Кіріспе
Есептеудегі өте кішкентай шама; өлшеу мүмкін емес, тым кішкентай нәрсе. Математикада шексіз кішкентай сан – кез келген стандартты нөлден өзге нақты саннан 0-ге жақын, бірақ 0 емес шама. "Шексіз кішкентай" сөзі 17 ғасырдағы жаңа латын тілінен – infinitesimus сөзінен шыққан, ол бастапқыда тізбектегі "шегінсіз" элементті білдірген. Шексіз кішкентай сандар стандартты нақты сандар жүйесінде жоқ, бірақ олар сюрреалистік сандар жүйесі және гиперреалистік сандар жүйесі сияқты басқа жүйелерде бар. Бұл жүйелерді нақты сандардың шексіз кішкентай және шексіз шамалармен толықтырылған түрі деп қарастыруға болады, мұнда толықтырулар бір-біріне кері шамалар болып табылады. Шексіз кішкентай сандар есептеудің дамуында енгізілген, онда туынды екі шексіз кішкентай шаманың қатынасы ретінде алғаш рет ұсынылды. Бұл анықтама қатаң түрде формалдануға жетпеді. Есептеу дамыған сайын, шексіз кішкентай сандар лимиттермен алмастырылды, оларды стандартты нақты сандарды қолдана отырып есептеуге болады. 20 ғасырда Абрахам Робинсонның стандартты емес талдау және гиперреалистік сандарды әзірлеуімен шексіз кішкентай сандар қайтадан танымал болды. Ол ғасырлар бойы дау тудырған мәселені шешіп, шексіз кішкентай есептеуді формальды түрде қарастыру мүмкін екенін көрсетті. Содан кейін математиктер сюрреалистік сандарды жасады, бұл шексіз және шексіз кішкентай сандардың формальды түрі, оған гиперреалистік кардиналдық және ординалдық сандар кіреді, бұл ең үлкен реттелген өріс. Владимир Арнольд 1990 жылы былай деп жазды:
In mathematics, an infinitesimal number is a quantity that is closer to 0 than what any standard non zero real number is, but is not 0. The word infinitesimal comes from a 17th century Modern Latin coinage infinitesimus, which originally referred to the "infinity th" item in a sequence. Infinitesimals do not exist in the standard real number system, but they do exist in other number systems, such as the surreal number system and the hyperreal number system, which can be thought of as the real numbers augmented with both infinitesimal and infinite quantities; the augmentations are the reciprocals of one another. Infinitesimal numbers were introduced in the development of calculus, in which the derivative was first conceived as a ratio of two infinitesimal quantities. This definition was not rigorously formalized. As calculus developed further, infinitesimals were replaced by limits, which can be calculated using the standard real numbers. Infinitesimals regained popularity in the 20th century with Abraham Robinson's development of nonstandard analysis and the hyperreal numbers, which, after centuries of controversy, showed that a formal treatment of infinitesimal calculus was possible. Following this, mathematicians developed surreal numbers, a related formalization of infinite and infinitesimal numbers that include both hyperreal cardinal and ordinal numbers, which is the largest ordered field. Vladimir Arnold wrote in 1990:
The crucial insight for making infinitesimals feasible mathematical entities was that they could still retain certain properties such as angle or slope, even if these entities were infinitely small. Infinitesimals are a basic ingredient in calculus as developed by Leibniz, including the law of continuity and the transcendental law of homogeneity. In common speech, an infinitesimal object is an object that is smaller than any feasible measurement, but not zero in size—or, so small that it cannot be distinguished from zero by any available means. Hence, when used as an adjective in mathematics, infinitesimal means infinitely small, smaller than any standard real number. Infinitesimals are often compared to other infinitesimals of similar size, as in examining the derivative of a function. An infinite number of infinitesimals are summed to calculate an integral. The concept of infinitesimals was originally introduced around 1670 