Сандарды көрсету жүйелері

Кіріспе

Сандарды өрнектеу нотациясы
Сандарды символдармен өрнектеу

Сандық жүйе – сандарды өрнектеуге арналған жазу жүйесі; яғни, белгілі бір жиынның сандарын цифрларды немесе басқа да символдарды тұрақты түрде пайдаланып бейнелеудің математикалық нотациясы. Символдардың бірдей тізбегі әртүрлі сандық жүйелерде әртүрлі сандарды білдіруі мүмкін. Мысалы, "11" ондық сандық жүйеде он бір санды (қазіргі таңда әлемдегі ең көп таралған жүйе), екілік сандық жүйеде үш санды (қазіргі компьютерлерде қолданылады) және бірлік сандық жүйеде екі санды (есептеулерде қолданылады) білдіреді. Сандық жүйенің көрсететін саны оның мәні деп аталады. Барлық сандық жүйелер бірдей сандар жиынтығын көрсете алмайды; мысалы, римдік сандар нөл санын көрсете алмайды. Идеалды жағдайда, сандық жүйе:
Пайдалы сандар жиынтығын (мысалы, барлық бүтін сандар немесе рационалды сандарды) көрсетеді.
Көрсетілген әрбір санға бірегей бейнелеуді (немесе кемінде стандартты бейнелеуді) береді.
Сандардың алгебралық және арифметикалық құрылымын көрсетеді. Мысалы, әдеттегі ондық өрнектеу әрбір нөлден өзге табиғи санға нөлден өзге цифрмен басталатын шекті цифрлар тізбегі түрінде бірегей бейнелеу береді. Сандық жүйелерді кейде сан жүйелері деп те атайды, бірақ бұл атау екіұшты, себебі ол сандардың әртүрлі жүйелеріне, мысалы, нақты сандар жүйесіне, кешенді сандар жүйесіне, p-адық сандар жүйесіне және т.б. сілтеме жасай алады. Алайда, мұндай жүйелер осы мақаланың тақырыбы емес.

