Математик әлемiндегi жарқын жұлдыз: Майкл Атия

Кіріспе

Британдық-ливандық математик (1929–2019)

Атия 1997 жылдан 2002 жылға дейін Ғылым және әлемдік мәселелер жөніндегі Пугаш конференциясының президенті болды. Ол сондай-ақ Халықаралық мәселелер жөніндегі академияаралық панельдің, Еуропа академиялары қауымдастығының (ALLEA) және Еуропа математикалық қоғамының (EMS) құрылуына үлес қосты. Ұлыбританияда ол Кембридждегі Исаак Ньютон математикалық ғылымдар институтын құруға қатысып, оның алғашқы директоры болды (1990–1996). Ол Корольдік қоғамның президенті (1990–1995), Кембридждегі Тринити колледжінің магистрі (1990–1997) болды. 1997 жылдан 2019 жылы қайтыс болғанға дейін Эдинбург университетінің құрметті профессоры қызметін атқарды. Ол Джеймс Клерк Максвелл қорының мүшесі болды. Атияның математикалық әріптестері Рауль Ботт, Фридрих Хирцебрук және Исадор Сингер болды, ал оның шәкірттері Грейм Сегал, Найджел Хичин, Саймон Дональдсон және Эдвард Виттен еді. Хирцебрухпен бірге ол алгебралық топологияның маңызды құралы – топологиялық K-теорияның негізін қалады, ол кеңістіктердің бұрылу мүмкіндіктерін сипаттайды. Оның ең танымал нәтижесі – Атия-Сингер индекстік теоремасы, ол 1963 жылы Сингермен бірге дәлелденді және дифференциалдық теңдеулердің тәуелсіз шешімдерінің санын есептеуде қолданылады. Оның кейінгі жұмыстарының бір бөлігі теориялық физикадан, атап айтқанда, кванттық өріс теориясындағы кейбір түзетулерге жауапты инстантондар мен монопольдерден шабыт алды. Ол 1966 жылы Филдс медалімен және 2004 жылы Абель сыйлығымен марапатталды.

Алгебралық геометрия (19521958)

Атияның алгебралық геометрияға арналған алғашқы еңбектері (және кейбір жалпы еңбектері) оның жинақталған еңбектерінің бірінші томында қайта басылған. Студент кезінде Атия классикалық проективті геометрияға қызығушылық танытып, өзінің алғашқы мақаласын жазды: бұрылған кубикалар туралы қысқа ескерту. Ол В. В. Д. Ходжтың жетекшілігімен зерттеу жұмыстарын бастады және 1954 жылғы Смит сыйлығын жеңіп алды, бұл оның математиканы жалғастыруына ықпал етті, архитектура мен археология сияқты басқа қызығушылықтарына ауысудың орнына. Ходжпен бірге докторлық диссертациясы алгебралық сорттардағы екінші түрдегі интегралдар теориясына қатысты Соломон Лефшецтің теориялық тәсіліне арналған, және ол Принстонның Жоғары оқу институтына бір жылға шақырылды. Принстонда ол эллиптік қисықтағы векторлық шоғырларды жіктеді (Александр Гротендиктің 0-туқымды қисықтағы векторлық шоғырларын жіктеуін кеңейте отырып), кез келген векторлық шоғырдың (негізінен бірегей) ыдырамайтын векторлық шоғырлардың қосындысы екенін көрсетті, содан кейін берілген дәрежедегі және оң өлшемді ыдырамайтын векторлық шоғырлар кеңістігін эллиптік қисықпен сәйкестендіруге болатынын көрсетті. Ол сондай-ақ беттердегі екі реттік нүктелерді зерттеді, бұл 3-бүктемелердің арнайы бирационалдық түрленуі, кейіннен Шигефуми Моридің 3-бүктемелердің минималды модельдері жөніндегі жұмысында кеңінен қолданылған. Атияның флопы K3 беттерінің әмбебап белгіленген отбасы Хаусдорф емес екенін көрсету үшін де қолданылуы мүмкін.

К-теориясы (1959-1974)

