Введение

Математическая операция над векторами в трехмерном пространстве
Векторное произведение двух векторов в трехмерном евклидовом пространстве

В математике векторное произведение или произведение векторов (иногда называемое направленной площадью, чтобы подчеркнуть его геометрический смысл) — это бинарная операция над двумя векторами в трехмерном ориентированном евклидовом векторном пространстве (обозначаемом здесь), обозначаемая символом. Для двух линейно независимых векторов 'a' и 'b' векторное произведение, 'a' × 'b' (читается "a векторно b"), является вектором, перпендикулярным как 'a', так и 'b', и, следовательно, нормальным к плоскости, содержащей их. Оно имеет множество применений в математике, физике, инженерии и программировании. Его не следует путать с скалярным произведением (проекционным произведением). Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах; в частности, модуль произведения двух перпендикулярных векторов равен произведению их длин. Размерности векторного произведения являются произведением размерностей каждого вектора. Если два вектора параллельны или антипараллельны (то есть линейно зависимы), или если длина хотя бы одного из них равна нулю, то их векторное произведение равно нулю. Векторное произведение антикоммутативно (то есть, ) и дистрибутивно относительно сложения, то есть, . Векторное произведение в семи измерениях обладает нежелательными свойствами (например, не удовлетворяет тождеству Якоби), поэтому оно не используется в математической физике для представления величин, таких как многомерное пространство-время. (С информацией о других размерностях можно ознакомиться ниже.)

Направление

Направление вектора n зависит от выбранной ориентации пространства. Обычно это определяется правилом правой руки, когда человек просто указывает указательным пальцем правой руки в направлении вектора a, а средним пальцем – в направлении вектора b. Тогда вектор n направлен от большого пальца (см. соседнюю картинку). Использование этого правила подразумевает антикоммутативность векторного произведения, то есть b × a = −(a × b). Если указать указательным пальцем в направлении вектора b, а затем средним пальцем в направлении вектора a, то большой палец будет направлен в противоположную сторону, меняя знак векторного произведения. Поскольку оператор векторного произведения зависит от ориентации пространства, в общем случае векторное произведение двух векторов не является "истинным" вектором, а псевдовектором. Подробнее об этом можно узнать здесь.

Бесконечно малые генераторы вращения

Векторное произведение удобно описывает бесконечно малые генераторы вращений в R3. В частности, если n — единичный вектор в R3, а R(φ, n) обозначает вращение вокруг оси, проходящей через начало координат и задаваемой вектором n, на угол φ (измеряемый в радианах, против часовой стрелки при взгляде с конца n), то

для любого вектора x в R3. Таким образом, векторное произведение с n описывает бесконечно малый генератор вращений вокруг n. Эти бесконечно малые генераторы образуют алгебру Ли so(3) группы вращений SO(3), и мы получаем результат, что алгебра Ли R3 с векторным произведением изоморфна алгебре Ли so(3).

Парадокс ортонормальной основы

Пусть (i, j, k) — ортонормальный базис. Векторы i, j и k не зависят от ориентации пространства. Они могут быть определены даже при отсутствии какой-либо ориентации. Следовательно, они не могут быть аксиальными векторами. Но если i и j — полярные векторы, то k является аксиальным вектором, поскольку i × j = k или j × i = k. Это парадокс. "Аксиальные" и "полярные" — это физические характеристики, применяемые к физическим векторам, то есть к векторам, представляющим физические величины, такие как скорость или магнитное поле. Векторы i, j и k являются математическими векторами и не являются ни аксиальными, ни полярными. В математике векторное произведение двух векторов является вектором. Противоречия нет.

Обобщения

Существует несколько способов обобщения векторного произведения на более высокие размерности.

Кватернионы

Круговое произведение также может быть описано с помощью кватернионов. В общем случае, если вектор [a1, a2, a3] представлен как кватернион a1i + a2j + a3k, то векторное произведение двух векторов можно получить, вычислив их произведение как кватернионы и отбросив вещественную часть результата. Вещественная часть будет равна отрицательному скалярному произведению этих двух векторов.

Октонионы

Круговое произведение для 7-мерных векторов можно получить тем же способом, используя октонионы вместо кватернионов. Отсутствие нетривиальных векторных векторных произведений двух векторов в других размерностях связано с результатом теоремы Хурвица, утверждающей, что единственными нормированными алгебрами с делением являются алгебры размерности 1, 2, 4 и 8.