by either Nicolaus Mercator or Gottfried Wilhelm Leibniz. Archimedes used what eventually came to be known as the method of indivisibles in his work The Method of Mechanical Theorems to find areas of regions and volumes of solids. In his formal published treatises, Archimedes solved the same problem using the method of exhaustion. The 15th century saw the work of Nicholas of Cusa, further developed in the 17th century by Johannes Kepler, in particular, the calculation of the area of a circle by representing the latter as an infinite sided polygon. Simon Stevin's work on the decimal representation of all numbers in the 16th century prepared the ground for the real continuum. Bonaventura Cavalieri's method of indivisibles led to an extension of the results of the classical authors. The method of indivisibles related to geometrical figures as being composed of entities of codimension 1. John Wallis's infinitesimals differed from indivisibles in that he would decompose geometrical figures into infinitely thin building blocks of the same dimension as the figure, preparing the ground for general methods of the integral calculus. He exploited an infinitesimal denoted 1/∞ in area calculations. The use of infinitesimals by Leibniz relied upon heuristic principles, such as the law of continuity: what succeeds for the finite numbers succeeds also for the infinite numbers and vice versa; and the transcendental law of homogeneity that specifies procedures for replacing expressions involving unassignable quantities, by expressions involving only assignable ones. The 18th century saw routine use of infinitesimals by mathematicians such as Leonhard Euler and Joseph Louis Lagrange. Augustin Louis Cauchy exploited infinitesimals both in defining continuity in his Cours d'Analyse, and in defining an early form of a Dirac delta function. As Cantor and Dedekind were developing more abstract versions of Stevin's continuum, Paul du Bois Reymond wrote a series of papers on infinitesimal enriched continua based on growth rates of functions. Du Bois Reymond's work inspired both Émile Borel and Thoralf Skolem. Borel explicitly linked du Bois Reymond's work to Cauchy's work on rates of growth of infinitesimals. Skolem developed the first non standard models of arithmetic in 1934. A mathematical implementation of both the law of continuity and infinitesimals was achieved by Abraham Robinson in 1961, who developed nonstandard analysis based on earlier work by Edwin Hewitt in 1948 and Jerzy Łoś in 1955. The hyperreals implement an infinitesimal enriched continuum and the transfer principle implements Leibniz's law of continuity. The standard part function implements Fermat's adequality.
Шексіз кішкентайларды математикалық нысандарға айналдырудың маңызды түсінігі – олардың шексіз кішкентай болса да, бұрыш немесе еңіс сияқты белгілі бір қасиеттерін сақтай алатындығында еді. Шексіз кішкентай сандар – Лейбниц дамытқан есептеудің негізгі құрамдас бөлігі, оның ішінде сабақтастық заңы және гомогендіктің трансценденттік заңы бар. Күнделікті тілде шексіз кішкентай объект – бұл кез келген өлшемнен кіші, бірақ нөлдік емес, немесе қолда бар құралдармен нөлден ажыратуға болмайтын объект. Сондықтан математикада сөйлемде қолданылғанда, шексіз кішкентай – бұл шексіз кішкентай, кез келген стандартты нақты саннан кіші. Шексіз кішкентай сандарды жиі ұқсас мөлшердегі басқа шексіз кішкентай сандармен салыстырады, мысалы функцияның туындысын зерттеуде. Интегралды есептеу үшін шексіз көп шексіз кішкентай сандардың қосындысы қолданылады. Шексіз кішкентай сандар туралы ұғымды алғаш рет 1670 жылдары Николаус Меркатор немесе Готфрид Вильгельм Лейбниц енгізген. Архимед өзінің "Механикалық теоремалар әдісі" еңбегінде аймақтардың ауданын және денелердің көлемін табу үшін бөлінбейтіндер әдісі деп аталатын әдісті қолданды. Архимед өзінің ресми жарияланған трактаттарында осы мәселені шаршау әдісін қолданып шешкен. 