Кіріспе
Топологияда, математиканың бір саласы, кеңейту топологиясы - топологиялық кеңістік пен басқа жиынның ажыратылған одағына орналастырылған топология. Төмендегі бөлімдерде сипатталған кеңейту топологиясының әртүрлі түрлері бар.
Ұзарту топологиясы
X топологиялық кеңістік және P X-тен бөлінген жиынтық болсын. X P топологиясын қарастырайық, оның ашық жиынтықтары A Q түрінде болады, мұнда A - X-тің ашық жиынтығы, ал Q - P-дің қосалқы жиынтығы. X P-дің жабық жиынтықтары B Q түрінде болады, мұнда B - X-тің жабық жиынтығы, ал Q - P-дің қосалқы жиынтығы. Осы себептермен бұл топология X + P кеңейту топологиясы деп аталады, ол X P-ге X-тің ашық және жабық жиынтықтарын кеңейтеді. X P қосалқы жиынтығы ретінде X-тің қосалқы кеңістік топологиясы X-тің бастапқы топологиясы, ал P-дің қосалқы кеңістік топологиясы дискретті топология болып табылады. Топологиялық кеңістік ретінде X P X және P-дің топологиялық қосындысына гомеоморфты, ал X - X P-дің клопендік кіші жиындысы. Егер Y - топологиялық кеңістік болса және R - Y-дің кіші жиындысы болса, Y R + R-дің кеңейту топологиясы Y-дің бастапқы топологиясымен бірдей ме деп сұрауы мүмкін, ал жауап жалпы жолында жоқ. Бұл кеңейту топологиясының құрылымы мен Александровтың бір нүктелік тығыздалуының ұқсастығына назар аударыңыз, бұл жағдайда, топологиялық кеңістік X бар, оны ∞ нүктесін шексізге қосу арқылы тығыздауға болады, X {∞} жабық жиынтықтарын K түріндегі жиынтықтар деп санайды, мұнда K - X-тің жабық тығыз жиынтығы немесе B {∞} , мұнда B - X-тің жабық жиынтығы.
The closed sets of X ∪ P are of the form B ∪ Q, where B is a closed set of X and Q is a subset of P.
For these reasons this topology is called the extension topology of X plus P, with which one extends to X ∪ P the open and the closed sets of X. As subsets of X ∪ P the subspace topology of X is the original topology of X, while the subspace topology of P is the discrete topology. As a topological space, X ∪ P is homeomorphic to the topological sum of X and P, and X is a clopen subset of X ∪ P.
If Y is a topological space and R is a subset of Y, one might ask whether the extension topology of Y – R plus R is the same as the original topology of Y, and the answer is in general no. Note the similarity of this extension topology construction and the Alexandroff one point compactification, in which case, having a topological space X which one wishes to compactify by adding a point ∞ in infinity, one considers the closed sets of X ∪ {∞} to be the sets of the form K, where K is a closed compact set of X, or B ∪ {∞}, where B is a closed set of X.
Жабық кеңейту топологиясы
X топологиялық кеңістік және P X-тен бөлінген жиынтық болсын. X P топологиясында жабық жиынтықтары X Q түрінде болатын топологияны қарастырайық, мұнда Q - P-дің кіші жиынтығы, немесе B, мұнда B - X-дің жабық жиынтығы. Осы себепті бұл топология X + P-дің жабық кеңейту топологиясы деп аталады, ол X P-ге X-тің жабық жиынтықтарын кеңейтеді. X P қосалқы жиынтығы ретінде X-тің қосалқы кеңістік топологиясы X-тің бастапқы топологиясы, ал P-дің қосалқы кеңістік топологиясы дискретті топология болып табылады. X P ашық жиынтығы Q түрінде болады, мұнда Q - P-дің кіші жиынтығы, немесе A P, мұнда A - X-дің ашық жиынтығы. P X P-де ашық және X X P-де жабық екенін ескеріңіз. Егер Y - топологиялық кеңістік болса және R - Y-дің қосалқы жиынтығы болса, Y R + R-дің жабық кеңейту топологиясы Y-дің бастапқы топологиясымен бірдей ме деп сұрауы мүмкін, ал жауап жалпы жолында жоқ. X P-дің жабық кеңейту топологиясы X P-дің кеңейту топологиясынан кішірек екенін ескеріңіз. Z жиыны мен Z-дегі p нүктесі үшін Z-дегі дискретті топологияны қарастырып, жабық кеңейту топологиясының құрылымын Z {p} плюс p-ге қолдану арқылы белгілі бір нүкте топологиясының құрылымын алады.
If Y is a topological space and R is a subset of Y, one might ask whether the closed extension topology of Y – R plus R is the same as the original topology of Y, and the answer is in general no. Note that the closed extension topology of X ∪ P is smaller than the extension topology of X ∪ P.
For a set Z and a point p in Z, one obtains the particular point topology construction by considering in Z the discrete topology and applying the closed extension topology construction to Z – {p} plus p.