Введение
Тип считываемой группы в теории групп В математике, в области теории групп, считываемая группа называется универсальной, если каждая считываемая группа может быть встроена в одну из своих групп-долей. Универсальность SQ может рассматриваться как мера величины или сложности группы.
In mathematics, in the realm of group theory, a countable group is said to be SQ universal if every countable group can be embedded in one of its quotient groups. SQ universality can be thought of as a measure of largeness or complexity of a group.
История
Многие классические результаты комбинаторной теории групп, восходящие к 1949 году, теперь интерпретируются как заявление о том, что конкретная группа или класс групп является универсальным. Однако первое явное использование термина, кажется, было в обращении, данном Питером Нейманном в Лондонском алгебраическом коллоквиуме под названием "Универсальные группы SQ" 23 мая 1968 года.
Универсальность квалификации в других категориях
Если is категория и is класс объектов , то определение SQ универсального для явно имеет смысл. Если это конкретная категория, то определение SQ универсальное также имеет смысл. Как и в теоретическом случае группы, мы используем термин SQ универсальный для объекта, который является SQ универсальным как для, так и в классе считываемых объектов. Многие встраивающие теоремы могут быть переформулированы с точки зрения универсальности SQ. Теорема Ширшова о том, что алгебра Ли конечного или считываемого измерения может быть встроена в алгебру Ли генератора 2, эквивалентна утверждению о том, что алгебра Ли свободная от генератора 2 универсальна (в категории алгебр Ли). Это можно доказать, доказав версию теоремы Хигмана, Неймана, Неймана для алгебр Ли. Однако версии теоремы HNN могут быть доказаны для категорий, где нет четкого представления о свободном объекте. Например, можно доказать, что каждая отделяемая топологическая группа изоморфна топологической подгруппе группы, имеющей два топологических генератора (то есть, имеющей плотную подгруппу генератора 2). Аналогичная концепция применима к свободным решеткам. Свободная решетка в трех генераторах бесконечна. Она имеет в качестве подсети свободную сетку в четырех генераторах, а по индукции в качестве подсети свободную сеть в считанном количестве генераторов.
Many embedding theorems can be restated in terms of SQ universality. Shirshov's Theorem that a Lie algebra of finite or countable dimension can be embedded into a 2 generator Lie algebra is equivalent to the statement that the 2 generator free Lie algebra is SQ universal (in the category of Lie algebras). This can be proved by proving a version of the Higman, Neumann, Neumann theorem for Lie algebras. However versions of the HNN theorem can be proved for categories where there is no clear idea of a free object. For instance it can be proved that every separable topological group is isomorphic to a topological subgroup of a group having two topological generators (that is, having a dense 2 generator subgroup). A similar concept holds for free lattices. The free lattice in three generators is countably infinite. It has, as a sublattice, the free lattice in four generators, and, by induction, as a sublattice, the free lattice in a countable number of generators.