Кіріспе
Физика мен математикада псевдовектор (немесе осьтік вектор) – көп жағдайда вектор сияқты қасиет көрсететін, бірақ объект айналу, жылжу, көріну және т.б. арқылы қатаң түрлендірілгенде бағыты өзгермейтін физикалық шама. Бұл кеңістіктің бағдары өзгерген кезде де орын алуы мүмкін. Мысалы, бұрыштық момент псевдовектор болып табылады, себебі ол көбінесе вектор ретінде сипатталады, бірақ сілтеме нүктесін (және орын векторын) өзгерту арқылы бұрыштық момент бағытын кері қайтаруға болады, бұл нағыз векторларға (полярлық векторлар деп те аталады) тән емес. Псевдовектордың бір мысалы – бағытталған жазықтықтың нормалі. Бағытталған жазықтықты жазықтықты қамтитын және параллель емес а және b екі вектормен анықтауға болады. a × b векторы жазықтықтың нормалі болып табылады (екі нормаль бар, әр жағында біреуі – оң қол ережесі қайсысын анықтайды) және псевдовектор болып табылады. Бұл компьютерлік графикада маңызды, себебі беттік нормальдарды түрлендіргенде ескеру қажет. Үш өлшемде полярлық векторлық өрістің доғасы және екі полярлық вектордың векторлық көбейтіндісі псевдовекторлар болып табылады. Физикада көптеген шамалар полярлық векторлардың орнына псевдовекторлар ретінде қасиет көрсетеді, олардың ішінде магниттік өріс және бұрыштық жылдамдық бар. Математикада үш өлшемде псевдовекторлар бивекторларға тең, олардан псевдовекторлардың түрлену ережелерін шығаруға болады. Жалпы алғанда, n өлшемді геометриялық алгебрада псевдовекторлар алгебраның n – 1 өлшемді элементтері болып табылады, олар ⋀n−1Rn деп жазылады. "Псевдо" атауы псевдоскалярлар мен псевдотензорларға одан әрі жалпыланады, олардың екеуі де нағыз скаляр немесе тензормен салыстырғанда дұрыс емес айналымдарда қосымша таңба өзгертуге ұшырайды.
In physics and mathematics, a pseudovector (or axial vector) is a quantity that behaves like a vector in many situations, but its direction does not conform when the object is rigidly transformed by rotation, translation, reflection, etc. This can also happen when the orientation of the space is changed. For example, the angular momentum is a pseudovector because it is often described as a vector, but by just changing the position of reference (and changing the position vector), angular momentum can reverse direction, which is not supposed to happen with true vectors (also known as polar vectors). One example of a pseudovector is the normal to an oriented plane. An oriented plane can be defined by two non parallel vectors, a and b, that span the plane. The vector a × b is a normal to the plane (there are two normals, one on each side – the right hand rule will determine which), and is a pseudovector. This has consequences in computer graphics, where it has to be considered when transforming surface normals. In three dimensions, the curl of a polar vector field at a point and the cross product of two polar vectors are pseudovectors. A number of quantities in physics behave as pseudovectors rather than polar vectors, including magnetic field and angular velocity. In mathematics, in three dimensions, pseudovectors are equivalent to bivectors, from which the transformation rules of pseudovectors can be derived. More generally, in n dimensional geometric algebra, pseudovectors are the elements of the algebra with dimension n − 1, written ⋀n−1Rn. The label "pseudo " can be further generalized to pseudoscalars and pseudotensors, both of which gain an extra sign flip under improper rotations compared to a true scalar or tensor.
Ресмилендіру
Псевдовекторларды формализациялаудың бір жолы мынадай: егер V – n өлшемді векторлық кеңістік болса, онда V псевдовекторы V-нің (n − 1)-сыртқы қуатының элементі болып табылады: ⋀n−1(V). V псевдовекторлары V-мен бірдей өлшемді векторлық кеңістік құрайды. Бұл анықтама дұрыс емес айналымдар кезінде таңба өзгертуін талап ететін анықтамамен тең емес, бірақ ол барлық векторлық кеңістіктерге қатысты. Атап айтқанда, n жұп болса, мұндай псевдовектор таңба өзгертуін бастан кешпейді, ал V негізгі өрісінің сипаттамасы 2 болса, таңба өзгертуінің әсері болмайды. Әйтпесе, анықтамалар эквивалентті, бірақ қосымша құрылымсыз (әсіресе, көлемдік форма немесе бағдар) ⋀n−1(V) пен V арасында табиғи сәйкестік жоқ екенін есте ұстау керек.