15 ғасырда Николай Кузанскийдің жұмысы, 17 ғасырда Иоганн Кеплер, әсіресе, шеңбердің ауданын есептеу, соңғысын шексіз көп қабырғалы көпбұрыш ретінде көрсету арқылы дамытылды. Саймон Стевиннің 16 ғасырда барлық сандардың ондық бейнелеуі бойынша жұмысы нақты континуумға негіз салды. Бонавентура Кавальеридің бөлінбейтіндер әдісі классикалық авторлардың нәтижелерін кеңейтуге әкелді. Бөлінбейтіндер әдісі геометриялық фигураларды 1-кодименсиялық элементтерден құралған деп қарастырды. Джон Уоллистің шексіз кішкентайлары бөлінбейтіндерден ерекшеленді, өйткені ол геометриялық фигураларды фигурамен бірдей өлшемді шексіз жұқа құрылыс блоктарына бөлді, бұл интегралды есептеудің жалпы әдістеріне негіз салды. Ол ауданды есептеуде 1/∞ деп белгіленетін шексіз кішкентай шаманы пайдаланды. Лейбництің шексіз кішкентайларды қолдануы үздіксіздік заңы сияқты эвристикалық қағидаларға негізделген: шекті сандар үшін табысты болған нәрсе шексіз сандар үшін де табысты болады және керісінше; және тағайындалмайтын сандарды қамтитын өрнектерді тек тағайындалатындарды қамтитын өрнектермен ауыстыру процедураларын анықтайтын гомогендіктің трансценденттік заңы. 18 ғасырда Леонхард Эйлер мен Жозеф Луи Лагранж сияқты математиктер шексіз кішкентай сандарды жиі қолданды. Аугустин Луи Коши өзінің Cours d'Analyse-де үздіксіздікті анықтауда да, Дирак дельта функциясының ерте формасын анықтауда да шексіз кішкентай сандарды пайдаланды. Кантор мен Дедекинд Стивен континуумінің абстрактілірек нұсқаларын дамытып жатқанда, Пол дю Буа Реймонд функцияның өсу қарқынына негізделген шексіз байытылған континуум туралы бірқатар мақалалар жазды. Дю Боис Реймондтың жұмысы Эмиль Борель мен Торальф Сколемге...
In mathematics, an infinitesimal number is a quantity that is closer to 0 than what any standard non zero real number is, but is not 0. The word infinitesimal comes from a 17th century Modern Latin coinage infinitesimus, which originally referred to the "infinity th" item in a sequence. Infinitesimals do not exist in the standard real number system, but they do exist in other number systems, such as the surreal number system and the hyperreal number system, which can be thought of as the real numbers augmented with both infinitesimal and infinite quantities; the augmentations are the reciprocals of one another. Infinitesimal numbers were introduced in the development of calculus, in which the derivative was first conceived as a ratio of two infinitesimal quantities. This definition was not rigorously formalized. As calculus developed further, infinitesimals were replaced by limits, which can be calculated using the standard real numbers. Infinitesimals regained popularity in the 20th century with Abraham Robinson's development of nonstandard analysis and the hyperreal numbers, which, after centuries of controversy, showed that a formal treatment of infinitesimal calculus was possible. Following this, mathematicians developed surreal numbers, a related formalization of infinite and infinitesimal numbers that include both hyperreal cardinal and ordinal numbers, which is the largest ordered field. Vladimir Arnold wrote in 1990:
The crucial insight for making infinitesimals feasible mathematical entities was that they could still retain certain properties such as angle or slope, even if these entities were infinitely small. Infinitesimals are a basic ingredient in calculus as developed by Leibniz, including the law of continuity and the transcendental law of homogeneity. In common speech, an infinitesimal object is an object that is smaller than any feasible measurement, but not zero in size—or, so small that it cannot be distinguished from zero by any available means. Hence, when used as an adjective in mathematics, infinitesimal means infinitely small, smaller than any standard real number. Infinitesimals are often compared to other infinitesimals of