық векторлар, олар осьтік де, полярлық та емес. Математикада екі вектордың векторлық көбейтіндісі вектор болып табылады. Бұл арада ешқандай қайшылық жоқ.
Жалпылау
Кросс-продуктті жоғары өлшемдерге жалпылаудың бірнеше тәсілі бар.
Квартерниондар
Крестік көбейтінді кватерниондар арқылы да сипатталуы мүмкін. Егер [a1, a2, a3] векторы a1i + a2j + a3k кватернионы ретінде көрсетілсе, екі вектордың крестік көбейтіндісін оларды кватерниондар ретінде көбейту арқылы, содан соң нәтиженің нақты бөлігін жойып алу арқылы табуға болады. Нәтиженің нақты бөлігі – екі вектордың скалярлық көбейтіндісінің теріс мәніне тең болады.
Октониондар
7 өлшемді векторлар үшін кесінді көбейтіндісі кватерниондардың орнына октониондарды қолдану арқылы да осылай алуға болады. Басқа өлшемдерде екі вектордың маңызды векторлық кесінді көбейтіндісінің болмауы Хурвиц теоремасымен байланысты, ол нормаланған бөліну алгебраларының өлшемдері тек 1, 2, 4 және 8 болуы мүмкін екенін көрсетеді.
Сыртқы өнім
Жалпы өлшемде бинарлық векторлық көбейтіндіге тікелей аналог жоқ, ол нақты вектор береді. Дегенмен, сыртқы көбейтінді бар, ол ұқсас қасиеттерге ие, бірақ екі вектордың сыртқы көбейтіндісі енді қарапайым вектордың орнына 2-вектор болып табылады. Жоғарыда айтылғандай, векторлық көбейтіндіні үш өлшемде сыртқы көбейтінді ретінде қарастыруға болады, 2-векторларды векторларға бейімдеу үшін Ходж жұлдызы операторын қолдану арқылы. Сыртқы көбейтіндінің Ходж дуалы (n-2)-вектор береді, бұл кез келген өлшемде векторлық көбейтіндінің табиғи жалпылауы болып табылады. Сыртқы және скалярлық көбейтінділер геометриялық алгебрада геометриялық көбейтіндіні құру үшін біріктірілуі мүмкін (қосу арқылы).
Сыртқы өнім
Жоғарыда айтылғандай, кросс-көбейтінді үш өлшемде сыртқы көбейтіндінің Ходж дуалы ретінде қарастырылуы мүмкін. Кез келген шекті n өлшемде, n-1 вектордың сыртқы көбейтіндісінің Ходж дуалы вектор болады. Сондықтан, екілік операцияның орнына, кез келген шекті өлшемдерде кросс-көбейтінді белгілі бір n-1 вектордың сыртқы көбейтіндісінің Ходж дуалы ретінде жалпыланады. Осы жалпылау сыртқы көбейтінді деп аталады.
Коммутатор өнімдері
Алгебраның үш өлшемді векторлық кеңістігін геометриялық алгебраның 2 векторлы (1 векторлы емес) субальгебрасы ретінде қарастыру, мұнда , , және , қима көбейтіндісі геометриялық алгебрадағы коммутатор көбейтіндісімен дәл сәйкес келеді және екеуі де бірдей символмен белгіленеді. Коммутатор көбейтіндісі 2 вектор және геометриялық алгебрада былай анықталады: , мұнда – геометриялық көбейтінді. Коммутатор көбейтіндісі үш өлшемдегі кез келген мультивекторларға жалпыландырылуы мүмкін, нәтижесінде 1 (1 вектор/шынайы вектор) және 2 (2 вектор/псевдовектор) дәрежелі элементтерден тұратын мультивектор пайда болады. Екі 1 вектордың коммутатор көбейтіндісі сыртқы көбейтіндісімен сәйкес келеді және 2 вектор береді, ал 1 вектор мен 2 вектордың коммутаторы шынайы векторды береді, бұл геометриялық алгебрадағы сол және оң жиырылуларға сәйкес келеді. Екі 2 вектордың коммутатор көбейтіндісіне сәйкес келетін эквивалентті көбейтінді жоқ, сондықтан коммутатор көбейтіндісі бастапқыда 2 вектор үшін ғана анықталады. Сонымен қатар, үш 2 вектордың коммутатор үш еселенген көбейтіндісі векторлық алгебрадағы сол үш псевдовектордың векторлық үш еселенген көбейтіндісімен бірдей. Дегенмен, геометриялық алгебрадағы үш 1 вектордың коммутатор үш еселенген көбейтіндісі векторлық алгебрадағы сол үш шынайы вектордың векторлық үш еселенген көбейтіндісінің теріс мәніне тең. Жоғары өлшемдерге жалпылау жоғары өлшемді геометриялық алгебралардағы 2 вектордың сол коммутатор көбейтіндісімен жүзеге асырылады, бірақ бұл жағдайда 2 вектор енді псевдовектор емес. Үш өлшемдегі 2 вектордың коммутатор көбейтіндісі/қима көбейтіндісі ең қарапайым Ли алгебрасына сәйкес келеді, сол сияқты жоғары өлшемді геометриялық алгебраның 2 векторлы субальгебрасы, коммутатор көбейтіндісімен жабдықталған, сондай-ақ Ли алгебрасына сәйкес келеді. Үш өлшемдегідей, коммутатор көбейтіндісі кез келген мультивекторларға одан әрі жалпыландырылуы мүмкін.
