Кіріспе
Топ теориясындағы саналатын топтың түрі Математикада, топ теориясы саласында, саналатын топ SQ әмбебап деп аталады, егер әрбір саналатын топ оның үлестік топтарының біріне еніп алса. SQ әмбебаптылығын топтың үлкендігі мен күрделілігінің өлшемі ретінде қарастыруға болады.
In mathematics, in the realm of group theory, a countable group is said to be SQ universal if every countable group can be embedded in one of its quotient groups. SQ universality can be thought of as a measure of largeness or complexity of a group.
Тарих
Комбинаторлық топ теориясының 1949 жылға дейінгі көптеген классикалық нәтижелері қазір белгілі бір топ немесе топтар класы SQ әмбебап деп түсіндіріледі. Алайда терминнің алғашқы нақты қолданылуы Питер Нойманның Лондон алгебрасы коллоквиумына берген "SQ әмбебап топтар" атты жолдауында 1968 жылы 23 мамырда болған сияқты.
Басқа санаттардағы біліктіліктердің жалпылығы
Егер is категориясы болса және ол объектінің класы болса, онда SQ универсалдың анықтамасы анық мағыналы. Егер нақты категория болса, онда жалпыға бірдей SQ анықтамасы да мағыналы. Топтық теориялық жағдайда сияқты, біз SQ әмбебап термині SQ әмбебап болып табылатын объект үшін де, саналатын объектілер класында да пайдаланамыз. Көптеген кіріктіру теоремаларын SQ әмбебаптығы тұрғысынан қайталап айтуға болады. Ширшов теоремасы бойынша шекті немесе саналатын өлшемді Лай алгебрасы 2 генераторлы Лай алгебрасына енуі мүмкін, бұл 2 генераторлы еркін Лай алгебрасы SQ әмбебап (Лай алгебрасы санатында) деген мәлімдемеге тең. Бұл Хигман, Нейман, Нейман теоремасының Ли алгебрасы үшін нұсқасын дәлелдеу арқылы дәлелденуі мүмкін. Алайда HNN теоремасының нұсқалары еркін объект туралы нақты түсінік жоқ санаттар үшін дәлелденуі мүмкін. Мысалы, әрбір бөлінуге болатын топологиялық топ екі топологиялық генераторы бар топтың топологиялық кіші тобына изоморфты (яғни тығыздықты 2 генераторлы кіші тобы бар) екенін дәлелдеуге болады. Осыған ұқсас түсінік еркін торлар үшін де қолданылады. Үш генератордағы бос тор сансыз. Оның субрешеті ретінде төрт генератордағы еркін решеті, ал индукция арқылы субрешеті ретінде саналатын сандағы генератордағы еркін решеті бар.
Many embedding theorems can be restated in terms of SQ universality. Shirshov's Theorem that a Lie algebra of finite or countable dimension can be embedded into a 2 generator Lie algebra is equivalent to the statement that the 2 generator free Lie algebra is SQ universal (in the category of Lie algebras). This can be proved by proving a version of the Higman, Neumann, Neumann theorem for Lie algebras. However versions of the HNN theorem can be proved for categories where there is no clear idea of a free object. For instance it can be proved that every separable topological group is isomorphic to a topological subgroup of a group having two topological generators (that is, having a dense 2 generator subgroup). A similar concept holds for free lattices. The free lattice in three generators is countably infinite. It has, as a sublattice, the free lattice in four generators, and, by induction, as a sublattice, the free lattice in a countable number of generators.