Сэр Майкл Атия: Жизнь и вклад в математику и науку

Введение

Британский ливанский математик (1929–2019)

Атия был президентом конференций Пугауш по науке и мировым делам с 1997 по 2002 год. Он также способствовал созданию Межакадемической группы по международным вопросам, Ассоциации европейских академий (ALLEA) и Европейского математического общества (EMS). В Великобритании он принимал участие в создании Института математических наук имени Исаака Ньютона в Кембридже и был его первым директором (1990–1996). Он был президентом Королевского общества (1990–1995), магистром Тринити-колледжа Кембриджского университета (1990–1997). С 1997 года и до своей смерти в 2019 году он был почётным профессором Эдинбургского университета. Он был членом попечительского совета Фонда Джеймса Клерка Максвелла. Среди математических коллег Атии были Рауль Ботт, Фридрих Хирцебрюх и Исадор Сингер, а его учениками – Грейм Сегал, Найджел Хичин, Саймон Дональдсон и Эдвард Виттен. Вместе с Хирцебрухом он заложил основы топологической K-теории, важного инструмента в алгебраической топологии, который, упрощённо говоря, описывает способы, которыми пространства могут быть скручены. Его наиболее известный результат, теорема Атия — Сингера об индексе, была доказана совместно с Сингером в 1963 году и используется для подсчёта числа независимых решений дифференциальных уравнений. Некоторые из его более поздних работ были вдохновлены теоретической физикой, в частности, инстантонами и монополями, которые ответственны за некоторые поправки в квантовой теории поля. Он был удостоен медали Филдса в 1966 году и премии Абеля в 2004 году.

Алгебраическая геометрия (19521958)

Ранние работы Атия по алгебраической геометрии (и некоторые общие работы) перепечатаны в первом томе его собранных трудов. Будучи студентом, Атия интересовался классической проективной геометрией и написал свою первую работу — короткую заметку о скрученных кубиках. Он начал исследования под руководством В. В. Д. Ходжа и получил премию Смита за 1954 год за подход, основанный на теории пучков, к линейчатым поверхностям, что побудило Атия продолжить заниматься математикой, а не переключаться на другие его интересы — архитектуру и археологию. Его диссертация под руководством Ходжа была посвящена подходу, основанному на теории пучков, к теории Соломона Лефшеца об интегралах второго рода на алгебраических многообразиях и привела к приглашению посетить Институт перспективных исследований в Принстоне на год. Находясь в Принстоне, он классифицировал векторные расслоения на эллиптической кривой (расширив классификацию векторных расслоений Александра Гротендика для кривой рода 0), показав, что любое векторное расслоение является суммой (по существу единственных) неразложимых векторных расслоений, а затем доказав, что пространство неразложимых векторных расслоений заданной степени и положительной размерности можно отождествить с эллиптической кривой. Он также изучал двойные точки на поверхностях, приведя первый пример флопа — специального бирационального преобразования трехмерных многообразий, который впоследствии широко использовался в работах Шигефуми Мори по минимальным моделям для трехмерных многообразий. Флоп Атия также можно использовать для доказательства того, что универсальное маркированное семейство поверхностей K3 не является хаусдорфовым.

К-теория (19591974)