similar size, as in examining the derivative of a function. An infinite number of infinitesimals are summed to calculate an integral. The concept of infinitesimals was originally introduced around 1670 by either Nicolaus Mercator or Gottfried Wilhelm Leibniz. Archimedes used what eventually came to be known as the method of indivisibles in his work The Method of Mechanical Theorems to find areas of regions and volumes of solids. In his formal published treatises, Archimedes solved the same problem using the method of exhaustion. The 15th century saw the work of Nicholas of Cusa, further developed in the 17th century by Johannes Kepler, in particular, the calculation of the area of a circle by representing the latter as an infinite sided polygon. Simon Stevin's work on the decimal representation of all numbers in the 16th century prepared the ground for the real continuum. Bonaventura Cavalieri's method of indivisibles led to an extension of the results of the classical authors. The method of indivisibles related to geometrical figures as being composed of entities of codimension 1. John Wallis's infinitesimals differed from indivisibles in that he would decompose geometrical figures into infinitely thin building blocks of the same dimension as the figure, preparing the ground for general methods of the integral calculus. He exploited an infinitesimal denoted 1/∞ in area calculations. The use of infinitesimals by Leibniz relied upon heuristic principles, such as the law of continuity: what succeeds for the finite numbers succeeds also for the infinite numbers and vice versa; and the transcendental law of homogeneity that specifies procedures for replacing expressions involving unassignable quantities, by expressions involving only assignable ones. The 18th century saw routine use of infinitesimals by mathematicians such as Leonhard Euler and Joseph Louis Lagrange. Augustin Louis Cauchy exploited infinitesimals both in defining continuity in his Cours d'Analyse, and in defining an early form of a Dirac delta function. As Cantor and Dedekind were developing more abstract versions of Stevin's continuum, Paul du Bois Reymond wrote a series of papers on infinitesimal enriched continua based on growth rates of functions. Du Bois Reymond's work inspired both Émile Borel and Thoralf Skolem. Borel explicitly linked du Bois Reymond's work to Cauchy's work on rates of growth of infinitesimals. Skolem developed the first non standard models of arithmetic in 1934. A mathematical implementation of both the law of continuity and infinitesimals was achieved by Abraham Robinson in 1961, who developed nonstandard analysis based on earlier work by Edwin Hewitt in 1948 and Jerzy Łoś in 1955. The hyperreals implement an infinitesimal enriched continuum and the transfer principle implements Leibniz's law of continuity. The standard part function implements Fermat's adequality.
Инфинитезмальдың тарихы
Элеалық мектеп шексіз шағын сандар туралы түсінікті талқылаған. Грек математигі Архимед (б.з.д. 287 – б.з.д. 212), «Механикалық теоремалар әдісі» еңбегінде, ең алғаш рет шексіз шағын сандардың логикалық тұрғыдан қатаң анықтамасын ұсынды. Оның Архимедтік қасиеті x санын, егер ол белгілі шарттарды қанағаттандырса, шексіз деп анықтайды, ал x ≠ 0 болса, шексіз кіші және x үшін, сондай-ақ оң бүтін сандардың кері шамалары үшін ұқсас шарттар жиынтығы орындалса, шексіз кіші деп есептеледі. Сандық жүйеде шексіз немесе шексіз кіші мүшелер болмаса, ол Архимедтік деп аталады. Ағылшын математигі Джон Уоллис 1655 жылғы «Коникалық қималар туралы трактат» кітабында 1/∞ өрнегін енгізді. ∞-ның кері шамасын білдіретін символ – математикалық ұғымдағы шексіз кішілікті бейнелейді. «Коникалық қималар туралы трактатында» Уоллис сондай-ақ өзі енгізген шексіз кіші 1/∞ символы мен ∞ символын енгізген шексіздік ұғымы арасындағы қарым-қатынас туралы түсінікті талқылайды. Бұл