where is the geometric product. The commutator product could be generalised to arbitrary multivectors in three dimensions, which results in a multivector consisting of only elements of grades 1 (1 vectors/true vectors) and 2 (2 vectors/pseudovectors). While the commutator product of two 1 vectors is indeed the same as the exterior product and yields a 2 vector, the commutator of a 1 vector and a 2 vector yields a true vector, corresponding instead to the left and right contractions in geometric algebra. The commutator product of two 2 vectors has no corresponding equivalent product, which is why the commutator product is defined in the first place for 2 vectors. Furthermore, the commutator triple product of three 2 vectors is the same as the vector triple product of the same three pseudovectors in vector algebra. However, the commutator triple product of three 1 vectors in geometric algebra is instead the negative of the vector triple product of the same three true vectors in vector algebra. Generalizations to higher dimensions is provided by the same commutator product of 2 vectors in higher dimensional geometric algebras, but the 2 vectors are no longer pseudovectors. Just as the commutator product/cross product of 2 vectors in three dimensions correspond to the simplest Lie algebra, the 2 vector subalgebras of higher dimensional geometric algebra equipped with the commutator product also correspond to the Lie algebras. Also as in three dimensions, the commutator product could be further generalised to arbitrary multivectors.
Тарих
1773 жылы Джозеф Луи Лагранж үш өлшемдегі тетраэдрді зерттеу үшін нүктелік және векторлық көбейтудің компоненттік түрін пайдаланды. 1843 жылы Уильям Роуэн Гамильтон кватернион көбейтіндісін енгізіп, осымен бірге вектор және скаляр терминдерін ұсынды. Егер екі кватернион [0, u] және [0, v] берілсе, мұндағы u және v – R3 кеңістігіндегі векторлар, олардың кватернион көбейтіндісін [−u ⋅ v, u × v] түрінде жинақтауға болады. Джеймс Клерк Максвелл өзінің әйгілі электромагнетизм теңдеулерін жасау үшін Гамильтонның кватерниондық құралдарын қолданды, және осы себептерге байланысты кватерниондар бір кезде физика білімінің маңызды бөлігіне айналды. 1844 жылы Герман Грасман екі немесе үш өлшемге тәуелді емес геометриялық алгебраны жариялады. Грасман бірнеше көбейту түрлерін жасады, соның ішінде [uv] арқылы көрсетілген векторлық көбейтуді. (Сондай-ақ қараңыз: сыртқы алгебра.) 1853 жылы Грасманның замандасы Аугустин Луи Коши теңдеулерді шешуге қолданылатын алгебралық кілттер туралы мақала жариялады, олар векторлық көбейту сияқты көбейту қасиеттеріне ие болды. 1878 жылы Уильям Кингдон Клиффорд «Динамика элементтері» атты еңбегін жариялады, онда векторлық көбейту термині кездеседі. Осы кітапта екі вектордың көбейтіндісі олардың екі қабырғасы болатын параллелограмның ауданына тең шамамен және олардың жазықтығына перпендикуляр бағытта анықталады. (Сондай-ақ қараңыз: Клиффорд алгебрасы.) 1881 жылғы лекция жазбаларында Гиббс векторлық көбейтуді символымен белгілеп, оны қиылысқан көбейту деп атады. 1901 жылы Гиббстің шәкірті Эдвин Бидуэлл Уилсон осы лекция жазбаларын өңдеп, «Векторлық талдау» оқулығын жасады. Уилсон қиылысқан көбейту терминін сақтап қалды, бірақ векторлық көбейту және векторлық өнім терминдерінің жиірек қолданылатынын байқады. 1908 жылы Чезаре Бурали Форти мен Роберто Марколонго u ∧ v векторлық көбейту белгісін енгізді. Бұл белгі Францияда және басқа да аймақтарда бүгінге дейін қолданылады, себебі символы көбейту және декарт көбейтуді белгілеу үшін қолданылады.