Негізгі сандық жүйелер

Сандардың ең көп қолданылатын жүйесі ондық жүйе болып табылады. Үнді математиктері бүтін сандар жүйесін, индус-араб сандық жүйесін жасағандары үшін мақталады. Кусумапуралық Арьябхата 5-ғасырда орындық мәнді белгілеуді, ал бір ғасырдан кейін Брахмагупта нөлдің символын енгізді. Бұл жүйе Үндістанмен сауда және әскери байланыстар арқылы Арабия және басқа да аймақтарға баяу тарады. Таяу Шығыс математиктері жүйені 10-ның теріс дәрежелерін (бөлшектерді) қосуға кеңейтті, бұл туралы Сириялық математик Әбу'л Хасан әл-Уклидиси 952–953 жылдардағы трактатында жазған, ал ондық үзіліс белгісін және араб сандары туралы алғашқы трактатты жазған Синд ибн Али енгізді. Содан кейін, саудагерлердің саудасы арқасында индус-араб жүйесі Еуропаға тарады, ал Еуропада қолданылатын цифрлар араб цифрлары деп аталды, себебі олар оларды арабтардан үйренді. Ең қарапайым сандық жүйе – унитарлық жүйе, онда әрбір табиғи сан сәйкес символдар санымен көрсетіледі. Мысалы, егер символ таңдалса, жеті саны Tally белгілерімен көрсетіледі, бұл әлі де кең таралған жүйелердің бірі. Унитарлық жүйе кішкентай сандар үшін ғана пайдалы, бірақ теориялық компьютер ғылымында маңызды рөл атқарады. Деректерді сығу үшін жиі қолданылатын Элиас гамма кодтамасы, екілік санның ұзындығын көрсету үшін унитарды қолдану арқылы кез келген мөлшердегі санды білдіреді. Унитарлық белгілеуді белгілі бір жаңа мәндер үшін әртүрлі символдарды енгізу арқылы қысқартуға болады. Көбінесе бұл мәндер 10-ның дәрежелері болады; мысалы, егер / біртін, - онды және + жүзді білдірсе, онда 304 санын компактты түрде көрсетуге болады, ал 123 санын нөлді қажетсіз ету арқылы көрсетуге болады. Бұл белгілік мәндік белгілеу деп аталады. Ежелгі Египет сандық жүйесі осы типтегі сандар жүйесіне жатады, ал Рим сандық жүйесі осы идеяның өзгертілген түрі болды. Символдардың қайталануы үшін арнайы аббревиатураларды қолданатын жүйелер де пайдалырақ, мысалы, осы аббревиатуралар үшін әліпбидің алғашқы тоғыз әрпін қолдану, A – «бір рет», B – «екі рет» және т.б. Бұл жүйе қытай сандарын және басқа да шығыс азиялық сандарды қытай тілінде жазу үшін қолданылады. Ағылшын тіліндегі сандар жүйесі осы типті («үш жүз [және] төрт»), басқа тілдердегідей, олар қолданған жазу жүйесіне қарамастан. Дегенмен, көптеген тілдерде негіздердің қоспалары және басқа да ерекшеліктер қолданылады, мысалы, француз тілінде 79 – soixante dix neuf (60 + 10 + 9), ал валлий тілінде – pedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)) немесе (сәл архаикалық) pedwar ugain namyn un (4 × 20 − 1). Ағылшын тілінде «87 жыл бұрын» деп «төрт сағаттан кем» деп айтуға болады, мысалы, әйгілі Геттисбург сөйлесуінде «87 жыл бұрын» «төрт сағаттан жеті жыл бұрын» деп жазылған. Одан да сәндісі – орындық жүйе, оны орындық мәндік белгілеу деп те атайды. Тағы да 10-дық негізде жұмыс істеу үшін он түрлі цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 қолданылады және цифрдің орны осы цифрді қандай дәрежеге көбейту керектігін көрсетеді, мысалы, 3×102 + 0×101 + 4×100 немесе дәлірек айтқанда. Басқа жүйелерде қажет емес нөл, мұнда дәрежелерді «өткіріп өтуге» өте маңызды. Үндістанда пайда болған және қазір әлемде қолданылатын индус-араб сандық жүйесі – 10-дық негіздегі орындық жүйе. Орындық жүйелерде арифметика ертерек қосымша жүйелерге қарағанда әлдеқайда оңай; сонымен қатар, қосымша жүйелерге 10-ның әртүрлі дәрежелері үшін көптеген әртүрлі символдар қажет, ал орындық жүйеге тек он символ қажет (оның негізі 10-ды қолданатынын болжамдай отырып). Орындық ондық жүйе қазіргі уақытта адам жазуында әмбебап түрде қолданылады. 1000-дық негіз де (әмбебап емес болса да) цифрларды топтастыру арқылы қолданылады, үш ондық цифрдың тізбесін бір цифр ретінде қарастырады. Бұл өте үлкен сандар үшін қолданылатын жалпы белгіленуі 1,000,234,567 мәнін білдіреді. Компьютерлерде негізгі сандық жүйелер 2-ге негізделген орындық жүйеге негізделген (екілік сандық жүйе), екі екілік цифр, 0 және 1. Екілік цифрларды үшке (сегіздік сандық жүйе) немесе төртеуге (он алтылық сандық жүйе) топтастыру арқылы алынған орындық жүйелер жиі қолданылады. Өте үлкен бүтін сандар үшін 232 немесе 264 негіздері қолданылады (екілік цифрларды 32 немесе 64 арқылы топтастыру, машиналық сөздің ұзындығы), мысалы, GMP-де. Кейбір биологиялық жүйелерде унитарлық кодтау жүйесі қолданылады. Құстардың әнін шығаратын нейрондық тізбектерінде қолданылатын унитарлық сандар. Құстардың әнін үйрену мен шығаруда маңызды рөл атқаратын әнші құстардың миының ядросы – HVC (жоғары дауыстық орталық). Құс әнінің әр түрлі ноталарына арналған командалық сигналдар HVC-нің әртүрлі нүктелерінен шығады. Бұл кодтау кеңістіктік кодтау ретінде жұмыс істейді, бұл биологиялық тізбектер үшін оның қарапайымдылығы мен беріктігіне байланысты тиімді стратегия. Цифрлармен немесе символдармен сандарды жазу кезінде қолданылатын сандарды екі типке бөлуге болады: арифметикалық сандар (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) және геометриялық сандар (1, 10, 100, 1000, 10000), сәйкесінше. Белгілік мәндік жүйелер тек геометриялық сандарды қолданады, ал орындық жүйелер тек арифметикалық сандарды қолданады. Белгілік мәндік жүйеге арифметикалық сандардың қажеті жоқ, себебі олар қайталану арқылы жасалады (Иониялық жүйеден басқа), ал орындық жүйеге геометриялық сандардың қажеті жоқ, себебі олар орнымен жасалады. Дегенмен, сөйлеу тілінде арифметикалық және геометриялық сандардың екеуі де қолданылады. Компьютер ғылымының кейбір салаларында, 1, 2, ..., k цифрлары бар (k ≥ 1) және нөл бос жолмен көрсетілетін өзгертілген k-негізді орындық жүйе қолданылады. Бұл барлық мұндай цифрлар тізбегінің жиыны мен оң емес бүтін сандар жиыны арасында биекцияны орнатады, бастың нөлдерінен туындаған бірегейліксіздікті болдырмайды. Биективті k-негізді сандық жүйе k-адық нотация деп те аталады, оны p-адық сандармен шатастырмау керек. Биективті 1-негізді унитарлыққа тең.