Атияның К теориясы бойынша еңбектері, оның ішінде К теориясы туралы кітабы, жинақталған еңбектерінің 2-томында қайта басылған. Векторлық бундельдің ең қарапайым тривиальды емес мысалы — Мёбиус жолағы (оң жақта суретте): шеңбер үстіндегі 1-дәрежелі векторлық бундельді бейнелейтін, бұралған қағаз жолағы (аталған шеңбер Мёбиус жолағының орта сызығы). К теориясы — бұл мысалдың жоғары өлшемді аналогтарымен жұмыс жасау құралы, яғни жоғары өлшемді бұрылыстарды сипаттау үшін: кеңістіктің К тобының элементтері оның үстіндегі векторлық бундельдермен бейнеленеді, сондықтан Мёбиус жолағы шеңбердің К тобының элементін көрсетеді. Топологиялық К теориясын Атия және Фридрих Хирцебрух ашқан, олар Гротендиктің Гротендик-Риман-Рох теоремасын дәлелдеуінен және Ботттың кезеңділік теоремасы бойынша жұмысынан шабыттанды. Бұл мақалада тек нөлдік К тобы талқыланды; олар оны көп ұзамай барлық дәрежедегі К топтарына кеңейтіп, жалпыланған кохомология теориясының алғашқы (тривиальды емес) мысалын берді. Бірнеше нәтиже жаңадан енгізілген К теориясы кейбір жағынан қарапайым кохомология теориясынан күштірек екенін көрсетті. Атия және Тодд К теориясын Джеймс саны үшін Борел және Серрдің қарапайым кохомологиясын пайдаланып табылған төменгі шектерді жақсарту үшін қолданды, бұл күрделі Стифель көптүрлілігінен сфераға дейінгі картаның қимасы болған кезде сипатталады. (Адамс және Грант Уокер кейіннен Атия және Тодд тапқан шекара ең жақсы екенін көрсетті.) Атия және Хирцебрух К теориясын Стинрод операциялары мен Тодд кластары арасындағы кейбір қатынастарды түсіндіру үшін пайдаланды, бұл Хирцебрух бірнеше жыл бұрын байқаған болатын. Дж. Ф. Адамстың Хопф инвариантты бірлік мәселесін шешуі өте ұзақ және күрделі болды, ол екіншілік кохомология операцияларын қолданды. Атия К теориясындағы негізгі операцияларды қолданып, бірнеше жол ғана алатын қысқа шешім беруге болатынын көрсетті, ал Адамспен бірлесіп жұмыс істеуде ол тақ алғашқы сандардағы нәтижеге ұқсас екенін дәлелдеді. Атия-Хирцебрух спектрлік тізбегі кеңістіктің қарапайым кохомологиясын оның жалпыланған кохомология теориясымен байланыстырады. Шекті топ G үшін оның жіктейтін кеңістігінің К теориясы, BG, оның таңбалық сақинасының толықтырылуына изоморфты: Сол жылы олар G үшін кез келген тығыз байланысқан Лай тобы үшін нәтижені дәлелдеді. Нәтиже Грэме Сигалдың диссертациясынан алынған нәтижелерді қосу арқылы барлық ықшам Лай топтарына таралуы мүмкін болса да, бұл кеңейту күрделі болды. Алайда, қарапайым және жалпы дәлелдеу эквивариантты К теориясын енгізу арқылы жасалды, яғни G векторлық бундельдерінің эквиваленттік сыныптары ықшам G кеңістігі X үстінде. Бұл жағдайда X-тің эквивариантты К теориясының толықтырылуы кеңістіктің қарапайым К теориясына изоморфты болып табылады, ол BG-ге X талшығымен өтеді: бастапқы нәтиже X нүктесін алу арқылы алынды: сол жақ R(G) және оң жақ K(BG) толықтырылуына дейін қысқартылды. Толығырақ ақпарат алу үшін Atiyah-Segal толықтыру теоремасына қараңыз. Ол бордизм және кобордизм деп аталатын жаңа жалпыланған гомология және комология теорияларын анықтады және Рене Том, К.Т.С. Уолл және басқалар тапқан көптүрлілік кобордизмі туралы терең нәтижелердің көбісі осы комология теориялары туралы мәлімдемелер ретінде қайта түсіндірілуі мүмкін екенін атап өтті. Осы кохомология теорияларының кейбіреулері, әсіресе күрделі кобордизм, белгілі ең күшті кохомология теорияларының бірі болып шықты. Ол шекті кешенді X-тің J тобы J(X) -ді енгізді, ол сфералық бундельдердің тұрақты талшық гомотопиясының баламалылық сыныптарының тобы ретінде анықталды; бұл кейіннен Дж. Ф. Адамс бірқатар мақалаларда егжей-тегжейлі зерттеді, бұл Адамс болжамдарына әкелді. Хирцебрухпен бірге ол Гротендик-Риман-Рох теоремасын күрделі аналитикалық ендірулерге дейін кеңейтті, олар интегралды кохомология үшін Ходж болжамының жалған екенін көрсетті. Рационалды кохомология үшін Ходж болжамы 2008 жылдан бастап шешілмеген үлкен мәселе болып табылады. Ботттың кезеңділік теоремасы Атияның К теориясы бойынша жұмысының негізгі тақырыбы болды және ол оған бірнеше рет қайта оралып, дәлелді бірнеше рет қайталап, оны жақсырақ түсіну үшін қайта қарады. Ол Боттпен бірге элементар дәлелді жасады және оның басқа нұсқасын өз кітабында берді. Ботт пен Шапиромен бірге ол Ботт кезеңділігінің Клиффорд алгебраларының кезеңділігімен байланысын талдады; бұл мақалада кезеңділік теоремасының дәлелі болмаса да, Р. Вуд көп ұзамай осыған ұқсас дәлелді тапты. Ол эллиптикалық операторларды пайдаланып бірнеше жалпыламалардың дәлелін тапты; бұл жаңа дәлел оның Ботттың бастапқы кезеңділік теоремасының әсіресе қысқа және оңай дәлелін беру үшін қолданған идеясын пайдаланды.

Atiyah's works on K theory, including his book on K theory are reprinted in volume 2 of his collected works. The simplest nontrivial example of a vector bundle is the Möbius band (pictured on the right): a strip of paper with a twist in it, which represents a rank 1 vector bundle over a circle (the circle in question being the centerline of the Möbius band). K theory is a tool for working with higher dimensional analogues of this example, or in other words for describing higher dimensional twistings: elements of the K group of a space are represented by vector bundles over it, so the Möbius band represents an element of the K group of a circle. Topological K theory was discovered by Atiyah and Friedrich Hirzebruch who were inspired by Grothendieck's proof of the Grothendieck–Riemann–Roch theorem and Bott's work on the periodicity theorem. This paper only discussed the zeroth K group; they shortly after extended it to K groups of all degrees, giving the first (nontrivial) example of a generalized cohomology theory. Several results showed that the newly introduced K theory was in some ways more powerful than ordinary cohomology theory. Atiyah and Todd used K theory to improve the lower bounds found using ordinary cohomology by Borel and Serre for the James number, describing when a map from a complex Stiefel manifold to a sphere has a cross section. (Adams and Grant Walker later showed that the bound found by Atiyah and Todd was best possible.) Atiyah and Hirzebruch used K theory to explain some relations between Steenrod operations and Todd classes that Hirzebruch had noticed a few years before. The original solution of the Hopf invariant one problem operations by J. F. Adams was very long and complicated, using secondary cohomology operations. Atiyah showed how primary operations in K theory could be used to give a short solution taking only a few lines, and in joint work with Adams also proved analogues of the result at odd primes. The Atiyah–Hirzebruch spectral sequence relates the ordinary cohomology of a space to its generalized cohomology theory. that for a finite group G, the K theory of its classifying space, BG, is isomorphic to the completion of its character ring:

The same year they proved the result for G any compact connected Lie group. Although soon the result could be extended to all compact Lie groups by incorporating results from Graeme Segal's thesis, that extension was complicated. However a simpler and more general proof was produced by introducing equivariant K theory, i. e. equivalence classes of G vector bundles over a compact G space X. It was shown that under suitable conditions the completion of the equivariant K theory of X is isomorphic to the ordinary K theory of a space, , which fibred over BG with fibre X:

The original result then followed as a corollary by taking X to be a point: the left hand side reduced to the completion of R(G) and the right to K(BG). See Atiyah–Segal completion theorem for more details. He defined new generalized homology and cohomology theories called bordism and cobordism, and pointed out that many of the deep results on cobordism of manifolds found by René Thom, C. T. C. Wall, and others could be naturally reinterpreted as statements about these cohomology theories. Some of these cohomology theories, in particular complex cobordism, turned out to be some of the most powerful cohomology theories known. He introduced the J group J(X) of a finite complex X, defined as the group of stable fiber homotopy equivalence classes of sphere bundles; this was later studied in detail by J. F. Adams in a series of papers, leading to the Adams conjecture. With Hirzebruch he extended the Grothendieck–Riemann–Roch theorem to complex analytic embeddings, they showed that the Hodge conjecture for integral cohomology is false. The Hodge conjecture for rational cohomology is, as of 2008, a major unsolved problem. The Bott periodicity theorem was a central theme in Atiyah's work on K theory, and he repeatedly returned to it, reworking the proof several times to understand it better. With Bott he worked out an elementary proof, and gave another version of it in his book. With Bott and Shapiro he analysed the relation of Bott periodicity to the periodicity of Clifford algebras; although this paper did not have a proof of the periodicity theorem, a proof along similar lines was shortly afterwards found by R. Wood. He found a proof of several generalizations using elliptic operators; this new proof used an idea that he used to give a particularly short and easy proof of Bott's original periodicity theorem.