This definition is not equivalent to that requiring a sign flip under improper rotations, but it is general to all vector spaces. In particular, when n is even, such a pseudovector does not experience a sign flip, and when the characteristic of the underlying field of V is 2, a sign flip has no effect. Otherwise, the definitions are equivalent, though it should be borne in mind that without additional structure (specifically, either a volume form or an orientation), there is no natural identification of ⋀n−1(V) with V.
Another way to formalize them is by considering them as elements of a representation space for Vectors transform in the fundamental representation of with data given by , so that for any matrix in , one has Pseudovectors transform in a pseudofundamental representation , with Another way to view this homomorphism for odd is that in this case Then is a direct product of group homomorphisms; it is the direct product of the fundamental homomorphism on with the trivial homomorphism on .
Оларды формализациялаудың тағы бір жолы – оларды векторлардың негізгі өкілдігіндегі векторлардың өкілдік кеңістігінің элементтері ретінде қарастыру. Векторлар деректермен берілген негізгі өкілдікте түрленеді , сондықтан кез келген матрица үшін , псевдовекторлар псевдонегізгі өкілдікте түрленеді , басқаша айтқанда. Бұл гомоморфизмді қарастырудың тағы бір жолы, егер n тақ болса, онда бұл жағдайда – топтық гомоморфизмдердің тікелей қосындысы; ол үстіндегі негізгі гомоморфизмнің және үстіндегі тривиальды гомоморфизмнің тікелей қосындысы болып табылады.
This definition is not equivalent to that requiring a sign flip under improper rotations, but it is general to all vector spaces. In particular, when n is even, such a pseudovector does not experience a sign flip, and when the characteristic of the underlying field of V is 2, a sign flip has no effect. Otherwise, the definitions are equivalent, though it should be borne in mind that without additional structure (specifically, either a volume form or an orientation), there is no natural identification of ⋀n−1(V) with V.
Another way to formalize them is by considering them as elements of a representation space for Vectors transform in the fundamental representation of with data given by , so that for any matrix in , one has Pseudovectors transform in a pseudofundamental representation , with Another way to view this homomorphism for odd is that in this case Then is a direct product of group homomorphisms; it is the direct product of the fundamental homomorphism on with the trivial homomorphism on .
Геометриялық алгебра
Геометриялық алгебрада негізгі элементтер векторлар болып табылады, және олар осы алгебрадағы көбейтулердің анықтамаларын пайдаланып элементтердің иерархиясын құру үшін қолданылады. Атап айтқанда, алгебра векторлардан псевдовекторларды құрастырады. Геометриялық алгебрадағы негізгі көбейту – геометриялық көбейтінді, ол екі векторды ab түрінде жай ғана біріктіру арқылы белгіленеді. Бұл көбейтінді мынадай түрде өрнектеледі:
мұндағы жетекші мүше – әдеттегі векторлық нүктелік көбейтінді, ал екінші мүше – клин көбейтіндісі немесе сыртқы көбейтінді деп аталады. Алгебраның постулаттарын қолданып, нүктелік және клин көбейтулердің барлық комбинацияларын есептеуге болады. Әртүрлі комбинацияларды сипаттау үшін терминология ұсынылған. Мысалы, мультивектор – әртүрлі k мәндерінің k есе клин көбейтінділерінің қосындысы. k-есе клин көбейтіндісі k-жапырақ деп те аталады. Ағымдағы контексте псевдовектор – осы комбинациялардың бірі. Бұл термин кеңістіктің өлшемдеріне (яғни кеңістіктегі сызықтық тәуелсіз векторлардың санына) байланысты әртүрлі мультивекторға байланысты. Үш өлшемде ең жалпы 2-жапырақ немесе бивектор екі вектордың клин көбейтіндісі ретінде өрнектелуі мүмкін және псевдовектор болып табылады. Бірақ төрт өлшемде псевдовекторлар тривекторлар болып табылады. Жалпы, бұл (n − 1)-жапырақ, мұнда n – кеңістіктің және алгебраның өлшемдері. n өлшемді кеңістікте n негіздік векторлар және сонымен қатар n негіздік псевдовекторлар бар. Әрбір негіздік псевдовектор n негіздік векторлардың бірін қоспағанда, олардың барлық сыртқы (клин) көбейтіндісінен құрылады. Мысалы, негіздік векторларды {e1, e2, e3, e4} деп алған төрт өлшемде псевдовекторларды {e234, e134, e124, e123} деп жазуға болады.