Работы Атия по K-теории, включая его книгу по K-теории, перепечатаны в 2-м томе его собранных трудов. Самый простой нетривиальный пример векторного расслоения — это лента Мёбиуса (изображена справа): полоска бумаги с закруткой, представляющая собой векторное расслоение ранга 1 над окружностью (окружность в данном случае — центральная линия ленты Мёбиуса). K-теория — это инструмент для работы с более высокомерными аналогами этого примера, или, иными словами, для описания более высокомерных скруток: элементы K-группы пространства представлены векторными расслоениями над ним, поэтому лента Мёбиуса представляет элемент K-группы окружности. Топологическая K-теория была открыта Атией и Фридрихом Хирцебрухом, которые были вдохновлены доказательством теоремы Гротендика — Римана — Роха и работами Ботта по теореме о периодичности. В этой работе рассматривалась только нулевая K-группа; вскоре после этого они расширили ее на K-группы всех степеней, дав первый (нетривиальный) пример обобщенной теории когомологий. Ряд результатов показал, что вновь введенная K-теория в некотором смысле была мощнее обычной теории когомологий. Атия и Тодд использовали K-теорию для улучшения нижних оценок, полученных с помощью обычной когомологии Бореля и Серре для числа Джеймса, описывая, когда отображение из комплексного многообразия Стифеля в сферу имеет поперечное сечение. (Адамс и Грант Уокер позже показали, что оценка, найденная Атией и Тоддом, была наилучшей возможной.) Атия и Хирцебрух использовали K-теорию для объяснения некоторых связей между операциями Стинрода и классами Тодда, которые Хирцебрух заметил несколько лет назад. Первоначальное решение проблемы Хопфа об инварианте одного элемента, предложенное Дж. Ф. Адамсом, было очень длинным и сложным, с использованием вторичных операций когомологий. Атия показал, как первичные операции в K-теории можно использовать для получения краткого решения, занимающего всего несколько строк, и в совместной работе с Адамсом также доказал аналогичный результат для нечетных простых чисел. Спектральная последовательность Атия — Хирцебруха связывает обычную когомологию пространства с его обобщенной теорией когомологий. А именно, для конечной группы G K-теория ее классифицирующего пространства BG изоморфна завершению ее кольца характеров. В том же году они доказали результат для любой компактной связной группы Ли G. Вскоре результат можно было распространить на все компактные группы Ли, включив результаты из диссертации Грэма Сегала, но это расширение было сложным. Однако более простое и общее доказательство было получено путем введения эквивариантной K-теории, то есть классов эквивалентности G-векторных расслоений над компактным G-пространством X. Было показано, что при подходящих условиях завершение эквивариантной K-теории X изоморфно обычной K-теории пространства, которое расслаивается над BG с волокном X. Исходный результат следовал как следствие, рассматривая X как точку: левая часть сводится к завершению R(G), а правая — к K(BG). Подробности см. в теореме о завершении Атия — Сегала. Он определил новые обобщенные теории гомологии и когомологии, называемые бордизмом и кобордизмом, и указал, что многие глубокие результаты по кобордизму многообразий, полученные Рене Томом, С. Т. С. Уоллом и другими, можно естественным образом переинтерпретировать как утверждения об этих теориях когомологий. Некоторые из этих теорий когомологий, в частности комплексный кобордизм, оказались одними из самых мощных известных теорий когомологий. Он ввел группу J(X) конечного комплекса X, определяемую как группа классов эквивалентности гомотопии устойчивых расслоений сфер; позже это было подробно изучено Дж. Ф. Адамсом в серии статей, что привело к гипотезе Адамса. Вместе с Хирцебрухом он расширил теорему Гротендика — Римана — Роха на комплексные аналитические вложения, показав, что гипотеза Ходжа для интегральной когомологии неверна. Гипотеза Ходжа для рациональной когомологии, по состоянию на 2008 год, остается крупной нерешенной проблемой. Теорема о периодичности Ботта была центральной темой в работе Атия по K-теории, и он неоднократно возвращался к ней, перерабатывая доказательство несколько раз, чтобы лучше понять его. Вместе с Боттом он разработал элементарное доказательство и представил другую версию в своей книге. Вместе с Боттом и Шапиро он проанализировал связь периодичности Ботта с периодичностью алгебр Клиффорда; хотя в этой работе не было доказательства теоремы о периодичности, вскоре после этого Р. Вуд нашел доказательство по аналогичной схеме. Он нашел доказательство нескольких обобщений, используя эллиптические операторы; это новое доказательство использовало идею, которую он использовал для получения особенно короткого и простого доказательства первоначальной теоремы о периодичности Ботта.

Atiyah's works on K theory, including his book on K theory are reprinted in volume 2 of his collected works. The simplest nontrivial example of a vector bundle is the Möbius band (pictured on the right): a strip of paper with a twist in it, which represents a rank 1 vector bundle over a circle (the circle in question being the centerline of the Möbius band). K theory is a tool for working with higher dimensional analogues of this example, or in other words for describing higher dimensional twistings: elements of the K group of a space are represented by vector bundles over it, so the Möbius band represents an element of the K group of a circle. Topological K theory was discovered by Atiyah and Friedrich Hirzebruch who were inspired by Grothendieck's proof of the Grothendieck–Riemann–Roch theorem and Bott's work on the periodicity theorem. This paper only discussed the zeroth K group; they shortly after extended it to K groups of all degrees, giving the first (nontrivial) example of a generalized cohomology theory. Several results showed that the newly introduced K theory was in some ways more powerful than ordinary cohomology theory. Atiyah and Todd used K theory to improve the lower bounds found using ordinary cohomology by Borel and Serre for the James number, describing when a map from a complex Stiefel manifold to a sphere has a cross section. (Adams and Grant Walker later showed that the bound found by Atiyah and Todd was best possible.) Atiyah and Hirzebruch used K theory to explain some relations between Steenrod operations and Todd classes that Hirzebruch had noticed a few years before. The original solution of the Hopf invariant one problem operations by J. F. Adams was very long and complicated, using secondary cohomology operations. Atiyah showed how primary operations in K theory could be used to give a short solution taking only a few lines, and in joint work with Adams also proved analogues of the result at odd primes. The Atiyah–Hirzebruch spectral sequence relates the ordinary cohomology of a space to its generalized cohomology theory. that for a finite group G, the K theory of its classifying space, BG, is isomorphic to the completion of its character ring:

The same year they proved the result for G any compact connected Lie group. Although soon the result could be extended to all compact Lie groups by incorporating results from Graeme Segal's thesis, that extension was complicated. However a simpler and more general proof was produced by introducing equivariant K theory, i. e. equivalence classes of G vector bundles over a compact G space X. It was shown that under suitable conditions the completion of the equivariant K theory of X is isomorphic to the ordinary K theory of a space, , which fibred over BG with fibre X:

The original result then followed as a corollary by taking X to be a point: the left hand side reduced to the completion of R(G) and the right to K(BG). See Atiyah–Segal completion theorem for more details. He defined new generalized homology and cohomology theories called bordism and cobordism, and pointed out that many of the deep results on cobordism of manifolds found by René Thom, C. T. C. Wall, and others could be naturally reinterpreted as statements about these cohomology theories. Some of these cohomology theories, in particular complex cobordism, turned out to be some of the most powerful cohomology theories known. He introduced the J group J(X) of a finite complex X, defined as the group of stable fiber homotopy equivalence classes of sphere bundles; this was later studied in detail by J. F. Adams in a series of papers, leading to the Adams conjecture. With Hirzebruch he extended the Grothendieck–Riemann–Roch theorem to complex analytic embeddings, they showed that the Hodge conjecture for integral cohomology is false. The Hodge conjecture for rational cohomology is, as of 2008, a major unsolved problem. The Bott periodicity theorem was a central theme in Atiyah's work on K theory, and he repeatedly returned to it, reworking the proof several times to understand it better. With Bott he worked out an elementary proof, and gave another version of it in his book. With Bott and Shapiro he analysed the relation of Bott periodicity to the periodicity of Clifford algebras; although this paper did not have a proof of the periodicity theorem, a proof along similar lines was shortly afterwards found by R. Wood. He found a proof of several generalizations using elliptic operators; this new proof used an idea that he used to give a particularly short and easy proof of Bott's original periodicity theorem.

