Кіріспе
Формалды қуат қатарлары; коэффициенттер табиғи сандармен индекстелген тізбек туралы ақпаратты кодтайды. Математикада, тудырушы функция – сандардың шексіз тізбегін формалды қуат қатарының коэффициенттері ретінде көрсету. Кәдімгі қатардан айырмашылығы, формалды қуат қатарының жуысуы талап етілмейді: шын мәнінде, тудырушы функция функция ретінде қарастырылмайды, ал «айнымалы» белгісіз болып қалады. Тудырушы функцияларды алғаш рет 1730 жылы Абрахам де Муавр жалпы сызықтық рекурренттік есепті шешу үшін енгізді. Бірнеше белгісіздері бар формалды қуат қатарына кеңейтуге болады, сандардың шексіз көп өлшемді массивтері туралы ақпаратты кодтау үшін. Тудырушы функциялардың түрлі түрлері бар, оның ішінде қарапайым тудырушы функциялар, экспоненциалды тудырушы функциялар, Ламберт қатарлары, Белл қатарлары және Дирихле қатарлары; анықтамалары мен мысалдары төменде келтірілген. Принцип бойынша, әрбір тізбектің әрбір түрі үшін тудырушы функция бар (бірақ Ламберт және Дирихле қатарлары 0-ден емес, 1-ден басталатын индекстерді талап етеді), бірақ оларды өңдеудің қарапайымдығы айтарлықтай өзгеше болуы мүмкін. Егер бар болса, нақты жағдайда ең пайдалы тудырушы функция тізбектің сипатына және қарастырылып отырған мәселенің егжей-тегжейіне байланысты болады. Тудырушы функциялар көбінесе жабық түрде (қатар ретінде емес), формалды қатарлар үшін анықталған операцияларды қамтитын кейбір өрнектер арқылы беріледі. Бұл x белгісізіндегі өрнектер арифметикалық операцияларды, x-ке қатысты дифференциалдауды және басқа тудырушы функциялармен композицияны (яғни, алмастыруды) қамтуы мүмкін; бұл операциялар функциялар үшін де анықталғандықтан, нәтиже x функциясы сияқты көрінеді. Шындығында, жабық түрдегі өрнекті көбінесе x-тің (жеткілікті кішкентай) нақты мәндерінде есептеуге болатын және формалды қатарды қатар кеңейтуі ретінде иеленетін функция ретінде түсіндіруге болады; бұл «тудырушы функциялар» атауын түсіндіреді. Алайда, мұндай түсіндіру міндетті емес, өйткені формалды қатарлар x-тің нөлдік емес сандық мәнімен ауыстырылғанда міндетті түрде жуысатын қатар беруі керек емес. Сондай-ақ, x функциясы ретінде мағыналы барлық өрнектер формалды қатарды белгілейтін өрнектер ретінде мағыналы емес; мысалы, x-тің теріс және бөлшектік дәрежелері тиісті формалды қуат қатары жоқ функциялардың мысалы болып табылады. Тудырушы функциялар доменнен кодоменге бейнелеудің формалды мағынасындағы функциялар емес. Тудырушы функцияларды кейде тудырушы қатарлар деп атайды, өйткені мүшелер қатары оның мүшелік коэффициенттерінің тізбегін тудырады деуге болады.
generating functions in mathematics
In mathematics, a generating function is a representation of an infinite sequence of numbers as the coefficients of a formal power series. Unlike an ordinary series, the formal power series is not required to converge: in fact, the generating function is not actually regarded as a function, and the "variable" remains an indeterminate. Generating functions were first introduced by Abraham de Moivre in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem. One can generalize to formal power series in more than one indeterminate, to encode information about infinite multi dimensional arrays of numbers. There are various types of generating functions, including ordinary generating functions, exponential generating functions, Lambert series, Bell series, and Dirichlet series; definitions and examples are given below. Every sequence in principle has a generating function of each type (except that Lambert and Dirichlet series require indices to start at 1 rather than 0), but the ease with which they can be handled may differ considerably. The particular generating function, if any, that is most useful in a given context will depend upon the nature of the sequence and the details of the problem being addressed. Generating functions are often expressed in closed form (rather than as a series), by some expression involving operations defined for formal series. These expressions in terms of the indeterminate x may involve arithmetic operations, differentiation with respect to x and composition with (i. e., substitution into) other generating functions; since these operations are also defined for functions, the result looks like a function of x. Indeed, the closed form expression can often be interpreted as a function that can be evaluated at (sufficiently small) concrete values of x, and which has the formal series as its series expansion; this explains the designation "generating functions". However such interpretation is not required to be possible, because formal series are not required to give a convergent series when a nonzero numeric value is substituted for x. Also, not all expressions that are meaningful as functions of x are meaningful as expressions designating formal series; for example, negative and fractional powers of x are examples of functions that do not have a corresponding formal power series. Generating functions are not functions in the formal sense of a mapping from a domain to a codomain. Generating functions are sometimes called generating series, in that a series of terms can be said to be the generator of its sequence of term coefficients.
Көптамалық тізбекті құрайтын функциялар
Функцияларды құру идеясы басқа объектілер тізбектеріне де кеңейтілуі мүмкін. Сонымен, мысалы, екілік типтегі көпмүшелік тізбектер келесі арқылы жасалады:
мұнда pn(x) – көпмүшеліктер тізбегі, ал f(t) – белгілі бір формадағы функция. Шеффер тізбектері де ұқсас жолмен жасалады. Қосымша ақпарат алу үшін негізгі мақалаға қараңыз – жалпыланған Апелл полиномдары.
Рекурсивті реттіліктермен және голономиялық генерациялау функцияларымен жұмыс істейтін бағдарламалық қамтамасыз ету
Mathematica-да P рекурсивті тізбектерді өңдеу және олармен жұмыс істеуге арналған құралдарға RISC Combinatorics Group алгоритмдік комбинаторика бағдарламалық жасақтама сайтында коммерциялық емес пайдалану үшін ұсынылған бағдарламалық пакеттер кіреді. Көбінесе жабық кодты болғанына қарамастан, осы бағдарламалық жасақтамадағы ең қуатты құралдар – Guess пакеті, ол кез келген кіріс тізбектері үшін P рекурренциясын болжауға мүмкіндік береді (эксперименттік математика және зерттеу үшін пайдалы), және Sigma пакеті, ол көптеген қосындылар үшін P рекурренциясын таба алады және жалпыланған гармоникалық сандарды қамтитын P рекурренцияларына жабық түрдегі шешімдерді шығара алады. Осы RISC сайтында тізілген басқа да пакеттер нақтылы түрде голономикалық генерациялау функцияларымен жұмыс істеуге бағытталған.