Индекс теориясы (1963-1984)

Атияның индекс теориясы бойынша еңбектері оның жинақталған еңбектерінің 3 және 4-томдарында қайта басылған. Дифференциалдық оператордың индексі тәуелсіз шешімдердің санымен тығыз байланысты (дәлірек айтқанда, ол дифференциалдық оператор мен оның қосымша операторының тәуелсіз шешімдері сандарының айырмасы). Математикадағы көптеген қиын және негізгі проблемалар бар, оларды дифференциалдық оператордың тәуелсіз шешімдерінің санын табу проблемасына оңай келтіруге болады. Сондықтан, егер дифференциалдық оператордың индексін табуға мүмкіндік болса, осы проблемаларды жиі шешуге болады. Атия-Сингер индекс теоремасы осылай жұмыс істейді: ол белгілі бір дифференциалдық операторлардың индексі үшін формула береді, ол топологиялық инварианттар арқылы беріледі, олар өте күрделі көрінеді, бірақ практикада әдетте есептеу оңай. Бірнеше терең теоремалар, мысалы, Хирцебрух-Риман-Рох теоремасы, Атия-Сингер индекс теоремасының ерекше жағдайлары болып табылады. Шындығында, индекс теоремасы күшті нәтиже берді, өйткені оның дәлелі барлық тығыз күрделі көптүрліліктерге қатысты, ал Хирцебрухтың дәлелі тек проективті көптүрліліктер үшін ғана жұмыс істеді. Сондай-ақ көптеген жаңа қолданыстар болды: мысалы, инстантонның модульдік кеңістіктерінің өлшемдерін есептеу. Индекс теоремасын «кері» де қолдануға болады: индекс, әрине, бүтін сан, сондықтан оның формуласы да бүтін санды беруі керек, бұл кейде көптүрліліктердің инварианттарына қатысты нақты интегралдық шарттарды береді. Бұған мысал ретінде индекс теоремасынан туындайтын Рохлин теоремасын келтіруге болады. Эллипстік дифференциалдық операторлар үшін индекс проблемасын 1959 жылы Гельфанд қойған. Ол индекстің гомотопиялық инварианттығын байқады және оны топологиялық инварианттар арқылы табуға болатын формула іздеді. Кейбір ынталандыратын мысалдарға Риман-Рох теоремасы және оның жалпылануы, Хирцебрух-Риман-Рох теоремасы және Хирцебрухтың қолтаңба теоремасы кірді. Хирцебрух пен Борель спиндік көптүрліліктің Â туысының интегралдығын дәлелдеді, ал Атия бұл интегралдылықты Дирак операторының индексі ретінде түсіндіруге болады деп ұсынды (ол 1961 жылы Атия мен Сингер қайта тапқан). Атия-Сингер теоремасының алғашқы жариялануы олардың 1963 жылғы мақаласында болды. Бұл хабарламада келтірілген дәлелдеме Хирцебрухтың Хирцебрух-Риман-Рох теоремасының дәлелімен шабыттандырылды және олар ешқашан жарияламады, бірақ ол Палас кітабында сипатталған. Олардың алғашқы жарияланған дәлелі Гротендиктің Гротендик-Риман-Рох теоремасының дәлеліне көбірек ұқсас болды, олар бірінші дәлелдің кобордизм теориясын К-теориямен алмастырды және олар бұл тәсілді 1968 жылдан 1971 жылға дейінгі бірқатар мақалаларда әртүрлі жалпыламалардың дәлелдемелерін беру үшін қолданды. Тек бір эллипстік оператордың орнына, Y кеңістігімен параметрленген эллипстік операторлар отбасын қарастыруға болады. Бұл жағдайда индекс Y-дің K-теориясының элементі болып табылады, бүтін сан емес. Егер отбасындағы операторлар нақты болса, онда индекс Y-дің нақты K-теориясында жатыр. Бұл қосымша ақпарат береді, өйткені Y-дің нақты K-теориясынан күрделі K-теориясына дейінгі карта әрқашан инъективті бола бермейді. Боттпен бірге Атия эллипстік операторлар үшін Лефшецтің тұрақты нүктелік формуласының аналогын тапты, бұл эллипстік кешеннің эндоморфизміне Лефшец санын эндоморфизмнің тұрақты нүктелерінің қосындысы ретінде береді. Олардың формуласына ерекше жағдайлар ретінде Вейлдің мінездемелік формуласы және күрделі көбейтумен эллипстік қисықтар туралы бірнеше жаңа нәтижелер кірді, олардың кейбіреулеріне сарапшылар бастапқыда сенбеді. Атия мен Сегал осы тұрақты нүкте теоремасын индекс теоремасымен келесідей біріктірді. Егер компактты көптүрлі X-те топ G-дің компактты топтық әрекеті болса, эллипстік оператормен ауысып, онда индекс теоремасындағы қарапайым K-теориясын эквивариантты K-теориясымен алмастыруға болады. Тривиалды топтар үшін G бұл индекс теоремасын береді, ал шекті топ G оқшауланған тұрақты нүктелермен әрекет етсе, Атия-Ботт тұрақты нүкте теоремасын береді. Жалпы алғанда, ол индексті G тобының тұрақты нүктелік субкөптүрліліктерінің қосындысы ретінде береді. Атия Хёрманде және Гельфанд тәуелсіз түрде қойған мәселені шешті, аналитикалық функциялардың күрделі күштерінің үлестірілімдерді анықтайтыны туралы. Атия Хиронаканың сингулярлықтарды шешу әдісін қолдана отырып, осы сұраққа оң жауап берді. Бір уақытта Ж. Бернштейн тапқыр және қарапайым шешім тапты, оны Атия да талқылады. Эквивариантты индекс теоремасын қолдана отырып, Атия мен Хирцебрух шеңберлік әрекеттері бар көптүрліліктердің Â туысы жоқ екенін көрсетті. (Лихнерович оң скалярлық қисықтығы бар көптүрліліктің Â туысы жоқ екенін көрсетті.) Элмер Риспен бірге Атия проективті кеңістіктегі топологиялық және голоморфты векторлық шоқтардың арақатынасын зерттеді. Олар ең жақсы белгісіз жағдайды шешті, проективті 3 кеңістігіндегі барлық 2 ранктік векторлық шоқтардың голоморфтық құрылымы бар екенін көрсетті. Хоррокс бұрыннан осындай векторлық шоқтардың кейбір емес мысалдарын тапқан, оларды кейінірек Атия 4 сферасындағы инстантонды зерттеуде қолданды. Атия, Ботт және Виджай К. Патоди жылу теңдеуін пайдаланып индекс теоремасының жаңа дәлелін берді. Егер көптүрлілік шекараға ие болса, онда эллипстік оператордың индексі шектеулі болуын қамтамасыз ету үшін оператор доменіне кейбір шектеулер қою қажет. Бұл шарттар жергілікті болуы мүмкін (мысалы, домендегі бөлімдер шекарада жоғалып кететінін талап ету) немесе күрделі жаһандық шарттар (мысалы, домендегі бөлімдер кейбір дифференциалдық теңдеуді шешетінін талап ету). Жергілікті жағдай Атия мен Боттпен зерттелді, бірақ олар көптеген қызықты операторлардың (мысалы, қолтаңба операторы) жергілікті шекаралық шарттарға ие емес екенін көрсетті. Бұл операторларды басқару үшін Атия, Патоди және Сингер көптүрлілікке шекара бойымен цилиндрді қосып, содан кейін доменді цилиндр бойымен квадраттық интегралданатын бөлімдермен шектеуге баламалы жаһандық шекаралық шарттарды енгізді және сонымен қатар Атия-Патоди-Сингер эта инвариантын енгізді. Бұл спектралды асимметрия туралы бірқатар мақалаларға әкелді, олар кейінірек теориялық физикада, әсіресе Виттеннің аномалиялар туралы жұмысында күтпеген жерде қолданылды. Сызықтық гиперболалық дербес дифференциалдық теңдеулердің фундаментальды шешімдерінің жиі Петровскийдің бос кеңістіктері бар: олардың бірдей жоғалып кететін аймақтары. Бұл 1945 жылы И.Г. Петровский зерттеді, ол қай аймақтар бос екенін сипаттайтын топологиялық шарттарды тапты. Ботт пен Ларс Гардингпен бірлесіп, Атия Петровскийдің жұмысын жаңарту және жалпылауға арналған үш мақала жазды. Атия дискрет топпен әрекет ететін және ықшам бөліндіге ие болған кейбір ықшам емес көптүрліліктерге индекс теоремасын қалай кеңейтуге болатынын көрсетті. Бұл жағдайда эллипстік оператордың ядросы әдетте шексіз өлшемді, бірақ фон Нейман алгебрасының модулінің өлшемі арқылы шектеулі индекс алуға болады; бұл индекс әдетте нақты сан болып табылады, бүтін сан емес. Бұл нұсқа L2 индекс теоремасы деп аталады және Атия мен Шмид жартылай қарапайым Ли тобының дискретті қатарлық өкілдіктерін құру үшін квадраттық интегралданатын гармоникалық спинорларды пайдаланды. Бұл жұмыстың барысында олар Ли тобының мінездемелерінің жергілікті интегралдығы туралы Хариш-Чандраның негізгі теоремасының қарапайым дәлелін тапты. Х. Доннелли және И. Сингермен бірге ол Хирцебрухтың формуласын (Хилберт модулдік беттерінің төбелеріндегі қолтаңба дефектін L функцияларының мәндерімен байланыстыратын) нақты квадраттық өрістерден барлық толыққанды нақты өрістерге кеңейтті.

