Кіріспе

Математикада, жиынның диффеологиясы дифференциалданатын көптіктегі тегіс координаттар түсінігін жалпылайды, бұл жиындағы "тегіс параметрлеулер" қандай екенін анықтайды. Бұл ұғымды алғаш рет Жан Мари Сориа 1980 жылдары "Espace différentiel" деген атпен енгізді, ал кейін оны оның шәкірттері Пол Донато мен Патрик Иглесиас дамытты. 1970 жылдары Куо Цай Чен (陳國才, Chen Guocai) осыған ұқсас идеяны ұсынды, онда сызбалар домендері үшін ашық жиынтардың орнына дөңгелек жиынтар қолданылды.

Интуитивті анықтама

Топологиялық көптік – жергілікті үйлесімді топологиялық кеңістік екенін еске түсірейік. Дифференциалдық көптік тегіс ұғымын келесі мағынада жалпылайды: дифференциалдық көптік – дифференциалданатын атласпен жабдықталған топологиялық көптік, яғни кеңістіктің ашық ішкі жиындарынан көптікке жүргізілетін карталар жиыны, олар кеңістіктің дифференциалдық құрылымын көптікке "кері тартуға" пайдаланылады. Диффеологиялық кеңістік – жиынтықтан және карталар жиынынан (диффеология деп аталады) тұрады, бұл жиынтық тиісті аксиомаларды қанағаттандырады және көптіктердегі атлас ұғымын жалпылайды. Осылайша, тегіс көптіктер мен диффеологиялық кеңістіктер арасындағы қатынас, топологиялық көптіктер мен топологиялық кеңістіктер арасындағы қатынасқа ұқсас. Нақтырақ айтқанда, тегіс көптік эквивалентті түрде жергілікті диффеоморфты диффеологиялық кеңістік ретінде анықталуы мүмкін. Шындығында, әрбір тегіс көптік өзінің максималды атласынан (кеңістіктің ашық ішкі жиындарынан көптікке дейінгі барлық тегіс карталардан) тұратын табиғи диффеологияға ие. Бұл абстрактті көзқарас нақты атласқа (демек, белгілі бір өлшемге) немесе негізгі топологиялық кеңістікке сілтеме жасамайды, сондықтан ол көптіктерден жалпырақ нысандардың мысалдарын қарастыруға ыңғайлы.

Морфизмдер

Диффеологиялық кеңістіктер арасындағы бейнелеу тегіс деп аталады, егер оның бірінші кеңістіктің кез келген сюжетімен композициясы екінші кеңістіктің сюжеті болса ғана. Егер ол тегіс, өзара бірге сәйкес келетін және оның кері бейнелеуі де тегіс болса, онда ол диффеоморфизм деп аталады. Құрылымы бойынша, диффеологиялық кеңістік берілген болса, оның анықталған сюжеттері – осыдан бастап барлық тегіс бейнелеулер болып табылады. Диффеологиялық кеңістіктер морфизмдері тегіс бейнелеулер болатын санатты құрайды. Диффеологиялық кеңістіктер санаты көптеген категориялық операциялар бойынша жабық: мысалы, ол картезиандық жабық, толық және ко-толық, және жалпы алғанда, ол квазитопос. Бұл – барлық сюжеттер үздіксіз болатын соңғы топология (Евклид топологиясына қатысты). Басқаша айтқанда, кез келген сюжет үшін ашық болса ғана жиын ашық болады. Шындығында, D топологиясы тегіс қисықтармен толық анықталады, яғни жиын кез келген тегіс бейнелеу үшін ашық болса ғана ашық болады, ал диффеологиялық кеңістіктер арасындағы дифференциалданатын бейнелеу олардың D топологиялары арасында автоматты түрде үздіксіз болады.

Қарапайым мысалдар

Кез келген жиынтыққа өрескел (немесе тривиалды немесе айқын емес) диффеология берілуі мүмкін, яғни ең ірі мүмкін диффеология (әрбір бейнелеу сюжет болып табылады). Сәйкес D топологиясы – тривиалды топология. Кез келген жиынтыққа дискретті (немесе ұсақ) диффеология берілуі мүмкін, яғни ең кіші мүмкін диффеология (тек сюжеттер – жергілікті тұрақты бейнелеулер). Сәйкес D топологиясы – дискретті топология. Кез келген топологиялық кеңістік үздіксіз диффеологиямен жабдықталуы мүмкін, оның сюжеттері – барлық үздіксіз бейнелеулер.

Манифольдер

Кез келген дифференциалданатын көптік – оның максималдық атласын қарастыра отырып (яғни, графиктер – бұл ашық жиындардан көптікке дейінгі барлық тегіс функциялар), диффеологиялық кеңістік болып табылады; оның D топологиясы бастапқы көптік топологиясын қалпына келтіреді. Осы диффеологияда екі тегіс көптік арасындағы функция тегіс болады, егер және тек қана ол диффеологиялық мағынада дифференциалданатын болса. Сәйкесінше, тегіс функциялары бар тегіс көптіктер диффеологиялық кеңістіктер санатының толық кіші санатын құрайды. Сол сияқты, комплекс көптіктер, аналитикалық көптіктер және т.б. қосымша құрылымды сақтайтын функциялардан тұратын табиғи диффеологияларға ие. Диффеологиялық кеңістіктерді модельдеудің бұл әдісі міндетті түрде евклидтік кеңістік емес, жергілікті модельдерге де қолданылуы мүмкін. Мысалы, диффеологиялық кеңістіктерге орбифолдтар кіреді, олар бөлу кеңістіктері бойынша модельделеді, себебі олар шекті сызықтық топтар, немесе ортанттар бойынша модельделген шекаралары мен бұрыштары бар көптіктер және т.б. Кез келген Банах көптігі диффеологиялық кеңістік болып табылады. Кез келген Фреше көптігі диффеологиялық кеңістік болып табылады.