Теория индекса (19631984)

Работа Атия по теории индексов перепечатана в томах 3 и 4 его собранных трудов. Индекс дифференциального оператора тесно связан с числом независимых решений (точнее, это разность между числами независимых решений самого дифференциального оператора и его сопряженного). В математике существует множество сложных и фундаментальных задач, которые можно легко свести к задаче нахождения числа независимых решений некоторого дифференциального оператора, поэтому, если есть способ вычисления индекса дифференциального оператора, эти задачи часто можно решить. Именно это и делает теорема об индексе Атия — Зингера: она дает формулу для индекса определенных дифференциальных операторов, выраженную через топологические инварианты, которые выглядят довольно сложными, но на практике обычно легко вычисляются. Несколько глубоких теорем, таких как теорема Хирцебруха — Римана — Роха, являются частными случаями теоремы об индексе Атия — Зингера. Фактически, теорема об индексе дала более сильный результат, поскольку ее доказательство применимо ко всем компактным комплексным многообразиям, в то время как доказательство Хирцебруха работало только для проективных многообразий. Существовали также многочисленные новые приложения, типичным примером является вычисление размерностей модульных пространств инстантонов. Теорему об индексе можно также использовать «в обратном порядке»: индекс, очевидно, является целым числом, поэтому формула для него также должна давать целое число, что иногда приводит к тонким условиям целочисленности на инвариантах многообразий. Типичным примером является теорема Рохлина, которая вытекает из теоремы об индексе. Проблема об индексе для эллиптических дифференциальных операторов была поставлена в 1959 году Гельфандом. Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил формулу для него, выраженную через топологические инварианты. К числу мотивирующих примеров входили теорема Римана — Роха и ее обобщение — теорема Хирцебруха — Римана — Роха, а также теорема о сигнатуре Хирцебруха. Хирцебрух и Борель доказали целочисленность рода Â спинового многообразия, и Атия предположил, что эту целочисленность можно объяснить, если рассматривать ее как индекс оператора Дирака (который был заново открыт Атией и Зингером в 1961 году). Первое объявление теоремы Атия — Зингера было сделано в их статье 1963 года. Эскиз доказательства, представленный в этом объявлении, был вдохновлен доказательством теоремы Хирцебруха — Римана — Роха и никогда не был опубликован ими самими, хотя он описан в книге Пале. Их первое опубликованное доказательство было более похоже на доказательство теоремы Гротендика — Римана — Роха, заменяя теорию кобордизмов первого доказательства K-теорией, и они использовали этот подход для получения доказательств различных обобщений в серии статей с 1968 по 1971 год. Вместо одного эллиптического оператора можно рассматривать семейство эллиптических операторов, параметризованное некоторым пространством Y. В этом случае индекс является элементом K-теории Y, а не целым числом. Если операторы в семействе вещественные, то индекс лежит в вещественной K-теории Y. Это дает немного дополнительной информации, поскольку отображение из вещественной K-теории Y в комплексную K-теорию не всегда инъективно. Вместе с Боттом Атия нашел аналог формулы фиксированной точки Лефшеца для эллиптических операторов, давая число Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса с точки зрения суммы по фиксированным точкам эндоморфизма. В качестве частных случаев их формула включала формулу характера Вейля и несколько новых результатов об эллиптических кривых с комплексным умножением, некоторые из которых поначалу не были приняты специалистами. Атия и Сегал объединили эту теорему о фиксированной точке с теоремой об индексе следующим образом. Если на компактном многообразии X действует компактная группа G, коммутирующая с эллиптическим оператором, то обычную K-теорию в теореме об индексе можно заменить эквивариантной K-теорией. Для тривиальных групп G это дает теорему об индексе, а для конечной группы G, действующей с изолированными фиксированными точками, это дает теорему о фиксированной точке Атия — Ботта. В общем случае индекс представляется как сумма по фиксированным точкам подмногообразий группы G. Атия решил проблему, поставленную независимо Хормандером и Гельфандом, о том, определяют ли степени аналитических функций с комплексным показателем распределения. Атия использовал разрешение особенностей Хиронаки, чтобы утвердительно ответить на этот вопрос. Примерно в то же время Дж. Бернштейн нашел изящное и элементарное решение, которое было обсуждено Атией. В качестве применения теоремы об эквивариантном индексе Атия и Хирцебрух показали, что многообразия с эффективным круговым действием имеют исчезающий род Â. (Лихнерович показал, что если многообразие имеет метрику с положительной скалярной кривизной, то род Â равен нулю.) Вместе с Элмером Рисом Атия изучал проблему связи между топологическими и голоморфными векторными расслоениями на проективном пространстве. Они решили простейший неизвестный случай, показав, что все векторные расслоения ранга 2 над проективным 3-пространством имеют голоморфную структуру. Хоррокс ранее нашел некоторые нетривиальные примеры таких векторных расслоений, которые позже Атия использовал в своем исследовании инстантонов на 4-сфере. Атия, Ботт и Виджай К. Патоди дали новое доказательство теоремы об индексе, используя уравнение теплопроводности. Если многообразию разрешено иметь границу, то на область определения эллиптического оператора необходимо наложить некоторые ограничения, чтобы обеспечить конечный индекс. Эти условия могут быть локальными (например, требование, чтобы сечения в области определения обращались в нуль на границе) или более сложными глобальными условиями (например, требование, чтобы сечения в области определения удовлетворяли некоторому дифференциальному уравнению). Локальный случай был разработан Атией и Боттом, но они показали, что многие интересные операторы (например, оператор сигнатуры) не допускают локальных граничных условий. Чтобы обработать эти операторы, Атия, Патоди и Зингер ввели глобальные граничные условия, эквивалентные присоединению цилиндра к многообразию вдоль границы, а затем ограничению области определения сечениями, которые являются квадратично интегрируемыми вдоль цилиндра, и ввели инвариант эта Атия — Патоди — Зингера. Это привело к серии работ по спектральной асимметрии, которые позже неожиданно использовались в теоретической физике, в частности, в работах Виттена об аномалиях. Фундаментальные решения линейных гиперболических частных дифференциальных уравнений часто имеют лакуны Петровского: области, где они тождественно обращаются в нуль. Они были изучены в 1945 году И. Г. Петровским, который нашел топологические условия, описывающие, какие области являются лакунами. В сотрудничестве с Боттом и Ларсом Гардингом Атия написал три статьи, обновляющие и обобщающие работу Петровского. Атия показал, как расширить теорему об индексе на некоторые некомпактные многообразия, на которые действует дискретная группа с компактным частным отношением. Ядро эллиптического оператора в этом случае, как правило, бесконечномерно, но можно получить конечный индекс, используя размерность модуля над фон Неймановской алгеброй; этот индекс, как правило, вещественный, а не целочисленный. Эта версия называется L2-теоремой об индексе и была использована Атией и Шмидом для геометрической конструкции, использующей квадратично интегрируемые гармонические спиноры, дискретных представлений полупростых групп Ли, разработанных Хариша-Чандра. В ходе этой работы они нашли более элементарное доказательство фундаментальной теоремы Хариша-Чандры о локальной интегрируемости характеров групп Ли. Вместе с Х. Доннелли и И. Зингером он расширил формулу Хирцебруха (связывающую дефект сигнатуры в углах поверхностей Гильберта с значениями L-функций) с действительных квадратичных полей на все вполне вещественные поля.