Atiyah's work on index theory is reprinted in volumes 3 and 4 of his collected works. The index of a differential operator is closely related to the number of independent solutions (more precisely, it is the differences of the numbers of independent solutions of the differential operator and its adjoint). There are many hard and fundamental problems in mathematics that can easily be reduced to the problem of finding the number of independent solutions of some differential operator, so if one has some means of finding the index of a differential operator these problems can often be solved. This is what the Atiyah–Singer index theorem does: it gives a formula for the index of certain differential operators, in terms of topological invariants that look quite complicated but are in practice usually straightforward to calculate. Several deep theorems, such as the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, are special cases of the Atiyah–Singer index theorem. In fact the index theorem gave a more powerful result, because its proof applied to all compact complex manifolds, while Hirzebruch's proof only worked for projective manifolds. There were also many new applications: a typical one is calculating the dimensions of the moduli spaces of instantons. The index theorem can also be run "in reverse": the index is obviously an integer, so the formula for it must also give an integer, which sometimes gives subtle integrality conditions on invariants of manifolds. A typical example of this is Rochlin's theorem, which follows from the index theorem. The index problem for elliptic differential operators was posed in 1959 by Gel'fand. He noticed the homotopy invariance of the index, and asked for a formula for it by means of topological invariants. Some of the motivating examples included the Riemann–Roch theorem and its generalization the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, and the Hirzebruch signature theorem. Hirzebruch and Borel had proved the integrality of the Â genus of a spin manifold, and Atiyah suggested that this integrality could be explained if it were the index of the Dirac operator (which was rediscovered by Atiyah and Singer in 1961). The first announcement of the Atiyah–Singer theorem was their 1963 paper. The proof sketched in this announcement was inspired by Hirzebruch's proof of the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem and was never published by them, though it is described in the book by Palais. Their first published proof was more similar to Grothendieck's proof of the Grothendieck–Riemann–Roch theorem, replacing the cobordism theory of the first proof with K theory, and they used this approach to give proofs of various generalizations in a sequence of papers from 1968 to 1971. Instead of just one elliptic operator, one can consider a family of elliptic operators parameterized by some space Y. In this case the index is an element of the K theory of Y, rather than an integer. If the operators in the family are real, then the index lies in the real K theory of Y. This gives a little extra information, as the map from the real K theory of Y to the complex K theory is not always injective. With Bott, Atiyah found an analogue of the Lefschetz fixed point formula for elliptic operators, giving the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex in terms of a sum over the fixed points of the endomorphism. As special cases their formula included the Weyl character formula, and several new results about elliptic curves with complex multiplication, some of which were initially disbelieved by experts. Atiyah and Segal combined this fixed point theorem with the index theorem as follows. If there is a compact group action of a group G on the compact manifold X, commuting with the elliptic operator, then one can replace ordinary K theory in the index theorem with equivariant K theory. For trivial groups G this gives the index theorem, and for a finite group G acting with isolated fixed points it gives the Atiyah–Bott fixed point theorem. In general it gives the index as a sum over fixed point submanifolds of the group G.