The most commonly used system of numerals is decimal. Indian mathematicians are credited with developing the integer version, the Hindu–Arabic numeral system. Aryabhata of Kusumapura developed the place value notation in the 5th century and a century later Brahmagupta introduced the symbol for zero. The system slowly spread to other surrounding regions like Arabia due to their commercial and military activities with India. Middle Eastern mathematicians extended the system to include negative powers of 10 (fractions), as recorded in a treatise by Syrian mathematician Abu'l Hasan al Uqlidisi in 952–953, and the decimal point notation was introduced by Sind ibn Ali, who also wrote the earliest treatise on Arabic numerals. The Hindu–Arabic numeral system then spread to Europe due to merchants trading, and the digits used in Europe are called Arabic numerals, as they learned them from the Arabs. The simplest numeral system is the unary numeral system, in which every natural number is represented by a corresponding number of symbols. If the symbol is chosen, for example, then the number seven would be represented by Tally marks represent one such system still in common use. The unary system is only useful for small numbers, although it plays an important role in theoretical computer science. Elias gamma coding, which is commonly used in data compression, expresses arbitrary sized numbers by using unary to indicate the length of a binary numeral. The unary notation can be abbreviated by introducing different symbols for certain new values. Very commonly, these values are powers of 10; so for instance, if / stands for one, − for ten and + for 100, then the number 304 can be compactly represented as and the number 123 as without any need for zero. This is called sign value notation. The ancient Egyptian numeral system was of this type, and the Roman numeral system was a modification of this idea. More useful still are systems which employ special abbreviations for repetitions of symbols; for example, using the first nine letters of the alphabet for these abbreviations, with A standing for "one occurrence", B "two occurrences", and so on, one could then write C+ D/ for the number 304. This system is used when writing Chinese numerals and other East Asian numerals based on Chinese. The number system of the English language is of this type ("three hundred [and] four"), as are those of other spoken languages, regardless of what written systems they have adopted. However, many languages use mixtures of bases, and other features, for instance 79 in French is soixante dix neuf (60 + 10 + 9) and in Welsh is pedwar ar bymtheg a thrigain (4 + (5 + 10) + (3 × 20)) or (somewhat archaic) pedwar ugain namyn un (4 × 20 − 1). In English, one could say "four score less one", as in the famous Gettysburg Address representing "87 years ago" as "four score and seven years ago". More elegant is a positional system, also known as place value notation. Again working in base 10, ten different digits 0, , 9 are used and the position of a digit is used to signify the power of ten that the digit is to be multiplied with, as in or more precisely 3×102 + 0×101 + 4×100. Zero, which is not needed in the other systems, is of crucial importance here, in order to be able to "skip" a power. The Hindu–Arabic numeral system, which originated in India and is now used throughout the world, is a positional base 10 system. Arithmetic is much easier in positional systems than in the earlier additive ones; furthermore, additive systems need a large number of different symbols for the different powers of 10; a positional system needs only ten different symbols (assuming that it uses base 10). The positional decimal system is presently universally used in human writing. The base 1000 is also used (albeit not universally), by grouping the digits and considering a sequence of three decimal digits as a single digit. This is the meaning of the common notation 1,000,234,567 used for very large numbers. In computers, the main numeral systems are based on the positional system in base 2 (binary numeral system), with two binary digits, 0 and 1. Positional systems obtained by grouping binary digits by three (octal numeral system) or four (hexadecimal numeral system) are commonly used. For very large integers, bases 232 or 264 (grouping binary digits by 32 or 64, the length of the machine word) are used, as, for example, in GMP. In certain biological systems, the unary coding system is employed. Unary numerals used in the neural circuits responsible for birdsong production. The nucleus in the brain of the songbirds that plays a part in both the learning and the production of bird song is the HVC (high vocal center). The command signals for different notes in the birdsong emanate from different points in the HVC. This coding works as space coding which is an efficient strategy for biological circuits due to its inherent simplicity and robustness. The numerals used when writing numbers with digits or symbols can be divided into two types that might be called the arithmetic numerals (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) and the geometric numerals (1, 10, 100, 1000, 10000 ), respectively. The sign value systems use only the geometric numerals and the positional systems use only the arithmetic numerals. A sign value system does not need arithmetic numerals because they are made by repetition (except for the Ionic system), and a positional system does not need geometric numerals because they are made by position. However, the spoken language uses both arithmetic and geometric numerals. In some areas of computer science, a modified base k positional system is used, called bijective numeration, with digits 1, 2, , k (k ≥ 1), and zero being represented by an empty string. This establishes a bijection between the set of all such digit strings and the set of non negative integers, avoiding the non uniqueness caused by leading zeros. Bijective base k numeration is also called k adic notation, not to be confused with p adic numbers. Bijective base 1 is the same as unary.