Atiyah's work on index theory is reprinted in volumes 3 and 4 of his collected works. The index of a differential operator is closely related to the number of independent solutions (more precisely, it is the differences of the numbers of independent solutions of the differential operator and its adjoint). There are many hard and fundamental problems in mathematics that can easily be reduced to the problem of finding the number of independent solutions of some differential operator, so if one has some means of finding the index of a differential operator these problems can often be solved. This is what the Atiyah–Singer index theorem does: it gives a formula for the index of certain differential operators, in terms of topological invariants that look quite complicated but are in practice usually straightforward to calculate. Several deep theorems, such as the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, are special cases of the Atiyah–Singer index theorem. In fact the index theorem gave a more powerful result, because its proof applied to all compact complex manifolds, while Hirzebruch's proof only worked for projective manifolds. There were also many new applications: a typical one is calculating the dimensions of the moduli spaces of instantons. The index theorem can also be run "in reverse": the index is obviously an integer, so the formula for it must also give an integer, which sometimes gives subtle integrality conditions on invariants of manifolds. A typical example of this is Rochlin's theorem, which follows from the index theorem. The index problem for elliptic differential operators was posed in 1959 by Gel'fand. He noticed the homotopy invariance of the index, and asked for a formula for it by means of topological invariants. Some of the motivating examples included the Riemann–Roch theorem and its generalization the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, and the Hirzebruch signature theorem. Hirzebruch and Borel had proved the integrality of the Â genus of a spin manifold, and Atiyah suggested that this integrality could be explained if it were the index of the Dirac operator (which was rediscovered by Atiyah and Singer in 1961). The first announcement of the Atiyah–Singer theorem was their 1963 paper. The proof sketched in this announcement was inspired by Hirzebruch's proof of the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem and was never published by them, though it is described in the book by Palais. Their first published proof was more similar to Grothendieck's proof of the Grothendieck–Riemann–Roch theorem, replacing the cobordism theory of the first proof with K theory, and they used this approach to give proofs of various generalizations in a sequence of papers from 1968 to 1971. Instead of just one elliptic operator, one can consider a family of elliptic operators parameterized by some space Y. In this case the index is an element of the K theory of Y, rather than an integer. If the operators in the family are real, then the index lies in the real K theory of Y. This gives a little extra information, as the map from the real K theory of Y to the complex K theory is not always injective. With Bott, Atiyah found an analogue of the Lefschetz fixed point formula for elliptic operators, giving the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex in terms of a sum over the fixed points of the endomorphism. As special cases their formula included the Weyl character formula, and several new results about elliptic curves with complex multiplication, some of which were initially disbelieved by experts. Atiyah and Segal combined this fixed point theorem with the index theorem as follows. If there is a compact group action of a group G on the compact manifold X, commuting with the elliptic operator, then one can replace ordinary K theory in the index theorem with equivariant K theory. For trivial groups G this gives the index theorem, and for a finite group G acting with isolated fixed points it gives the Atiyah–Bott fixed point theorem. In general it gives the index as a sum over fixed point submanifolds of the group G.