тұжырымдама шекті ауданды құру үшін шексіз көптеген шексіз енді параллелограммдарды қосу туралы ой-эксперимент ұсынады. Бұл тұжырымдама интегралдық есептеуде қолданылатын интегралдың қазіргі заманғы әдісінің алдағы түрі болды. Шексіз кіші 1/∞ ұғымының тұжырымдық бастауы грек философы Элеалық Зенонға дейін жетеді, оның Зенонның дихотомиялық парадоксы – шекті аралық пен шексіз кішкентай аралыққа жақындаған аралық арасындағы қарым-қатынасты қарастырған алғашқы математикалық ұғым болды. Шексіз кішілер 17 ғасыр Еуропасындағы саяси және діни даулардың нысаны болды, соның ішінде 1632 жылы Римдегі дін қызметкерлері шексіз кішілерге тыйым салды. Есептеудің пайда болуына дейін математиктер Пьер де Ферманың теңдік әдісі және Рене Декарттың нормальдер әдісін қолдана отырып, жанама сызықтарды есептей алды. Ғалымдар арасында бұл әдістің шексіз кіші немесе алгебралық болғаны туралы пікірталас бар. Ньютон мен Лейбниц есептеуді ойлап тапқанда, олар шексіз кішілерді, Ньютонның ағымдарын және Лейбництің дифференциалдарын пайдаланды. Епископ Беркли өзінің «Аналитик» еңбегінде шексіз кішілерді қолдануды дұрыс емес деп сынады. Математиктер, ғалымдар және инженерлер дұрыс нәтижелер алу үшін шексіз кішілерді қолдануды жалғастырды. 19 ғасырдың екінші жартысында есептеуді Огустин Луи Коши, Бернард Болцано, Карл Вейерштрасс, Кантор, Дедекинд және басқалар лимит пен жиын теориясының (ε, δ) анықтамасын қолдана отырып қайта тұжырымдады. Кантор, Дедекинд және Вейерштрасс ізбасарлары талдаудан шексіз кішілерді жоюға тырысты, ал Бертран Рассел және Рудольф Карнап сияқты философиялық одақтастары шексіз кішілерді жалған ұғымдар деп жариялады, ал Герман Коэн және оның Марбург мектебі неокантиандықтары шексіз кішілердің жұмыс істейтін логикасын әзірлеуге тырысты. Филип Эрлих (2006) жазғандай, 19 ғасырдың соңы мен 20 ғасырдың басында Леви-Чивита, Джузеппе Веронезе, Поль дю Буа Реймонд және басқалардың еңбектері арқылы шексіз кішілерді қамтитын жүйелерді математикалық зерттеу жалғасты. 20 ғасырда шексіз кішілер есептеу мен талдаудың негізі ретінде қызмет ете алатыны анықталды (гиперреаль сандарды қараңыз).
Лоран сериясы
Жоғарыдағы 1-санаттың мысалы – шекті сандағы теріс дәрежелі мүшелері бар Лоран қатарларының өрісі. Мысалы, тек 1 тұрақты мүшесінен тұратын Лоран қатары 1 нақты санымен сәйкестендіріледі, ал тек x сызықтық мүшесі бар қатар ең қарапайым инфинитезималь ретінде қарастырылады, одан басқа инфинитезимальдар құрастырылады. Сөздік тәртіп қолданылады, бұл x-тің жоғары дәрежелерін төменгі дәрежелерге қарағанда мардымсыз деп санауға тең. Дэвид О. Талл бұл жүйені «суперреалдар» деп атайды, оны Дейлс пен Вуддиннің суперреалдық сандар жүйесімен шатастыруға болмайды. Тейлор қатары Лоран қатарын аргумент ретінде қолданғанда да Лоран қатары болып қалатындықтан, егер олар аналитикалық болса, бұл жүйені трансценденттік функциялармен жұмыс істеуге болады. Бұл инфинитезимальдар нақты сандардан өзгеше бірінші реттік қасиеттерге ие, себебі, мысалы, негізгі инфинитезималь x-тің квадрат түбірі жоқ.
Леви-Сивита өрісі
Леви-Чивита өрісі Лоран қатарына ұқсас, бірақ алгебралық тұрғыдан жабық. Мысалы, негізгі инфинитезимальдық x-тің квадрат түбірі болады. Бұл өріс жеткілікті бай, сондықтан көптеген талдаулар жүргізуге мүмкіндік береді, бірақ оның элементтерін компьютерде нақты сандарды қозғалатын нүктеде көрсетуге болатындай етіп көрсетуге болады.
Транссериялар
Транссериялар өрісі Леви-Чивита өрісінен кеңірек. Транссерияның мысалы:
мұнда реттеу үшін x шексіз деп есептеледі.
Нақты емес сандар
Конвейдің сюрреалистік сандары 2-санатқа жатады, бірақ сюрреалистік сандар жиын емес, дерлік сыныпты құрайды. Олар сандардың әртүрлі мөлшерлерінде мүмкіндігінше толық болу үшін жасалған жүйе, бірақ әрбір реттелген өріс сюрреалистік сандардың ішкі өрісі болып табылады деген мағынада, талдау жүргізуге қолайлы болуы міндетті емес. Сюрреалистік сандарға экспоненциалдық функцияның табиғи кеңейтімі бар.