Atiyah solved a problem asked independently by Hörmander and Gel'fand, about whether complex powers of analytic functions define distributions. Atiyah used Hironaka's resolution of singularities to answer this affirmatively. An ingenious and elementary solution was found at about the same time by J. Bernstein, and discussed by Atiyah. As an application of the equivariant index theorem, Atiyah and Hirzebruch showed that manifolds with effective circle actions have vanishing Â genus. (Lichnerowicz showed that if a manifold has a metric of positive scalar curvature then the Â genus vanishes.) With Elmer Rees, Atiyah studied the problem of the relation between topological and holomorphic vector bundles on projective space. They solved the simplest unknown case, by showing that all rank 2 vector bundles over projective 3 space have a holomorphic structure. Horrocks had previously found some non trivial examples of such vector bundles, which were later used by Atiyah in his study of instantons on the 4 sphere. Atiyah, Bott and Vijay K. Patodi gave a new proof of the index theorem using the heat equation. If the manifold is allowed to have boundary, then some restrictions must be put on the domain of the elliptic operator in order to ensure a finite index. These conditions can be local (like demanding that the sections in the domain vanish at the boundary) or more complicated global conditions (like requiring that the sections in the domain solve some differential equation). The local case was worked out by Atiyah and Bott, but they showed that many interesting operators (e. g., the signature operator) do not admit local boundary conditions. To handle these operators, Atiyah, Patodi and Singer introduced global boundary conditions equivalent to attaching a cylinder to the manifold along the boundary and then restricting the domain to those sections that are square integrable along the cylinder, and also introduced the Atiyah–Patodi–Singer eta invariant. This resulted in a series of papers on spectral asymmetry, which were later unexpectedly used in theoretical physics, in particular in Witten's work on anomalies. The fundamental solutions of linear hyperbolic partial differential equations often have Petrovsky lacunas: regions where they vanish identically. These were studied in 1945 by I. G. Petrovsky, who found topological conditions describing which regions were lacunas. In collaboration with Bott and Lars Gårding, Atiyah wrote three papers updating and generalizing Petrovsky's work. Atiyah showed how to extend the index theorem to some non compact manifolds, acted on by a discrete group with compact quotient. The kernel of the elliptic operator is in general infinite dimensional in this case, but it is possible to get a finite index using the dimension of a module over a von Neumann algebra; this index is in general real rather than integer valued. This version is called the L2 index theorem, and was used by Atiyah and Schmid to give a geometric construction, using square integrable harmonic spinors, of Harish Chandra's discrete series representations of semisimple Lie groups. In the course of this work they found a more elementary proof of Harish Chandra's fundamental theorem on the local integrability of characters of Lie groups. With H. Donnelly and I. Singer, he extended Hirzebruch's formula (relating the signature defect at cusps of Hilbert modular surfaces to values of L functions) from real quadratic fields to all totally real fields.

Гаузерлік теория (1977-1985)