Внешний вид

В общем случае, не существует прямого аналога векторного произведения, который бы давал в результате вектор. Однако существует внешнее произведение, обладающее схожими свойствами, за исключением того, что внешнее произведение двух векторов является 2-вектором, а не обычным вектором. Как упоминалось выше, векторное произведение можно интерпретировать как внешнее произведение в трех измерениях, используя оператор звезды Ходжа для отображения 2-векторов в векторы. Ходжа-двойственное внешнему произведению дает (n-2)-вектор, который является естественной обобщением векторного произведения для любого числа измерений. Внешнее и скалярное произведения можно комбинировать (путем суммирования) для формирования геометрического произведения в геометрической алгебре.

Внешний продукт

Как упоминалось выше, векторное произведение может быть интерпретировано в трех измерениях как двойственное преобразование Ходжа внешнего произведения. В любом конечном n-мерном пространстве двойственное преобразование Ходжа внешнего произведения n-1 векторов является вектором. Таким образом, вместо бинарной операции, в произвольных конечных измерениях векторное произведение обобщается как двойственное преобразование Ходжа внешнего произведения заданных n-1 векторов. Это обобщение называется внешним произведением.

Продукт коммутатора

Интерпретируя трехмерное векторное пространство алгебры как 2-векторную (а не 1-векторную) субалгебру трехмерной геометрической алгебры, где , , и , векторное произведение точно соответствует коммутатору в геометрической алгебре, и оба используют один и тот же символ. Коммутатор определяется для 2 векторов и в геометрической алгебре как:

где – геометрический продукт. Коммутатор можно обобщить на произвольные мультивекторы в трех измерениях, что приводит к мультивектору, состоящему только из элементов ранга 1 (1-векторы/истинные векторы) и 2 (2-векторы/псевдовекторы). В то время как коммутатор двух 1-векторов действительно совпадает с внешним произведением и дает 2-вектор, коммутатор 1-вектора и 2-вектора дает истинный вектор, что соответствует левому и правому сокращениям в геометрической алгебре. Коммутатор двух 2-векторов не имеет соответствующего эквивалентного произведения, поэтому коммутатор изначально определяется для 2-векторов. Кроме того, тройной коммутатор трех 2-векторов совпадает с векторным тройным произведением тех же трех псевдовекторов в векторной алгебре. Однако, тройной коммутатор трех 1-векторов в геометрической алгебре является отрицательным значением векторного тройного произведения тех же трех истинных векторов в векторной алгебре. Обобщение на более высокие размерности обеспечивается тем же коммутатором 2-векторов в геометрических алгебрах более высоких размерностей, но эти 2-векторы больше не являются псевдовекторами. Подобно тому, как коммутатор/векторное произведение двух векторов в трех измерениях соответствует простейшей алгебре Ли, 2-векторные субалгебры геометрической алгебры более высоких размерностей, оснащенные коммутатором, также соответствуют алгебрам Ли. Также, как и в трех измерениях, коммутатор можно обобщить на произвольные мультивекторы.

История

В 1773 году Жозеф Луи Лагранж использовал компонентную форму как скалярного, так и векторного произведения для изучения тетраэдра в трех измерениях. В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон представил произведение кватернионов, а вместе с ним термины «вектор» и «скаляр». Для двух кватернионов [0, u] и [0, v], где u и v — векторы в R3, их произведение кватернионов можно представить как [−u ⋅ v, u × v]. Джеймс Клерк Максвелл использовал инструменты кватернионов Гамильтона для разработки своих знаменитых уравнений электромагнетизма, и по этой и другим причинам кватернионы на некоторое время стали важной частью физического образования. В 1844 году Герман Грассман опубликовал геометрическую алгебру, не ограничивающуюся двумя или тремя измерениями. Грассман разработал несколько произведений, включая векторное произведение, которое тогда обозначалось как [uv]. (См. также: внешняя алгебра.) В 1853 году Огюстен Луи Коши, современник Грассмана, опубликовал статью об алгебраических ключах, которые использовались для решения уравнений и обладали теми же свойствами умножения, что и векторное произведение. В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд опубликовал «Элементы динамики», в которой засвидетельствован термин «векторное произведение». В этой книге это произведение двух векторов определяется как имеющее величину, равную площади параллелограмма, образованного этими векторами, и направление, перпендикулярное их плоскости. (См. также: алгебра Клиффорда.) В лекционных записях 1881 года Гиббс представил векторное произведение и назвал его кососимметричным произведением. В 1901 году ученик Гиббса Эдвин Бидвелл Уилсон отредактировал и расширил эти записи в учебник «Векторный анализ». Уилсон сохранил термин «кососимметричное произведение», но отметил, что альтернативные термины «векторное произведение» и «крестовое произведение» встречаются чаще. В 1908 году Чезаре Бурали Форти и Роберто Марколонго ввели обозначение векторного произведения u ∧ v. Оно используется во Франции и других странах до сих пор, поскольку символ × уже используется для обозначения умножения и декартова произведения.