Atiyah solved a problem asked independently by Hörmander and Gel'fand, about whether complex powers of analytic functions define distributions. Atiyah used Hironaka's resolution of singularities to answer this affirmatively. An ingenious and elementary solution was found at about the same time by J. Bernstein, and discussed by Atiyah. As an application of the equivariant index theorem, Atiyah and Hirzebruch showed that manifolds with effective circle actions have vanishing Â genus. (Lichnerowicz showed that if a manifold has a metric of positive scalar curvature then the Â genus vanishes.) With Elmer Rees, Atiyah studied the problem of the relation between topological and holomorphic vector bundles on projective space. They solved the simplest unknown case, by showing that all rank 2 vector bundles over projective 3 space have a holomorphic structure. Horrocks had previously found some non trivial examples of such vector bundles, which were later used by Atiyah in his study of instantons on the 4 sphere. Atiyah, Bott and Vijay K. Patodi gave a new proof of the index theorem using the heat equation. If the manifold is allowed to have boundary, then some restrictions must be put on the domain of the elliptic operator in order to ensure a finite index. These conditions can be local (like demanding that the sections in the domain vanish at the boundary) or more complicated global conditions (like requiring that the sections in the domain solve some differential equation). The local case was worked out by Atiyah and Bott, but they showed that many interesting operators (e. g., the signature operator) do not admit local boundary conditions. To handle these operators, Atiyah, Patodi and Singer introduced global boundary conditions equivalent to attaching a cylinder to the manifold along the boundary and then restricting the domain to those sections that are square integrable along the cylinder, and also introduced the Atiyah–Patodi–Singer eta invariant. This resulted in a series of papers on spectral asymmetry, which were later unexpectedly used in theoretical physics, in particular in Witten's work on anomalies. The fundamental solutions of linear hyperbolic partial differential equations often have Petrovsky lacunas: regions where they vanish identically. These were studied in 1945 by I. G. Petrovsky, who found topological conditions describing which regions were lacunas. In collaboration with Bott and Lars Gårding, Atiyah wrote three papers updating and generalizing Petrovsky's work. Atiyah showed how to extend the index theorem to some non compact manifolds, acted on by a discrete group with compact quotient. The kernel of the elliptic operator is in general infinite dimensional in this case, but it is possible to get a finite index using the dimension of a module over a von Neumann algebra; this index is in general real rather than integer valued. This version is called the L2 index theorem, and was used by Atiyah and Schmid to give a geometric construction, using square integrable harmonic spinors, of Harish Chandra's discrete series representations of semisimple Lie groups. In the course of this work they found a more elementary proof of Harish Chandra's fundamental theorem on the local integrability of characters of Lie groups. With H. Donnelly and I. Singer, he extended Hirzebruch's formula (relating the signature defect at cusps of Hilbert modular surfaces to values of L functions) from real quadratic fields to all totally real fields.

Теория гаража (1977-1985)