Оның өлшегіш теориясы және осыған байланысты тақырыптар туралы көптеген еңбектері жинақталған еңбектерінің 5-томында басылып шығарылған. Бұл еңбектердің ортақ тақырыбы - белгілі бір сызықтық емес бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің, әсіресе инстантондар мен монопольдар үшін теңдеулердің модульдік кеңістіктерін зерттеу. Бұл көбінесе екі түрлі болып көрінетін теңдеудің шешімдері арасында нәзік сәйкестікті табуды қамтиды. Атияның бірнеше рет қолданған алғашқы мысалы - Пенроуз түрлендіруі, ол кейде нақты көптүрліліктегі сызықтық емес теңдеудің шешімдерін басқа күрделі көптүрліліктегі сызықтық голоморфтық теңдеулердің шешімдеріне айналдыра алады. Бірнеше авторлармен бірге жазған мақалалар сериясында Атия 4 өлшемді Евклид кеңістігіндегі барлық инстантондарды жіктеді. Сферадағы инстантондарды жіктеу ыңғайлы, өйткені бұл компактты, және бұл негізінен Евклид кеңістігіндегі инстантондарды жіктеуге тең, өйткені бұл шарға сәйкес келеді және инстантондар үшін теңдеулер конформды инвариант болып табылады. Хичин мен Сингермен бірге ол 4 өлшемді Риманн көптүрлілігі бар кез келген негізгі бундель үшін азайтылмас өзіндік қос байланыстардың (инстантон) модульдік кеңістігінің өлшемін есептеп шығарды (Атия–Хичин–Сингер теоремасы). Мысалы, k>0 дәрежелі SU2 инстантон кеңістігінің өлшемдері 8k-3 болып табылады. Мұны істеу үшін олар Атия–Сингер индекс теоремасын модульдік кеңістіктің тангенстік кеңістігінің өлшемін есептеу үшін пайдаланды; тангенстік кеңістік - эллиптік дифференциалдық оператордың шешімдерінің кеңістігі, оны сызықтық емес Янг–Миллс теңдеулерінің сызықтықтандырылуы береді. Бұл модульдік кеңістіктерді кейіннен Дональдсон 4 көптүрлілік инварианттарын құру үшін қолданды. Атия мен Уорд Пенроуз сәйкестігін 4 сферадағы барлық инстантондардың жіктелуін алгебралық геометриядағы мәселеге дейін азайту үшін қолданды. Хитчинмен бірге ол осы мәселені шешу үшін Хоррокстың идеяларын пайдаланып, шардағы барлық инстантондардың ADHM құрылымын берді; Манин мен Дринфельд бір уақытта бірдей құрылымын тапты, бұл төрт автордың бірлескен қағазына әкелді. Атия бұл құрылысты кватерниондарды пайдалана отырып қайта тұжырымдады және Евклид кеңістігіндегі инстантондардың осы жіктелуі туралы кішкене есеп жазды. Атияның инстантон модульдік кеңістіктердегі жұмысы Дональдсонның Дональдсон теориясы бойынша жұмысында қолданылды. Дональдсон (дәреже 1) инстантонның модульдік кеңістігі жай ғана байланысқан 4 көптікке оң анық қиылысу формасы бар компактты кеңістікте көптік пен күрделі проективті кеңістіктің көшірмелерінің қосындысы арасындағы кобордты беру үшін компактификациялануы мүмкін екенін көрсетті. Ол бұдан қиылысу формасы бір өлшемділердің қосындысы болуы керек деп тұжырымдады, бұл 4 өлшемді Евклид кеңістігінде эквивалентті емес тегіс құрылымдардың болуы сияқты 4 көптүрлілікті тегістеу үшін бірнеше тамаша қосымшаларға әкелді. Дональдсон Атия зерттеген басқа модульдік кеңістіктерді Дональдсон инварианттарын анықтау үшін қолданды, бұл тегіс 4 көптүрлілік зерттеуде революция жасады және олардың басқа өлшемдегі тегіс көптүрліліктерге қарағанда неғұрлым нәзік екенін көрсетті, сонымен қатар топологиялық 4 көптүрліліктерден мүлдем өзгеше. Атия зерттеу барысында осы нәтижелердің кейбіреуін сипаттады. Сызықтық бөлшектік дифференциалдық теңдеулер үшін Грин функцияларын көбінесе Фурье түрлендірмесінің көмегімен табуға болады. Атия осы идеяның сызықтық емес нұсқасын қолданды. Ол Пенроуз түрлендірмесін конформды инвариант Лапласианның Грин функциясының күрделі аналитикалық объектіге түрлендіру үшін қолданды, бұл негізінен Пенроуз твистор кеңістігінің диагональды кіріктірілуі болып шықты. Бұл оған 4 көптіктегі конформды инвариант Грин функциясының нақты формуласын табуға мүмкіндік берді. Джонспен бірге жазған еңбегінде ол 4 сферадағы SU(2) инстантонның модульдік кеңістігінің топологиясын зерттеді. Олар осы модульдік кеңістіктен барлық байланыстардың кеңістігіне табиғи картаның белгілі бір өлшемдер ауқымында гомология топтарының эпиморфизмдерін тудыратындығын көрсетті және ол гомология топтарының изоморфизмдерін бірдей өлшемдер ауқымында тудыруы мүмкін екенін ұсынды. Бұл Атия–Джонс болжамы ретінде белгілі болды және кейінірек бірнеше математиктер дәлелдеді. Хардер мен М. С. Нарасимхан Риманн беттеріндегі тұрақты векторлық бундельдердің модульдік кеңістіктерінің кохомологиясын шектік өрістердегі модульдік кеңістіктердің нүктелерінің санын санау арқылы, содан кейін Веил болжамдарын пайдаланып күрделі сандардағы кохомологияны қалпына келтіру арқылы сипаттады. Атия мен Р. Ботт Морс теориясын және Риманн бетіндегі Янг–Миллс теңдеулерін Хардер мен Нарасимхан нәтижелерін қайта жасау және кеңейту үшін пайдаланды. Шур мен Хорнға тиесілі ежелгі нәтижеге сәйкес, берілген өзіндік мәндері бар Эрмиттік матрицаның диагональдық векторларының жиынтығы барлық өзіндік мәндердің пермутацияларының дөңгелек қабығы болып табылады. Атия бұл туралы барлық компактты симплекттік көптүрліліктерге, тормен әрекет ететінге қатысты жалпылауды дәлелдеді, көптүрліліктің моменттік карта астындағы бейнесі дөңгелек полиэдр екенін көрсетті, сонымен қатар Пресслимен бірге шексіз өлшемді циклдық топтарға қатысты жалпылауды берді. Дуистермаат пен Хекман таңқаларлық формула тапты, ол тор әрекеті үшін моменттік картаның Лиувилль өлшемінің итеруі дәл стационарлық фазалық жуықтамамен берілгенін (әдетте нақты емес, тек асимптотикалық кеңею емес) айтады. Атия мен Ботт бұл эквивариантты кохомологиядағы жалпы формуладан шығаруға болатынын көрсетті, бұл белгілі локализация теоремаларының салдары болды. Атия моменттік картаның геометриялық инвариантты теориямен тығыз байланысты екенін көрсетті, және бұл идея оның шәкірті Ф. Кирванмен одан әрі дамытылды. Виттен жақында Дуистермаат–Хекман формуласын циклдық кеңістіктерге қолданды және бұл формальды түрде Дирак операторы үшін Атия–Сингер индекс теоремасын берді; бұл идея Атия лекциясында талқыланды. Хитчинмен бірге ол магниттік монопольдерді зерттеді және олардың шашырауын Ник Мантонның идеясын пайдаланып зерттеді. Оның Хитчинмен бірге жазған кітабы магниттік монопольдердегі олардың жұмысының егжей-тегжейлі сипаттамасын береді. Кітаптың басты тақырыбы магниттік монопольдердің модульдік кеңістігін зерттеу болып табылады; бұл табиғи Риманн метрикасына ие, және маңызды нәрсе - бұл метрика толық және гиперкэлер болып табылады. Метрика содан кейін екі монопольдің шашырауын зерттеу үшін қолданылады, Н. Мантонның кеңістіктегі геодезиялық ағыны шашыраудың төмен энергиялық жуықтамасы екендігі туралы ұсынысын пайдалана отырып. Мысалы, олар екі монопольдің басымен соқтығысуы 90 градус шашырауға әкелетінін көрсетеді, шашырау бағыты екі монопольдің өзара фазаларына байланысты. Ол гиперболалық кеңістіктегі монопольдерді де зерттеді. Атия 4 өлшемдегі инстантондарды 2 өлшемдегі инстантондармен теңестіруге болады, оларды басқару оңайырақ екенін көрсетті. Әрине, бір нюанс бар: 4-тен 2 өлшемге өту кезінде өлшегіш теорияның құрылымдық тобы шекті өлшемді топтан шексіз өлшемді циклдық топқа өзгереді. Бұл екі сырттай байланыссыз сызықтық емес бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің модульдік кеңістіктері негізінен бірдей болып шығатын тағы бір мысал. Атия мен Сингер кванттық өріс теориясындағы аномалияларды Дирак операторының индекс теориясының тұрғысынан түсіндіруге болатынын тапты; бұл идея кейінірек физиктермен кеңінен қолданылды.

