Введение

В математике диффеология на множестве обобщает понятие гладких карт в дифференцируемом многообразии, определяя, какие параметризации считаются "гладкими" в этом множестве. Эта концепция была впервые предложена Жаном Мари Суриау в 1980-х годах под названием Espace différentiel, а затем развита его учениками Полом Донато и Патриком Иглесиасом. Схожая идея была представлена Куо Цай Ченом (陳國才, Chen Guocai) в 1970-х годах, с использованием выпуклых множеств вместо открытых множеств в качестве областей определения графиков.

Интуитивное определение

Напомним, что топологическое многообразие — это топологическое пространство, локально гомеоморфное . Дифференцируемые многообразия обобщают понятие гладкости следующим образом: дифференцируемое многообразие — это топологическое многообразие с дифференцируемым атласом, то есть с коллекцией отображений из открытых подмножеств в многообразие, которые используются для "переноса" дифференциальной структуры из на многообразие. Диффеологическое пространство состоит из множества вместе с коллекцией отображений (называемой диффеологией), удовлетворяющих подходящим аксиомам, которые обобщают понятие атласа на многообразии. Таким образом, связь между гладкими многообразиями и диффеологическими пространствами аналогична связи между топологическими многообразиями и топологическими пространствами. Более точно, гладкое многообразие можно эквивалентно определить как диффеологическое пространство, локально диффеоморфное . Действительно, каждое гладкое многообразие имеет естественную диффеологию, состоящую из его максимального атласа (всех гладких отображений из открытых подмножеств в многообразие). Эта абстрактная точка зрения не опирается на конкретный атлас (и, следовательно, на фиксированную размерность) и на базовое топологическое пространство, и поэтому подходит для рассмотрения примеров объектов, более общих, чем многообразия.

Морфизмы

Карта между диффеологическими пространствами называется гладкой тогда и только тогда, когда её композиция с любым сюжетом первого пространства является сюжетом второго пространства. Она называется диффеоморфизмом, если она гладкая, биективна и её обратная также гладка. По построению, для диффеологического пространства , его сюжеты, определенные на , являются всеми гладкими отображениями из в . Диффеологические пространства образуют категорию, где морфизмами являются гладкие отображения. Категория диффеологических пространств замкнута относительно многих категорных операций: например, она является декартово замкнутой, полной и кополной, и в более общем смысле – квазитопосом. Это финальная топология, такая что все сюжеты непрерывны (относительно евклидовой топологии на ). Иными словами, подмножество открыто тогда и только тогда, когда оно открыто для любого сюжета на . Фактически, D-топология полностью определяется гладкими кривыми, то есть подмножество открыто тогда и только тогда, когда оно открыто для любого гладкого отображения, а дифференцируемое отображение между диффеологическими пространствами автоматически непрерывно относительно их D-топологий.

Тривиальные примеры

Любое множество может быть наделено грубой (или тривиальной, или недискретной) диффеологией, то есть наибольшей возможной диффеологией (любое отображение является сюжетом). Соответствующая D-топология является тривиальной топологией. Любое множество может быть наделено дискретной (или тонкой) диффеологией, то есть наименьшей возможной диффеологией (единственными сюжетами являются локально постоянные отображения). Соответствующая D-топология является дискретной топологией. Любое топологическое пространство может быть наделено непрерывной диффеологией, сюжетами которой являются все непрерывные отображения.

Манифолы

Любое дифференцируемое многообразие является диффеологическим пространством, рассматривая его максимальный атлас (т.е. сюжетами являются все гладкие отображения из открытых подмножеств в многообразие); его D-топология восстанавливает исходную топологию многообразия. При такой диффеологии отображение между двумя гладкими многообразиями является гладким тогда и только тогда, когда оно дифференцируемо в диффеологическом смысле. Соответственно, гладкие многообразия с гладкими отображениями образуют полную подкатегорию категории диффеологических пространств. Аналогично, комплексные многообразия, аналитические многообразия и т.д. имеют естественные диффеологии, состоящие из отображений, сохраняющих дополнительную структуру. Этот метод моделирования диффеологических пространств можно расширить на локальные модели, которые не обязательно являются евклидовым пространством. Например, диффеологические пространства включают орбифолды, которые моделируются на факторпространствах , где – конечная линейная подгруппа, или многообразия с границей и углами, моделируемые на ортантах и т.д. Любое банахово многообразие является диффеологическим пространством. Любое фрешетово многообразие является диффеологическим пространством.