Многие его работы по теории калибровочных полей и связанным темам перепечатаны в 5-м томе его собрания сочинений. Общей темой этих работ является изучение модульных пространств решений некоторых нелинейных частных дифференциальных уравнений, в частности уравнений для инстантонов и монополей. Это часто включает в себя поиск тонкой взаимосвязи между решениями двух, на первый взгляд, совершенно различных уравнений. Ранним примером этого, который Атия неоднократно использовал, является преобразование Пенроуза, которое иногда может преобразовывать решения нелинейного уравнения над некоторым вещественным многообразием в решения некоторых линейных голоморфных уравнений над другим комплексным многообразием. В серии статей с несколькими соавторами Атия классифицировал все инстантоны на 4-мерном евклидовом пространстве. Удобнее классифицировать инстантоны на сфере, поскольку она компактна, и это по существу эквивалентно классификации инстантонов на евклидовом пространстве, поскольку евклидово пространство конформно эквивалентно сфере, а уравнения для инстантонов конформно инвариантны. Вместе с Хитчином и Сингером он вычислил размерность модульного пространства неприводимых самодвойственных связностей (инстантонов) для любого главного расслоения над компактным 4-мерным римановым многообразием (теорема Атия — Хитчина — Сингера). Например, размерность пространства SU(2)-инстантонов ранга k > 0 равна 8k − 3. Для этого они использовали теорему об индексе Атия — Сингера для вычисления размерности тангенциального пространства модульного пространства в точке; тангенциальное пространство по сути является пространством решений эллиптического дифференциального оператора, заданного линеаризацией нелинейных уравнений Янга — Миллса. Эти модульные пространства позже использовались Дональдсоном для построения его инвариантов 4-многообразий. Атия и Уорд использовали соответствие Пенроуза, чтобы свести классификацию всех инстантонов на 4-сфере к задаче алгебраической геометрии. Вместе с Хитчином он использовал идеи Хоррокса для решения этой задачи, получив ADHM-конструкцию всех инстантонов на сфере; Манин и Дринфельд независимо получили ту же конструкцию, что привело к совместной работе всех четырех авторов. Атия переформулировал эту конструкцию, используя кватернионы, и представил подробное описание этой классификации инстантонов на евклидовом пространстве в виде книги. Работа Атия по модульным пространствам инстантонов была использована в работе Дональдсона по теории Дональдсона. Дональдсон показал, что модульное пространство (степени 1) инстантонов над компактным простосвязным 4-многообразием с положительно определенной формой пересечения можно компактифицировать, чтобы получить кобордизм между многообразием и суммой копий комплексного проективного пространства. Он вывел из этого, что форма пересечения должна быть суммой одномерных, что привело к нескольким впечатляющим приложениям к гладким 4-многообразиям, таким как существование неэквивалентных гладких структур на 4-мерном евклидовом пространстве. Дональдсон продолжил использовать другие модульные пространства, изученные Атией, для определения инвариантов Дональдсона, которые произвели революцию в изучении гладких 4-многообразий и показали, что они более тонкие, чем гладкие многообразия в любом другом измерении, а также существенно отличаются от топологических 4-многообразий. Атия описал некоторые из этих результатов в обзорном докладе. Функции Грина для линейных частных дифференциальных уравнений часто можно найти, используя преобразование Фурье, чтобы свести это к алгебраической задаче. Атия использовал нелинейную версию этой идеи. Он использовал преобразование Пенроуза для преобразования функции Грина для конформно инвариантного лапласиана в комплексный аналитический объект, который оказался по существу диагональным вложением пространства твисторов Пенроуза в его квадрат. Это позволило ему найти явную формулу для конформно инвариантной функции Грина на 4-многообразии. В своей работе с Джонсом он изучал топологию модульного пространства SU(2)-инстантонов над 4-сферой. Они показали, что естественное отображение из этого модульного пространства в пространство всех связностей индуцирует эпиморфизмы групп гомологий в определенном диапазоне размерностей и предположили, что оно может индуцировать изоморфизмы групп гомологий в том же диапазоне размерностей. Это стало известно как гипотеза Атия — Джонса, которая позже была доказана несколькими математиками. Хардер и М. С. Нарасимхан описали когомологии модульных пространств устойчивых векторных расслоений над римановыми поверхностями, подсчитывая количество точек модульных пространств над конечными полями, а затем используя гипотезы Вейля для восстановления когомологий над комплексными числами. Атия и Р. Ботт использовали теорию Морса и уравнения Янга — Миллса над римановой поверхностью для воспроизведения и расширения результатов Хардера и Нарасимхана. Старый результат, полученный Шуром и Хорном, утверждает, что множество возможных диагональных векторов эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями является выпуклой оболочкой всех перестановок собственных значений. Атия доказал обобщение этого результата, применимое ко всем компактным симплектическим многообразиям, на которые действует тор, показав, что образ многообразия под отображением момента является выпуклым многогранником, и вместе с Прессли представил связанное обобщение для бесконечномерных группировок петель. Дустермаат и Хекман нашли поразительную формулу, утверждающую, что прямое отображение меры Лиувилля отображения момента для действия тора дается точно приближением стационарной фазы (которое в общем случае является лишь асимптотическим разложением, а не точным). Атия и Ботт показали, что это можно вывести из более общей формулы в эквивариантной когомологии, которая является следствием хорошо известных теорем локализации. Атия показал, что отображение момента тесно связано с геометрической инвариантной теорией, и эта идея была впоследствии значительно развита его учеником Ф. Кирваном. Виттен вскоре после этого применил формулу Дустермаата — Хекмана к пространствам петель и показал, что она формально дает теорему об индексе Атия — Сингера для оператора Дирака; эта идея была представлена в лекции Атией. Вместе с Хитчином он работал над магнитными монополями и изучал их рассеяние, используя идею Ника Мэнтона. Их книга с Хитчином дает подробное описание их работы над магнитными монополями. Основной темой книги является изучение модульного пространства магнитных монополей; это имеет естественную риманову метрику, и ключевым моментом является то, что эта метрика полна и гиперкэлерова. Затем метрика используется для изучения рассеяния двух монополей, используя предположение Н. Мэнтона о том, что геодезический поток на модульном пространстве является малоэнергетическим приближением к рассеянию. Например, они показывают, что лобовое столкновение двух монополей приводит к рассеянию на 90 градусов, причем направление рассеяния зависит от относительных фаз двух монополей. Он также изучал монополи на гиперболическом пространстве. Атия показал, что инстантоны в 4 измерениях можно отождествить с инстантонами в 2 измерениях, которые гораздо проще в обращении. Конечно, есть загвоздка: при переходе от 4 к 2 измерениям структура группы калибровочной теории меняется от конечномерной группы к бесконечномерной группе петель. Это дает еще один пример того, что модульные пространства решений двух, казалось бы, несвязанных нелинейных частных дифференциальных уравнений оказываются по существу одинаковыми. Атия и Сингер обнаружили, что аномалии в квантовой теории поля можно интерпретировать в терминах индексной теории оператора Дирака; эта идея позже широко использовалась физиками.