Many of his papers on gauge theory and related topics are reprinted in volume 5 of his collected works. A common theme of these papers is the study of moduli spaces of solutions to certain non linear partial differential equations, in particular the equations for instantons and monopoles. This often involves finding a subtle correspondence between solutions of two seemingly quite different equations. An early example of this which Atiyah used repeatedly is the Penrose transform, which can sometimes convert solutions of a non linear equation over some real manifold into solutions of some linear holomorphic equations over a different complex manifold. In a series of papers with several authors, Atiyah classified all instantons on 4 dimensional Euclidean space. It is more convenient to classify instantons on a sphere as this is compact, and this is essentially equivalent to classifying instantons on Euclidean space as this is conformally equivalent to a sphere and the equations for instantons are conformally invariant. With Hitchin and Singer he calculated the dimension of the moduli space of irreducible self dual connections (instantons) for any principal bundle over a compact 4 dimensional Riemannian manifold (the Atiyah–Hitchin–Singer theorem). For example, the dimension of the space of SU2 instantons of rank k>0 is 8k−3. To do this they used the Atiyah–Singer index theorem to calculate the dimension of the tangent space of the moduli space at a point; the tangent space is essentially the space of solutions of an elliptic differential operator, given by the linearization of the non linear Yang–Mills equations. These moduli spaces were later used by Donaldson to construct his invariants of 4 manifolds. Atiyah and Ward used the Penrose correspondence to reduce the classification of all instantons on the 4 sphere to a problem in algebraic geometry. With Hitchin he used ideas of Horrocks to solve this problem, giving the ADHM construction of all instantons on a sphere; Manin and Drinfeld found the same construction at the same time, leading to a joint paper by all four authors. Atiyah reformulated this construction using quaternions and wrote up a leisurely account of this classification of instantons on Euclidean space as a book. Atiyah's work on instanton moduli spaces was used in Donaldson's work on Donaldson theory. Donaldson showed that the moduli space of (degree 1) instantons over a compact simply connected 4 manifold with positive definite intersection form can be compactified to give a cobordism between the manifold and a sum of copies of complex projective space. He deduced from this that the intersection form must be a sum of one dimensional ones, which led to several spectacular applications to smooth 4 manifolds, such as the existence of non equivalent smooth structures on 4 dimensional Euclidean space. Donaldson went on to use the other moduli spaces studied by Atiyah to define Donaldson invariants, which revolutionized the study of smooth 4 manifolds, and showed that they were more subtle than smooth manifolds in any other dimension, and also quite different from topological 4 manifolds. Atiyah described some of these results in a survey talk. Green's functions for linear partial differential equations can often be found by using the Fourier transform to convert this into an algebraic problem. Atiyah used a non linear version of this idea. He used the Penrose transform to convert the Green's function for the conformally invariant Laplacian into a complex analytic object, which turned out to be essentially the diagonal embedding of the Penrose twistor space into its square. This allowed him to find an explicit formula for the conformally invariant Green's function on a 4 manifold. In his paper with Jones, he studied the topology of the moduli space of SU(2) instantons over a 4 sphere. They showed that the natural map from this moduli space to the space of all connections induces epimorphisms of homology groups in a certain range of dimensions, and suggested that it might induce isomorphisms of homology groups in the same range of dimensions. This became known as the Atiyah–Jones conjecture, and was later proved by several mathematicians. Harder and M. S. Narasimhan described the cohomology of the moduli spaces of stable vector bundles over Riemann surfaces by counting the number of points of the moduli spaces over finite fields, and then using the Weil conjectures to recover the cohomology over the complex numbers. Atiyah and R. Bott used Morse theory and the Yang–Mills equations over a Riemann surface to reproduce and extending the results of Harder and Narasimhan. An old result due to Schur and Horn states that the set of possible diagonal vectors of an Hermitian matrix with given eigenvalues is the convex hull of all the permutations of the eigenvalues. Atiyah proved a generalization of this that applies to all compact symplectic manifolds acted on by a torus, showing that the image of the manifold under the moment map is a convex polyhedron, and with Pressley gave a related generalization to infinite dimensional loop groups. Duistermaat and Heckman found a striking formula, saying that the push forward of the Liouville measure of a moment map for a torus action is given exactly by the stationary phase approximation (which is in general just an asymptotic expansion rather than exact). Atiyah and Bott showed that this could be deduced from a more general formula in equivariant cohomology, which was a consequence of well known localization theorems. Atiyah showed that the moment map was closely related to geometric invariant theory, and this idea was later developed much further by his student F. Kirwan. Witten shortly after applied the Duistermaat–Heckman formula to loop spaces and showed that this formally gave the Atiyah–Singer index theorem for the Dirac operator; this idea was lectured on by Atiyah. With Hitchin he worked on magnetic monopoles, and studied their scattering using an idea of Nick Manton. His book with Hitchin gives a detailed description of their work on magnetic monopoles. The main theme of the book is a study of a moduli space of magnetic monopoles; this has a natural Riemannian metric, and a key point is that this metric is complete and hyperkähler. The metric is then used to study the scattering of two monopoles, using a suggestion of N. Manton that the geodesic flow on the moduli space is the low energy approximation to the scattering. For example, they show that a head on collision between two monopoles results in 90 degree scattering, with the direction of scattering depending on the relative phases of the two monopoles. He also studied monopoles on hyperbolic space. Atiyah showed that instantons in 4 dimensions can be identified with instantons in 2 dimensions, which are much easier to handle. There is of course a catch: in going from 4 to 2 dimensions the structure group of the gauge theory changes from a finite dimensional group to an infinite dimensional loop group. This gives another example where the moduli spaces of solutions of two apparently unrelated nonlinear partial differential equations turn out to be essentially the same. Atiyah and Singer found that anomalies in quantum field theory could be interpreted in terms of index theory of the Dirac operator; this idea later became widely used by physicists.