Үш өлшемді трансформациялар
Псевдовектордың үш өлшемдегі түрлендіру қасиеттері Бейлис векторлық көбейтіндімен салыстырылды. Ол былай дейді: "Аксиалды вектор және псевдовектор терминдері көбінесе синонимдер ретінде қарастырылады, бірақ бивекторды оның дуалынан ажырату өте пайдалы." Бейлистің сөзін түсіндіру үшін: егер үш өлшемде екі полярлық вектор (яғни, нақты векторлар) a және b берілген болса, a және b-дан құралған векторлық көбейтіндісі 1 = c = a × b олардың жазықтығына перпендикуляр вектор болып табылады. Оң жақты ортонормалды негіз векторларының жиынтығы { eℓ } берілген кезде, векторлық көбейтінді оның компоненттері арқылы былай көрсетіледі:
where superscripts label vector components. On the other hand, the plane of the two vectors is represented by the exterior product or wedge product, denoted by a ∧ b. In this context of geometric algebra, this bivector is called a pseudovector, and is the Hodge dual of the cross product. The dual of e1 is introduced as e23 ≡ e2 ∧ e3, and so forth. That is, the dual of e1 is the subspace perpendicular to e1, namely the subspace spanned by e2 and e3. With this understanding,
For details, see The cross product and wedge product are related by:
where is called the unit pseudoscalar. It has the property:
Using the above relations, it is seen that if the vectors a and b are inverted by changing the signs of their components while leaving the basis vectors fixed, both the pseudovector and the cross product are invariant. On the other hand, if the components are fixed and the basis vectors eℓ are inverted, then the pseudovector is invariant, but the cross product changes sign. This behavior of cross products is consistent with their definition as vector like elements that change sign under transformation from a right handed to a left handed coordinate system, unlike polar vectors.
мұнда үстіңгі индекстер вектор компоненттерін белгілейді. Екінші жағынан, екі вектордың жазықтығы сыртқы көбейтінді немесе клиновидтік көбейтінді арқылы бейнеленеді, ол a ∧ b арқылы белгіленеді. Геометриялық алгебра контекстінде бұл бивектор псевдовектор деп аталады және ол векторлық көбейтіндінің Ходж дуалы болып табылады. e1 дуалы e23 ≡ e2 ∧ e3 және т.б. ретінде енгізіледі. Яғни, e1 дуалы e1-ге перпендикуляр кеңістік, атап айтқанда e2 және e3 арқылы құрылған кеңістік. Осы түсінікпен, толық мәлімет алу үшін қараңыз: Векторлық және клиновидтік көбейтінділер былай байланысты:
where superscripts label vector components. On the other hand, the plane of the two vectors is represented by the exterior product or wedge product, denoted by a ∧ b. In this context of geometric algebra, this bivector is called a pseudovector, and is the Hodge dual of the cross product. The dual of e1 is introduced as e23 ≡ e2 ∧ e3, and so forth. That is, the dual of e1 is the subspace perpendicular to e1, namely the subspace spanned by e2 and e3. With this understanding,
For details, see The cross product and wedge product are related by:
where is called the unit pseudoscalar. It has the property:
Using the above relations, it is seen that if the vectors a and b are inverted by changing the signs of their components while leaving the basis vectors fixed, both the pseudovector and the cross product are invariant. On the other hand, if the components are fixed and the basis vectors eℓ are inverted, then the pseudovector is invariant, but the cross product changes sign. This behavior of cross products is consistent with their definition as vector like elements that change sign under transformation from a right handed to a left handed coordinate system, unlike polar vectors.