Гиперреалдар
Бескеңестіліктерді өңдеудің ең кең таралған әдісі - 1960 жылдары Абрахам Робинсон әзірлеген гиперреалдар. Олар жоғарыда көрсетілген 3-санатқа жатады, себебі олар классикалық анализдің барлық ережелерін нақты сандардан көшіру үшін осылай құрастырылған. Барлық қатынастарды табиғи түрде көшіруге мүмкіндік беретін бұл қасиет 1955 жылы Ежи Лось дәлелдеген трансфер принципі деп аталады. Мысалы, трансценденттік функция sin-нің табиғи аналогы *sin бар, ол гиперреалдық мәнді қабылдап, гиперреалдық мәнді шығарады, және осылайша, натурал сандар жиынының табиғи аналогы бар, ол шекті және шексіз бүтін сандарды қамтиды. Мәселен, теңдеу гиперреалдарға мына түрде көшеді .
Суперреалдар
Дейл мен Вуддиннің суперреалдық сандар жүйесі гиперреалдық сандардың кеңейтілген түрі болып табылады. Ол Дэвид Талл анықтаған суперреалдық жүйеден ерекшеленеді.
Екі сан
Сызықтық алгебрада, қос сандар нақты сандарды бірдей шексіз кішкентай элементті, жаңа элемент ε-ні қосу арқылы кеңейтеді, онда ε2 = 0 қасиеті бар (яғни ε – нөлдік). Кез келген қос сан z = a + bε түрінде жазылады, мұнда a және b – бірегей анықталған нақты сандар. Қос сандардың бір қолданылуы – автоматты дифференциациялау. Бұл қолданылу n өлшемді векторлық кеңістіктің сыртқы алгебрасын қолдана отырып, n айнымалыдағы көпмүшелерге жалпылауға болады.
Түзсіз шексіз шағын талдау
Синтетикалық дифференциалдық геометрия немесе тегіс шексіз шағын талдау санаттар теориясында бастау алады. Бұл тәсіл дәстүрлі математикада қолданылатын классикалық логикадан өзгеше болып, шеттестірілген үшінші заңның жалпы қолданылуын жоққа шығарады – яғни, (a ≠ b) емес, міндетті түрде a = b дегенді білдірмейді. Осылайша, nilsquare немесе nilpotent шексіз шағын анықталуы мүмкін. Бұл x саны, онда x² = 0 дұрыс, бірақ x = 0 бірден дұрыс болуы міндетті емес. Негізгі логика интуициялық логика болғандықтан, бұл жүйені 1, 2 және 3-сыныптарға қатысты жіктеу бірден анық емес. Алдымен осы сыныптардың интуициялық аналогтары жасалуы керек.
Дельта функциялары
Коши 1827 жылы жариялаған бірқатар мақалаларында бірлік импульсын жазу үшін шексіз кішілікті пайдаланды, бұл шексіз биік және тар Дирак дельта функциясы, қараңыз Лаугвиц (1989). Коши 1821 жылы (Cours d'Analyse) нөлге жақындайтын тізбек түрінде шексіз кішілікті анықтады. Яғни, мұндай нөлдік тізбек Коши мен Лазар Карно терминологиясында шексіз кішілікке айналады. Қазіргі жиындық теориялық тәсілдер ультракөлік құрылымы арқылы шексіз кішіліктерді анықтауға мүмкіндік береді, онда нөлдік тізбек сәйкес ультрафильтр арқылы анықталған қатынас бойынша эквиваленттік кластың модулі ретінде шексіз кішілікке айналады. Ямашитаның (2007) мақаласында гиперреалдармен кеңейтілген континуум контекстіндегі қазіргі Дирак дельта функцияларына қатысты библиографиялық мәліметтер келтірілген.