Кейінгі еңбектері (1986-2019)

Оның жинақталған еңбектерінің 6-томында көптеген мақалалар бар, олар шолулар, некрологтар және жалпы сөздерден тұрады. Атия кейіннен бірнеше шолулар, танымал кітап және Сегалмен бірлескен бұрмаланған К-теориясы туралы мақала жариялауды жалғастырды. Бір мақала топология және индекс теоремасы тұрғысынан Дедекинд эта-функциясын егжей-тегжейлі зерттейді. Осы шамадағы бірнеше мақалалары кванттық өріс теориясы, түйіндер және Дональдсон теориясы арасындағы байланыстарды зерттейді. Ол Виттеннің жұмысынан және Сегалдың конформдық өріс теориясының анықтамасынан шабыттанған топологиялық кванттық өріс теориясы тұжырымдамасын енгізді. Оның "Түйіндердің геометриясы мен физикасы" кітабы Вон Джонс пен Эдвард Виттен тапқан жаңа түйін инварианттарын топологиялық кванттық өріс теориясы тұрғысынан сипаттайды, ал Л. Джеффримен бірлескен мақаласы Виттеннің Лагранжианы арқылы Дональдсон инварианттарын түсіндіреді. Ол Ник Мантонмен бірге скирмиондарды зерттеді, магниттік монопольдар мен инстантондармен байланысты тапты және екі скирмионның модульдік кеңістігінің құрылымы туралы болжам жасады, ол күрделі проективті 3-кеңістіктің белгілі бір субкотиенті болып табылады. Бірнеше мақала Джонатан Роббинстің (Берри-Роббинс проблемасы деп аталады) қойған сұрағынан шабыттанды, ол 3-кеңістіктегі n нүктенің конфигурациялық кеңістігінен унитарлық топтың жалаушасына дейін карта бар ма деп сұрады. Атия осы сұраққа оң жауап берді, бірақ оның шешімі тым есептеуге негіделгенін сезінді және табиғирақ шешім беретін болжамдарды зерттеді. Ол сондай-ақ мәселені Нахм теңдеуімен байланыстырды және конфигурациялар бойынша Атия болжамын енгізді. Хуан Малдасена, Камрун Вафа және Э. Виттенмен бірге ол G2 голономиясы бар көптемелердегі M-теориясының динамикасын сипаттады. Бұл мақалалар Атияның ерекше Ли тобымен жұмыс істеген алғашқы реті болып көрінеді. М. Хопкинс пен Г. Сегалмен бірлескен мақалаларында ол К-теориясына деген бұрынғы қызығушылығына оралып, теориялық физикада қолданылуы бар К-теориясының кейбір бұрмаланған түрлерін сипаттады. 2016 жылдың қазан айында ол 6-сферада күрделі құрылымдардың болмауына қысқа дәлел келтірді. Оның дәлелі, көптеген алдыңғылары сияқты, математикалық қауым тарапынан қате деп танылды, тіпті дәлел қайта қаралып, жаңартылған түрінде жазылғаннан кейін де. 2018 жылғы Хайдельберг лауреат форумында ол ұсақ құрылым тұрақтысын пайдалану арқылы қарама-қайшылыққа келтіріп, Риман гипотезасын, Хилберттің сегізінші проблемасын шешкенін мәлімдеді. Бірақ дәлел берік болмады және 2024 жылға дейін гипотеза математикадағы шешілмеген алты Мыңжылдық сыйлық проблемасының бірі болып қала береді.

Many of the papers in the 6th volume of his collected works are surveys, obituaries, and general talks. Atiyah continued to publish subsequently, including several surveys, a popular book, and another paper with Segal on twisted K theory. One paper is a detailed study of the Dedekind eta function from the point of view of topology and the index theorem. Several of his papers from around this time study the connections between quantum field theory, knots, and Donaldson theory. He introduced the concept of a topological quantum field theory, inspired by Witten's work and Segal's definition of a conformal field theory. His book “The Geometry and Physics of Knots” describes the new knot invariants found by Vaughan Jones and Edward Witten in terms of topological quantum field theories, and his paper with L. Jeffrey explains Witten's Lagrangian giving the Donaldson invariants. He studied skyrmions with Nick Manton, finding a relation with magnetic monopoles and instantons, and giving a conjecture for the structure of the moduli space of two skyrmions as a certain subquotient of complex projective 3 space. Several papers were inspired by a question of Jonathan Robbins (called the Berry–Robbins problem), who asked if there is a map from the configuration space of n points in 3 space to the flag manifold of the unitary group. Atiyah gave an affirmative answer to this question, but felt his solution was too computational and studied a conjecture that would give a more natural solution. He also related the question to Nahm's equation, and introduced the Atiyah conjecture on configurations. With Juan Maldacena and Cumrun Vafa, and E. Witten he described the dynamics of M theory on manifolds with G2 holonomy. These papers seem to be the first time that Atiyah worked on exceptional Lie groups. In his papers with M. Hopkins and G. Segal he returned to his earlier interest of K theory, describing some twisted forms of K theory with applications in theoretical physics. In October 2016, he claimed a short proof of the non existence of complex structures on the 6 sphere. His proof, like many predecessors, is considered flawed by the mathematical community, even after the proof was rewritten in a revised form. At the 2018 Heidelberg Laureate Forum, he claimed to have solved the Riemann hypothesis, Hilbert's eighth problem, by contradiction using the fine structure constant. Again, the proof did not hold up and the hypothesis remains one of the six unsolved Millennium Prize Problems in mathematics, as of 2024.

Таңдалған мақалалар

. Қайта басылды . Қайта басылды . Қайта басылды . L2 Бетти сандарының рационалдылығы туралы Атияның «болжамының» формулировкасы. Индекс теоремасының хабарламасы. Қайта басылды . Бұл кохомологияның орнына K-теориясын қолдана отырып, дәлелдеу ұсынады. Қайта басылды . Бұл нәтижені эквивариантты K-теорияны қолдана отырып, Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасы түрінде қайта формулировкалайды. Қайта басылды . Бұл мақалада K-теориялық нұсқадан кохомологияны қолданатын нұсқаға қалай ауысуға болатыны көрсетілген. Қайта басылды . Бұл мақала эллипстік операторлардың отбасыларын зерттейді, онда индекс енді отбасыны параметрлейтін кеңістіктің K-теориясының элементі болып табылады. Қайта басылды . Бұл нақты (күрделі емес) эллипстік операторлардың отбасыларын зерттейді, онда кейде қосымша ақпарат алуға болады. Қайта басылды . Бұл эллиптік кешеннің эндоморфизмінің Лефшец санын есептейтін теореманы тұжырымдайды. Қайта басылды (қайта басылды) және Қайта басылды . Бұлар алдыңғы мақалада жарияланған нәтижелердің дәлелдемелерін және кейбір қолданбаларын ұсынады. ; Қайта басылды ; Қайта басылды .