Введение
В топологии, отрасли математики, топология расширения - это топология, помещенная на разъединенном союзе топологического пространства и другого множества. Существуют различные типы топологии расширения, описанные в разделах ниже.
Топология расширения
Пусть X - топологическое пространство, а P - множество, отделимое от X. Рассмотрим в X P топологию, чьи открытые множества имеют форму A Q, где A - открытое множество X, а Q - подмножество P. Закрытые множества X P имеют форму B Q, где B - закрытое множество X, а Q - подмножество P. По этим причинам эта топология называется топологией расширения X плюс P, с помощью которой расширяется на X P открытое и закрытое множества X. Как подмножества X P, топология подпространства X является исходной топологией X, в то время как топология подпространства P является дискретной топологией. Как топологическое пространство, X P гомеоморфно к топологической сумме X и P, и X является клопенным подмножеством X P. Если Y является топологическим пространством, а R - подмножеством Y, можно спросить, то есть ли топология расширения Y R плюс R та же самая, что и исходная топология Y, и ответ в целом - нет. Обратите внимание на сходство этой топологии расширения и компактификации Александрова с одной точкой, в этом случае, имея топологическое пространство X, которое желательно компактифицировать путем добавления точки ∞ в бесконечности, считается, что закрытые множества X {∞} являются множествами формы K, где K является закрытым компактным множеством X, или B {∞}, где B является закрытым множеством X.
The closed sets of X ∪ P are of the form B ∪ Q, where B is a closed set of X and Q is a subset of P.
For these reasons this topology is called the extension topology of X plus P, with which one extends to X ∪ P the open and the closed sets of X. As subsets of X ∪ P the subspace topology of X is the original topology of X, while the subspace topology of P is the discrete topology. As a topological space, X ∪ P is homeomorphic to the topological sum of X and P, and X is a clopen subset of X ∪ P.
If Y is a topological space and R is a subset of Y, one might ask whether the extension topology of Y – R plus R is the same as the original topology of Y, and the answer is in general no. Note the similarity of this extension topology construction and the Alexandroff one point compactification, in which case, having a topological space X which one wishes to compactify by adding a point ∞ in infinity, one considers the closed sets of X ∪ {∞} to be the sets of the form K, where K is a closed compact set of X, or B ∪ {∞}, where B is a closed set of X.
Топология закрытого расширения
Пусть X - топологическое пространство, а P - множество, отделимое от X. Рассмотрим в X P топологию, закрытые множества которой имеют форму X Q, где Q является подмножеством P, или B, где B является закрытым множеством X. По этой причине эта топология называется топологией закрытого расширения X плюс P, с помощью которой можно расширить на X P закрытые множества X. Как подмножества X P, топология подпространства X является исходной топологией X, в то время как топология подпространства P является дискретной топологией. Открытые множества X P имеют форму Q, где Q является подмножеством P, или A P, где A является открытым множеством X. Обратите внимание, что P открыто в X P, а X закрыто в X P. Если Y является топологическим пространством, а R - подмножеством Y, можно спросить, является ли топология закрытого расширения Y R плюс R той же самой, что и исходная топология Y, и ответ в целом отрицательный. Обратите внимание, что топология замкнутого расширения X P меньше, чем топология расширения X P. Для множества Z и точки p в Z, можно получить конкретную топологию точек, рассмотрев в Z дискретную топологию и применив конструкцию замкнутого расширения топологии к Z {p} плюс p.
If Y is a topological space and R is a subset of Y, one might ask whether the closed extension topology of Y – R plus R is the same as the original topology of Y, and the answer is in general no. Note that the closed extension topology of X ∪ P is smaller than the extension topology of X ∪ P.
For a set Z and a point p in Z, one obtains the particular point topology construction by considering in Z the discrete topology and applying the closed extension topology construction to Z – {p} plus p.