Басқа дифеологиялық кеңістікке салынған конструкциялар

Егер жиынға екі түрлі диффеология берілген болса, олардың қиылысуы – қиылысу диффеологиясы деп аталатын , екі бастапқы диффеологиядан да жіңішке диффеология болып табылады. Қиылысу диффеологиясының D топологиясы – бастапқы диффеологиялардың D топологияларының қиылысы. Егер жиын диффеологиялық кеңістіктің ішкі жиыны болса, онда оның ішкі жиын диффеологиясы – суреттері жиынның ішкі жиындары болатын графиктерден тұратын диффеология. -нің D топологиясы – -нің D топологиясының ішкі топологиясы. Егер және диффеологиялық кеңістіктер болса, онда Картезиялық көбейтіндідегі көбейтінді диффеологиясы – және диффеологияларының барлық графиктердің көбейтінділерімен туындайтын диффеология. -нің D топологиясы – және диффеологияларының D топологияларының көбейтінді топологиясы. Егер диффеологиялық кеңістік болса және функция болса, онда -ның функция арқылы итеру диффеологиясы – графиктердің функциямен композициясынан туындайтын диффеология, яғни итеру диффеологиясы – функцияны дифференциалдауға мүмкіндік беретін ең кіші диффеология. Квотиенттік диффеология проекция арқылы итеру диффеологиясына дейін тобыққан. Диффеологиялық кеңістіктің функция арқылы кері тартылу диффеологиясы – композициясы график болатын функциялардан тұратын диффеология. Яғни, кері тартылу диффеологиясы – функцияны дифференциалдауға мүмкіндік беретін ең кіші диффеология. Екі диффеологиялық кеңістіктің арасындағы функционалдық диффеология – дифференциалданатын функциялар жиынындағы диффеология, оның графиктерi өнім диффеологиясына қатысты тегіс. Егер және көптіктер болса, онда -нің D топологиясы – әлсіз топологияны қамтитын ең кіші жергілікті байланысты топология.

Сым / спагетти дифеологиясы

Сым диффеологиясы (немесе спагетти диффеологиясы) — бұл диффеология, оның сюжеттері жергілікті түрде арқылы өтеді. Нақтырақ айтқанда, f функциясы сюжет болып табылады, егер және тек егер әр x нүктесі үшін x-тің ашық аймағы U болса, онда U ішіндегі кез келген екі сюжет g және h үшін f = g = h болады. Бұл диффеология стандартты диффеологиямен сәйкес келмейді: мысалы, сәйкестік функциясы сым диффеологиясында сюжет болып табылмайды.

Басқа мысалдар

Квотиенттер көптік емес диффеологияларды құрудың оңай жолын ұсынады. Мысалы, нақты сандар жиыны – тегіс көптік. Кейбір иррационал санға қатысты алынған квотиент, иррационал тор деп аталады, ол 2 тордың бір түзудің бұрылыс бұрышына бөлінуінен алынған квотиентке диффеоморфты диффеологиялық кеңістік болып табылады. Оның тривиалды емес диффеологиясы бар, бірақ оның D топологиясы тривиалды топология болып табылады. Субкөптік диффеологиясы мен функционалдық диффеологияны біріктіре отырып, талшықтық шоғырдың кесінділері кеңістігінде немесе Ли тобының екі бөлікті кеңістігінде диффеологияны анықтауға болады.

Субдукциялар мен индукциялар

Көптүрліліктердегі суға бату және суға шому ұғымдарына ұқсас, дифеологиялық кеңістіктер арасындағы морфизмдердің екі ерекше класы бар. Субдукция – диффеологиялық кеңістіктер арасындағы сюръективті функция, ондағы диффеологиясы, диффеологиясының итеру арқылы алынады. Сол сияқты, индукция – диффеологиялық кеңістіктер арасындағы инъективті функция, ондағы диффеологиясы, диффеологиясының кері тартылуы болып табылады. Субдукциялар мен индукциялар автоматты түрде тегіс болады. Егер және тегіс көптүрліліктер болса, олардың арасындағы субдукция (сәйкесінше, индукция) – нақты сюръективті суға бату (сәйкесінше, инъективті суға шому) болып табылады. Бұған қоса, бұл ұғымдар суға бату мен суға шому сияқты ұқсас қасиеттерге ие, мысалы:

Композиция субдукция (сәйкесінше, индукция) болады, егер және тек қана егер субдукция (сәйкесінше, индукция) болса. Инъективті субдукция (сәйкесінше, сюръективті индукция) – дифеоморфизм. Енгізу – бұл индукция, сонымен қатар кодоменнің D топологиясынан туындаған ішкі топологияға қатысты өзінің бейнесімен гомеоморфизм болып табылады. Тегіс көптүрліліктердің негізіндегі диффеологиялар үшін бұл енгізудің стандартты ұғымына тоғады.