Конструкции из других диффеологических пространств

Если множеству заданы две различные диффеологии, их пересечение является диффеологией на этом множестве, называемой диффеологией пересечения, которая тоньше обеих исходных диффеологий. D-топология диффеологии пересечения – это пересечение D-топологий исходных диффеологий. Если является подмножеством диффеологического пространства , то диффеология подпространства на – это диффеология, состоящая из сюжетов, образы которых являются подмножествами . D-топология – это подпространственная топология D-топологии . Если и – диффеологические пространства, то диффеология произведения на декартовом произведении – это диффеология, порожденная всеми произведениями сюжетов из и из . D-топология – это топология произведения D-топологий и . Если – диффеологическое пространство и – отношение эквивалентности на , то диффеология частного на множестве частных /~ – это диффеология, порожденная всеми композициями сюжетов из с проекцией из в . D-топология на – это топология частного от D-топологии (следует отметить, что эта топология может быть тривиальной, даже если диффеология нетривиальна). Прямое отображение диффеологии диффеологического пространства функцией – это диффеология на , порожденная композициями , где – сюже́т из . Иными словами, прямое отображение диффеологии – это наименьшая диффеология на , делающая дифференцируемой. Диффеология частного сводится к прямому отображению диффеологии посредством проекции . Обратное отображение диффеологии диффеологического пространства функцией – это диффеология на , сюжетами которой являются отображения , такие что композиция является сюжетом из . Иными словами, обратное отображение диффеологии – это наименьшая диффеология на , делающая дифференцируемой. Функциональная диффеология между двумя диффеологическими пространствами – это диффеология на множестве дифференцируемых отображений, сюжетами которой являются отображения , такие что гладкое (относительно диффеологии произведения ). Когда и – многообразия, D-топология – это наименьшая локально связная топология, содержащая слабую топологию.

Диффеология проволоки/спагетти

Диффеология проволоки (или спагетти-диффеология) на – это диффеология, чьи сюжеты локально факторизуются через . Более точно, отображение является сюжетом тогда и только тогда, когда для каждой точки существует открытое окрестность такой точки, что для любых двух сюжетов и . Эта диффеология не совпадает со стандартной диффеологией на : например, тождественное отображение не является сюжетом в диффеологии проволоки.

Другие примеры

Коэффициенты предоставляют простой способ построения не многообразийных диффеологий. Например, множество вещественных чисел является гладким многообразием. Частное, для некоторого иррационального числа, называемое иррациональным тором, является диффеологическим пространством, диффеоморфным частному регулярного 2-тора по прямой с наклоном. Оно обладает нетривиальной диффеологией, но его D-топология является тривиальной топологией. Комбинируя диффеологию подпространства и функциональную диффеологию, можно определить диффеологии на пространстве сечений расслоения или пространстве биссекций группоида Ли и так далее.

Субдукции и индукции

Аналогично понятиям погружений и проецирований между многообразиями, существуют два специальных класса морфизмов между диффеологическими пространствами. Субдукция — это сюръективное отображение между диффеологическими пространствами, такое что диффеология пространства является прямым образом диффеологии пространства . Аналогично, индукция — это инъективное отображение между диффеологическими пространствами, такое что диффеология пространства является обратным образом диффеологии пространства . Следует отметить, что субдукции и индукции автоматически гладкие. Когда и являются гладкими многообразиями, субдукция (соответственно, индукция) между ними является, по сути, сюръективным погружением (соответственно, инъекционным погружением). Более того, эти понятия обладают свойствами, схожими со свойствами погружений и проецирований, например:

Композиция является субдукцией (соответственно, индукцией) тогда и только тогда, когда является субдукцией (соответственно, является индукцией). Инъективная субдукция (соответственно, сюръективная индукция) является диффеоморфизмом. Вложение — это индукция, которая также является гомеоморфизмом со своим образом относительно индуцированной топологии подмножества из D-топологии кообласти. Для диффеологий, лежащих в основе гладких многообразий, это сводится к стандартному понятию вложения.