Many of his papers on gauge theory and related topics are reprinted in volume 5 of his collected works. A common theme of these papers is the study of moduli spaces of solutions to certain non linear partial differential equations, in particular the equations for instantons and monopoles. This often involves finding a subtle correspondence between solutions of two seemingly quite different equations. An early example of this which Atiyah used repeatedly is the Penrose transform, which can sometimes convert solutions of a non linear equation over some real manifold into solutions of some linear holomorphic equations over a different complex manifold. In a series of papers with several authors, Atiyah classified all instantons on 4 dimensional Euclidean space. It is more convenient to classify instantons on a sphere as this is compact, and this is essentially equivalent to classifying instantons on Euclidean space as this is conformally equivalent to a sphere and the equations for instantons are conformally invariant. With Hitchin and Singer he calculated the dimension of the moduli space of irreducible self dual connections (instantons) for any principal bundle over a compact 4 dimensional Riemannian manifold (the Atiyah–Hitchin–Singer theorem). For example, the dimension of the space of SU2 instantons of rank k>0 is 8k−3. To do this they used the Atiyah–Singer index theorem to calculate the dimension of the tangent space of the moduli space at a point; the tangent space is essentially the space of solutions of an elliptic differential operator, given by the linearization of the non linear Yang–Mills equations. These moduli spaces were later used by Donaldson to construct his invariants of 4 manifolds. Atiyah and Ward used the Penrose correspondence to reduce the classification of all instantons on the 4 sphere to a problem in algebraic geometry. With Hitchin he used ideas of Horrocks to solve this problem, giving the ADHM construction of all instantons on a sphere; Manin and Drinfeld found the same construction at the same time, leading to a joint paper by all four authors. Atiyah reformulated this construction using quaternions and wrote up a leisurely account of this classification of instantons on Euclidean space as a book. Atiyah's work on instanton moduli spaces was used in Donaldson's work on Donaldson theory. Donaldson showed that the moduli space of (degree 1) instantons over a compact simply connected 4 manifold with positive definite intersection form can be compactified to give a cobordism between the manifold and a sum of copies of complex projective space. He deduced from this that the intersection form must be a sum of one dimensional ones, which led to several spectacular applications to smooth 4 manifolds, such as the existence of non equivalent smooth structures on 4 dimensional Euclidean space. Donaldson went on to use the other moduli spaces studied by Atiyah to define Donaldson invariants, which revolutionized the study of smooth 4 manifolds, and showed that they were more subtle than smooth manifolds in any other dimension, and also quite different from topological 4 manifolds. Atiyah described some of these results in a survey talk. Green's functions for linear partial differential equations can often be found by using the Fourier transform to convert this into an algebraic problem. Atiyah used a non linear version of this idea. He used the Penrose transform to convert the Green's function for the conformally invariant Laplacian into a complex analytic object, which turned out to be essentially the diagonal embedding of the Penrose twistor space into its square. This allowed him to find an explicit formula for the conformally invariant Green's function on a 4 manifold. In his paper with Jones, he studied the topology of the moduli space of SU(2) instantons over a 4 sphere. They showed that the natural map from this moduli space to the space of all connections induces epimorphisms of homology groups in a certain range of dimensions, and suggested that it might induce isomorphisms of homology groups in the same range of dimensions. This became known as the Atiyah–Jones conjecture, and was later proved by several mathematicians. Harder and M. S. Narasimhan described the cohomology of the moduli spaces of stable vector bundles over Riemann surfaces by counting the number of points of the moduli spaces over finite fields, and then using the Weil conjectures to recover the cohomology over the complex numbers. Atiyah and R. Bott used Morse theory and the Yang–Mills equations over a Riemann surface to reproduce and extending the results of Harder and Narasimhan. An old result due to Schur and Horn states that the set of possible diagonal vectors of an Hermitian matrix with given eigenvalues is the convex hull of all the permutations of the eigenvalues. Atiyah proved a generalization of this that applies to all compact symplectic manifolds acted on by a torus, showing that the image of the manifold under the moment map is a convex polyhedron, and with Pressley gave a related generalization to infinite dimensional loop groups. Duistermaat and Heckman found a striking formula, saying that the push forward of the Liouville measure of a moment map for a torus action is given exactly by the stationary phase approximation (which is in general just an asymptotic expansion rather than exact). Atiyah and Bott showed that this could be deduced from a more general formula in equivariant cohomology, which was a consequence of well known localization theorems. Atiyah showed that the moment map was closely related to geometric invariant theory, and this idea was later developed much further by his student F. Kirwan. Witten shortly after applied the Duistermaat–Heckman formula to loop spaces and showed that this formally gave the Atiyah–Singer index theorem for the Dirac operator; this idea was lectured on by Atiyah. With Hitchin he worked on magnetic monopoles, and studied their scattering using an idea of Nick Manton. His book with Hitchin gives a detailed description of their work on magnetic monopoles. The main theme of the book is a study of a moduli space of magnetic monopoles; this has a natural Riemannian metric, and a key point is that this metric is complete and hyperkähler. The metric is then used to study the scattering of two monopoles, using a suggestion of N. Manton that the geodesic flow on the moduli space is the low energy approximation to the scattering. For example, they show that a head on collision between two monopoles results in 90 degree scattering, with the direction of scattering depending on the relative phases of the two monopoles. He also studied monopoles on hyperbolic space. Atiyah showed that instantons in 4 dimensions can be identified with instantons in 2 dimensions, which are much easier to handle. There is of course a catch: in going from 4 to 2 dimensions the structure group of the gauge theory changes from a finite dimensional group to an infinite dimensional loop group. This gives another example where the moduli spaces of solutions of two apparently unrelated nonlinear partial differential equations turn out to be essentially the same. Atiyah and Singer found that anomalies in quantum field theory could be interpreted in terms of index theory of the Dirac operator; this idea later became widely used by physicists.