мұнда бірлік псевдоскаляр деп аталады. Оның қасиеті:
where superscripts label vector components. On the other hand, the plane of the two vectors is represented by the exterior product or wedge product, denoted by a ∧ b. In this context of geometric algebra, this bivector is called a pseudovector, and is the Hodge dual of the cross product. The dual of e1 is introduced as e23 ≡ e2 ∧ e3, and so forth. That is, the dual of e1 is the subspace perpendicular to e1, namely the subspace spanned by e2 and e3. With this understanding,
For details, see The cross product and wedge product are related by:
where is called the unit pseudoscalar. It has the property:
Using the above relations, it is seen that if the vectors a and b are inverted by changing the signs of their components while leaving the basis vectors fixed, both the pseudovector and the cross product are invariant. On the other hand, if the components are fixed and the basis vectors eℓ are inverted, then the pseudovector is invariant, but the cross product changes sign. This behavior of cross products is consistent with their definition as vector like elements that change sign under transformation from a right handed to a left handed coordinate system, unlike polar vectors.
Жоғарыда көрсетілген қатынастарды пайдаланып, егер a және b векторлары өз компоненттерінің таңбаларын өзгерту арқылы инверттелсе, ал негіз векторлары өзгеріссіз қалса, псевдовектор да, векторлық көбейтінді де инвариант болады. Керісінше, егер компоненттер өзгеріссіз қалса, ал eℓ негіз векторлары инверттелсе, псевдовектор инвариант болады, бірақ векторлық көбейтіндінің таңбасы өзгереді. Векторлық көбейтіндінің бұл мінез-құлқы, олардың оң жақтыдан сол жақтыға координата жүйесіне ауысқанда таңбасын өзгертетін вектор сияқты элементтер ретіндегі анықтамасымен сәйкес келеді, полярлық векторлардан айырмашылығы.
where superscripts label vector components. On the other hand, the plane of the two vectors is represented by the exterior product or wedge product, denoted by a ∧ b. In this context of geometric algebra, this bivector is called a pseudovector, and is the Hodge dual of the cross product. The dual of e1 is introduced as e23 ≡ e2 ∧ e3, and so forth. That is, the dual of e1 is the subspace perpendicular to e1, namely the subspace spanned by e2 and e3. With this understanding,
For details, see The cross product and wedge product are related by:
where is called the unit pseudoscalar. It has the property:
Using the above relations, it is seen that if the vectors a and b are inverted by changing the signs of their components while leaving the basis vectors fixed, both the pseudovector and the cross product are invariant. On the other hand, if the components are fixed and the basis vectors eℓ are inverted, then the pseudovector is invariant, but the cross product changes sign. This behavior of cross products is consistent with their definition as vector like elements that change sign under transformation from a right handed to a left handed coordinate system, unlike polar vectors.
Пайдалану туралы ескерту
Бір қызығы, геометриялық алгебра саласындағы барлық авторлар псевдовектор терминін қолданбайды, ал кейбір авторлар псевдовектор мен векторлық көбейтуді (cross product) ажыратпайтын терминологияны қолданады. Дегенмен, векторлық көбейту үш өлшемнен басқа өлшемдерге жалпыланбайтындықтан, векторлық көбейтуге негізделген псевдовектор түсінігін басқа өлшемді кеңістікке де тарату мүмкін емес. Ал псевдовектор, n өлшемді кеңістіктегі 1=(n-1) қылыш (blade) ретінде, мұндай шектеулерге ұшырамайды. Тағы бір маңызды жайт, псевдовекторлар, атауына қарамастан, векторлық кеңістіктің элементтері болғандықтан, "векторлар" болып саналады. "Псевдовектор вектордан ерекше" деген пікір тек жоғарыда талқыланған "вектор" терминінің басқа, нақтырақ анықтамасымен ғана дұрыс.
the notion of pseudovector based upon the cross product also cannot be extended to a space of any other number of dimensions. The pseudovector as a 1=(n – 1) blade in an n dimensional space is not restricted in this way. Another important note is that pseudovectors, despite their name, are "vectors" in the sense of being elements of a vector space. The idea that "a pseudovector is different from a vector" is only true with a different and more specific definition of the term "vector" as discussed above.