Стивен Смайл: Американ математигі, өмірбаяны мен ғылыми еңбектері

Кіріспе

1930 жылы туған) Стивен Смейл (Stephen Smale) – американдық математик, топология, динамикалық жүйелер және математикалық экономика салаларындағы зерттеулерімен белгілі. 1966 жылы Филдс медалімен марапатталды және үштен астам онжылдық бойы Калифорния университетінің Берклидегі математика факультетінде қызмет етті (1960–1961 және 1964–1995), қазіргі уақытта зейнеткер профессор болып табылады. Оның ғылыми қызығушылықтары алгоритмдер, сандық талдау және жаһандық талдау саласын қамтиды.

Зерттеу

Смел екі өлшемді сфераның бағдарланған диффеоморфизм тобының 3 × 3 матрицалардың арнайы ортогоналдық тобымен бірдей гомотопиялық типі бар екенін дәлелдеді. Смел теоремасы бірнеше рет дәлелденіп, кеңейтілді, әсіресе жоғары өлшемдерде Смел болжамы түрінде, сондай-ақ басқа топологиялық түрлерге де қатысты. Басқа ерте жұмыстарында ол екі өлшемді сфераның Евклид кеңістігіне енуін зерттеді. Стифель көптүрлілігінің алгебралық топологиясына ену теориясын байланыстыра отырып, ол екі енудің енулер отбасы арқылы бір-біріне деформациялануын толыққанды түсіндіре алды. Оның нәтижелерінен сфераның үш өлшемді кеңістікке стандартты енуі (қоқысу арқылы) оның терісіне айналуға (қазір сфера эверсиясы деп аталады) деформацияланатыны шықты. Ол өз нәтижелерін жоғары өлшемді сфераларға да қолданды, ал оның докторанты Моррис Хирш оның жұмысын жалпы тегіс көптүрліліктердің енуіне дейін кеңейтті. Джон Нэштің изометриялық ену жұмысымен қатар, Хирш-Смел ену теориясы Михаил Громовтың h-принципін дамытудағы ерте жұмысына үлкен әсер етті, ол олардың идеяларын енуден басқа контексттерге абстракциялап қолданды. Динамикалық жүйелерді зерттеуде Смел қазір Морзе-Смел жүйесі деп аталатын жүйені енгізді. Осы динамикалық жүйелер үшін Смел Морзе теңсіздіктерін дәлелдеді, бұл негізгі кеңістіктің когомологиясын тұрақсыз манифольдтардың өлшемдерімен байланыстырады. Бұл нәтижелердің маңызды бөлігі Смел теоремасында кез келген Морзе функциясының градиенттік ағыны жабық орбиталарсыз Морзе-Смел жүйесімен кез келген дәлдікпен жуықтатылуы мүмкін деген тұжырымдамада жатыр. Осы құралдарды пайдаланып, Смел өзін-өзі индекстейтін Морзе функцияларын құрастыра алды, онда функцияның мәні кез келген сындық нүктеде оның Морзе индексіне тең. Осы өзін-өзі индекстейтін Морзе функцияларын негізгі құрал ретінде пайдаланып, Смел төрттен жоғары өлшемдегі жалпыланған Пуанкаре болжамын шешті. Осы жұмыстардың негізінде ол келесі жылы h-кобордизм теоремасын және жай ғана байланысқан бес өлшемді тегіс көптүрліліктердің толық жіктелуін орнатты. Смел сонымен қатар жылқының ілгегі картасын енгізді, бұл кейінгі көптеген зерттеулерге түрткіс берді. Ол сондай-ақ көптеген басқалар жүргізген зерттеу бағдарламасын белгіледі. Смел Морзе теориясын математикалық экономикаға енгізгенімен, сондай-ақ есептеудің әртүрлі теорияларын зерттегенімен де белгілі. 1998 жылы ол 21-ғасырда шешілуге тиіс математикадағы 18 проблеманың тізімін жасады, олар Смел проблемалары деп аталды. Бұл тізім 1900 жылы Хилберт жасаған атақты проблемалар тізімінің рухында жасалды. Шындығында, Смел тізімінде Хилберттің бастапқы проблемаларының кейбіреулері бар, соның ішінде Риман гипотезасы және Хилберттің он алтыншы проблемасының екінші жартысы, екеуі де әлі шешілмеген. Оның тізіміндегі басқа да танымал проблемаларға Пуанкаре болжамы (қазір теорема, Григорий Перельман дәлелдеді), P = NP проблемасы және Навье-Стокстің теңдеулері кіреді, олардың барлығы Клей математика институтымен Мыңжылдық сыйлық проблемалары деп белгіленді.

Smale proved that the oriented diffeomorphism group of the two dimensional sphere has the same homotopy type as the special orthogonal group of 3 × 3 matrices. Smale's theorem has been reproved and extended a few times, notably to higher dimensions in the form of the Smale conjecture, as well as to other topological types. In another early work, he studied the immersions of the two dimensional sphere into Euclidean space. By relating immersion theory to the algebraic topology of Stiefel manifolds, he was able to fully clarify when two immersions can be deformed into one another through a family of immersions. Directly from his results it followed that the standard immersion of the sphere into three dimensional space can be deformed (through immersions) into its negation, which is now known as sphere eversion. He also extended his results to higher dimensional spheres, and his doctoral student Morris Hirsch extended his work to immersions of general smooth manifolds. Along with John Nash's work on isometric immersions, the Hirsch–Smale immersion theory was highly influential in Mikhael Gromov's early work on development of the h principle, which abstracted and applied their ideas to contexts other than that of immersions. In the study of dynamical systems, Smale introduced what is now known as a Morse–Smale system. For these dynamical systems, Smale was able to prove Morse inequalities relating the cohomology of the underlying space to the dimensions of the (un)stable manifolds. Part of the significance of these results is from Smale's theorem asserting that the gradient flow of any Morse function can be arbitrarily well approximated by a Morse–Smale system without closed orbits. Using these tools, Smale was able to construct self indexing Morse functions, where the value of the function equals its Morse index at any critical point. Using these self indexing Morse functions as a key tool, Smale resolved the generalized Poincaré conjecture in every dimension greater than four. Building on these works, he also established the more powerful h cobordism theorem the following year, together with the full classification of simply connected smooth five dimensional manifolds. Smale also introduced the horseshoe map, inspiring much subsequent research. He also outlined a research program carried out by many others. Smale is also known for injecting Morse theory into mathematical economics, as well as recent explorations of various theories of computation. In 1998 he compiled a list of 18 problems in mathematics to be solved in the 21st century, known as Smale's problems. This list was compiled in the spirit of Hilbert's famous list of problems produced in 1900. In fact, Smale's list contains some of the original Hilbert problems, including the Riemann hypothesis and the second half of Hilbert's sixteenth problem, both of which are still unsolved. Other famous problems on his list include the Poincaré conjecture (now a theorem, proved by Grigori Perelman), the P = NP problem, and the Navier–Stokes equations, all of which have been designated Millennium Prize Problems by the Clay Mathematics Institute.