Оқытудағы шексіз кішіліктер
Инфиницемальдарға негізделген математикалық есептеулер оқулықтарына Сильван П. Томпсонның «Калкулусты жеңілдету» классикалық кітабы («Бір ақымақ істей алатынды, екінші де істей алады» деген ұраны бар) және Р. Нойендорфтың «Машина жасау өнеркәсібі үшін орта техникалық училищаларға арналған математика» неміс тіліндегі мәтіні кіреді. Авраам Робинсонның шексіз кішіліктеріне негізделген алғашқы еңбектерге Строянның (1972 жылдан бастап) және Говард Джером Кейслердің («Элементарлық калькулус: шексіз кішілік тәсілі») мәтіндері жатады. Студенттер 1 «0,999» түріндегі шексіз кіші айырмашылықтың интуитивті түсінігін оңай қабылдайды, мұнда «0,999» нақты сан 1 ретіндегі стандартты мағынасынан өзгеше, және 1-ден кіші болатын шексіз тоқтатылатын кеңейтілген ондық сан ретінде қайта түсіндіріледі. Робинсон дамытқан шексіз кішіліктер теориясын қолданатын тағы бір элементарлық есептеу кітабы – Хенле мен Клейнбергтің 1979 жылы жарық көрген «Инфинитезимальді калькулус». Авторлар бірінші реттік логиканың тілін енгізеді және гипернақты сандардың бірінші реттік моделін құруды көрсетеді. Кітап бір өлшемде интегралдық және дифференциалдық есептеудің негіздерімен, соның ішінде функциялардың тізбектері мен қатарларымен таныстырады. Қосымшада олар өздерінің моделін гипергипернақты сандарға кеңейтуді қарастырады және кеңейтілген модельдің кейбір қолданыстарын көрсетеді. Тегіс инфинитезимальді талдауға негізделген элементарлық есептеу кітабы – Bell, John L. (2008). «Инфинитезимальді талдаудың кіріспесі», 2-ші басылым. Кембридж университетінің баспасы. ISBN 9780521887182. Инфинитезимальдарды пайдаланатын жақында жарық көрген математикалық есептеу кітабы – Dawson, C. Bryan (2022), «Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue», Oxford University Press. ISBN 9780192895608.
Нөлге қарай бағытталған функциялар
"Бейнелі шағын" терминінің бастапқы анықтамасынан – шексіз кіші шама ретінде дамыған, бірақ сәл өзгеше, байланысты мағынада, бұл термин нөлге ұмтылатын функцияны көрсету үшін де қолданылады. Нақтырақ айтқанда, Лумис пен Стернбергтің "Жоғары дәрежелі есептеулер" (Advanced Calculus) еңбегінде шексіз шағын функциялар класы, , нормаланған векторлық кеңістіктер арасындағы функциялардың ішкі жиыны ретінде , арқылы анықталады, сондай-ақ екі байланысты класс (Үлкен О белгісін қараңыз) арқылы және . Жиынтықтардың кірігуі әдетте сақталады. Бұл кірігулердің толық еместігі нақты өзгермелі функциялардың мысалдарымен көрсетіледі: , , және : бірақ және . Осы анықтамаларды қолдану ретінде, нормаланған векторлық кеңістіктер арасындағы бейнелеу, егер [яғни, шектелген сызықтық түрлендірме] болса, нүктеде дифференциалданады деп анықталады. Егер мұндай түрлендірме болса, ол бірегей болады; бұл түрлендірме дифференциал деп аталады және , деп белгіленеді, бұл классикалық (бірақ логикалық тұрғыдан кемшіліктері бар) дифференциал ұғымының дәстүрлі белгісімен сәйкес келеді, яғни F-тің шексіз кішкентай "бөлігі". Бұл анықтама, Евклид кеңістіктерінің (ашық ішкі жиындарының) векторлық функциялары үшін дифференциалданудың әдеттегі анықтамасын жалпылайды.
Кездейсоқ айнымалылар массиві
Мүмкіндік кеңістігі болсын және кездейсоқ шамалар тізбегі, әрбір үшін келесідей болса, шексіз кішкентай деп аталады:
Шексіз кішкентай тізбек ұғымы кейбір орталық шектеу теоремаларында маңызды рөл атқарады. Күту операторының монотондығынан Линдеберг шартын қанағаттандыратын кез келген тізбек шексіз кішкентай екенін көру оңай, демек ол Линдебергтің орталық шектеу теоремасында (орталық шектеу теоремасының жалпылама түрі) маңызды рөл атқарады.