Позднейшая работа (19862019)

Многие из статей в 6-м томе его собрания сочинений — это обзоры, некрологи и общие доклады. Атия продолжал публиковаться впоследствии, включая несколько обзоров, популярную книгу и еще одну статью с Сегалом о скрученной K-теории. Одна статья представляет собой подробное исследование функции Дедекинда эта с точки зрения топологии и теоремы об индексе. Несколько его работ примерно того же периода посвящены связям между квантовой теорией поля, узлами и теорией Дональдсона. Он ввёл понятие топологической квантовой теории поля, вдохновлённое работами Виттена и определением Сегала конформной теории поля. Его книга «Геометрия и физика узлов» описывает новые инварианты узлов, найденные Воганом Джонсом и Эдвардом Виттеном, в терминах топологических квантовых теорий поля, а его статья с Л. Джеффри объясняет лагранжиан Виттена, дающий инварианты Дональдсона. Он изучал скирмионы вместе с Ником Мантоном, обнаружив связь с магнитными монополями и инстантонами, и выдвинул гипотезу о структуре модульного пространства двух скирмионов как определённого подчастного комплексного проективного 3-пространства. Несколько статей были вдохновлены вопросом Джонатана Роббинса (так называемой проблемой Берри — Роббинса), который спрашивал, существует ли отображение из конфигурационного пространства n точек в 3-мерном пространстве на флаг-многообразие унитарной группы. Атия дал утвердительный ответ на этот вопрос, но посчитал своё решение слишком вычислительным и изучал гипотезу, которая могла бы дать более естественное решение. Он также связал этот вопрос с уравнением Нама и сформулировал гипотезу Атия о конфигурациях. Вместе с Хуаном Малдасеной, Камруном Вафой и Э. Виттеном он описал динамику M-теории на многообразиях с голономией G2. Эти работы, по-видимому, стали первым случаем, когда Атия занимался исключительными группами Ли. В своих работах с М. Хопкинсом и Г. Сегалом он вернулся к своему давнему интересу к K-теории, описав некоторые скрученные формы K-теории с приложениями в теоретической физике. В октябре 2016 года он заявил о кратком доказательстве несуществования комплексных структур на 6-сфере. Его доказательство, как и многие предыдущие, считается ошибочным математическим сообществом, даже после его переработки. На Гейдельбергском форуме лауреатов в 2018 году он заявил, что решил гипотезу Римана, восьмую проблему Гильберта, методом от противного, используя постоянную тонкой структуры. Однако доказательство не выдержало критики, и гипотеза остаётся одной из шести нерешённых задач тысячелетия в математике по состоянию на 2024 год.

Many of the papers in the 6th volume of his collected works are surveys, obituaries, and general talks. Atiyah continued to publish subsequently, including several surveys, a popular book, and another paper with Segal on twisted K theory. One paper is a detailed study of the Dedekind eta function from the point of view of topology and the index theorem. Several of his papers from around this time study the connections between quantum field theory, knots, and Donaldson theory. He introduced the concept of a topological quantum field theory, inspired by Witten's work and Segal's definition of a conformal field theory. His book “The Geometry and Physics of Knots” describes the new knot invariants found by Vaughan Jones and Edward Witten in terms of topological quantum field theories, and his paper with L. Jeffrey explains Witten's Lagrangian giving the Donaldson invariants. He studied skyrmions with Nick Manton, finding a relation with magnetic monopoles and instantons, and giving a conjecture for the structure of the moduli space of two skyrmions as a certain subquotient of complex projective 3 space. Several papers were inspired by a question of Jonathan Robbins (called the Berry–Robbins problem), who asked if there is a map from the configuration space of n points in 3 space to the flag manifold of the unitary group. Atiyah gave an affirmative answer to this question, but felt his solution was too computational and studied a conjecture that would give a more natural solution. He also related the question to Nahm's equation, and introduced the Atiyah conjecture on configurations. With Juan Maldacena and Cumrun Vafa, and E. Witten he described the dynamics of M theory on manifolds with G2 holonomy. These papers seem to be the first time that Atiyah worked on exceptional Lie groups. In his papers with M. Hopkins and G. Segal he returned to his earlier interest of K theory, describing some twisted forms of K theory with applications in theoretical physics. In October 2016, he claimed a short proof of the non existence of complex structures on the 6 sphere. His proof, like many predecessors, is considered flawed by the mathematical community, even after the proof was rewritten in a revised form. At the 2018 Heidelberg Laureate Forum, he claimed to have solved the Riemann hypothesis, Hilbert's eighth problem, by contradiction using the fine structure constant. Again, the proof did not hold up and the hypothesis remains one of the six unsolved Millennium Prize Problems in mathematics, as of 2024.

Избранные статьи

Да. Да. Перепечатано. Перепечатано. Перепечатано. Перепечатано в "Формулировании "предположения" Атия о рациональности чисел Бетти L2". Объявление теоремы об индексах. Перепечатано. Это дает доказательство, использующее K-теорию вместо когомологии. Перепечатано. Это переформулирует результат как своего рода теорему о неподвижной точке Лефшеца, используя эквивариантную K-теорию. Перепечатано. В этой статье показано, как перейти от K-теоретической версии к версии, использующей когомологию. В этой статье изучаются семейства эллиптических операторов, где индекс теперь является элементом K-теории пространства, параметризующего семейство. Перепечатано. В ней изучаются семейства вещественных (а не комплексных) эллиптических операторов, когда иногда можно получить немного дополнительной информации. Перепечатано. В ней сформулирована теорема, вычисляющая число Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса. Перепечатано в (перепечатано в) и Перепечатано в. В них приведены доказательства и некоторые приложения результатов, объявленных в предыдущей статье. ; Перепечатано в; Перепечатано в.