Введение

Физическая величина, изменяющая знак при несобственном вращении.

В физике и математике псевдовектор (или аксиальный вектор) — это величина, которая во многих ситуациях ведёт себя как вектор, но её направление не сохраняется при жёстком преобразовании объекта вращением, переносом, отражением и т. д. Это также может происходить при изменении ориентации пространства. Например, угловой момент является псевдовектором, поскольку он часто описывается как вектор, но при простом изменении положения отсчёта (и изменении радиус-вектора) угловой момент может изменить направление, что не должно происходить с истинными векторами (также известными как полярные векторы). Одним из примеров псевдовектора является нормаль к ориентированной плоскости. Ориентированная плоскость может быть определена двумя непараллельными векторами, **a** и **b**, которые задают эту плоскость. Вектор **a** × **b** является нормалью к плоскости (существуют две нормали, по одной с каждой стороны – правило правой руки определяет, какая из них), и является псевдовектором. Это имеет последствия в компьютерной графике, где это необходимо учитывать при преобразовании нормалей поверхностей. В трёх измерениях, ротор поля полярных векторов в точке и векторное произведение двух полярных векторов являются псевдовекторами. Ряд физических величин ведут себя как псевдовекторы, а не как полярные векторы, включая магнитное поле и угловую скорость. В математике, в трёх измерениях, псевдовекторы эквивалентны бивекторам, из которых можно вывести правила преобразования псевдовекторов. В более общем случае, в n-мерной геометрической алгебре, псевдовекторы являются элементами алгебры размерности n − 1, записываемыми как ⋀n−1Rn. Приставка "псевдо" может быть дополнительно обобщена на псевдоскаляры и псевдотензоры, оба из которых испытывают дополнительное изменение знака при несобственных вращениях по сравнению с истинным скаляром или тензором.

Формализация

Один из способов формализации псевдовекторов выглядит следующим образом: если V — n-мерное векторное пространство, то псевдовектор V является элементом (n − 1)-й внешней степени V: ⋀n−1(V). Псевдовекторы V образуют векторное пространство той же размерности, что и V.

Это определение не эквивалентно определению, требующему смены знака при несобственных вращениях, но оно применимо ко всем векторным пространствам. В частности, когда n чётно, такой псевдовектор не меняет знак, а когда характеристика базового поля V равна 2, смена знака не оказывает влияния. В противном случае определения эквивалентны, хотя следует помнить, что без дополнительной структуры (в частности, объёмной формы или ориентации) не существует естественной идентификации ⋀n−1(V) с V.

Другой способ формализации псевдовекторов — рассматривать их как элементы пространства представлений для векторов, преобразующихся в фундаментальном представлении с данными, задаваемыми , так что для любой матрицы в , выполняется: псевдовекторы преобразуются в псевдофундаментальном представлении с . Другой взгляд на этот гомоморфизм для нечётного случая состоит в том, что в этом случае является прямым произведением гомоморфизмов группы; это прямое произведение фундаментального гомоморфизма на и тривиального гомоморфизма на .

Геометрическая алгебра

В геометрической алгебре основными элементами являются векторы, и они используются для построения иерархии элементов, используя определения произведений в этой алгебре. В частности, алгебра строит псевдовекторы из векторов. Основным умножением в геометрической алгебре является геометрическое произведение, обозначаемое простым написанием двух векторов рядом, как в ab. Это произведение выражается следующим образом: где первый член – обычное скалярное произведение векторов, а второй член называется клиновым произведением или внешним произведением. Используя постулаты алгебры, можно вычислить все комбинации скалярных и клиновых произведений. Предоставляется терминология для описания различных комбинаций. Например, мультивектор – это сумма клиновых произведений различных порядков k. Клиновое произведение порядка k также называют k-лезвием. В данном контексте псевдовектор является одной из таких комбинаций. Этот термин соответствует различным мультивекторам в зависимости от размерности пространства (то есть количества линейно независимых векторов в пространстве). В трех измерениях наиболее общее 2-лезвие или бивектор может быть выражено как клиновое произведение двух векторов и является псевдовектором. Однако в четырех измерениях псевдовекторы являются тривекторами. В общем случае это (n − 1)-лезвие, где n – размерность пространства и алгебры. В n-мерном пространстве имеется n базисных векторов и также n базисных псевдовекторов. Каждый базисный псевдовектор формируется как внешнее (клиновое) произведение всех, кроме одного из n базисных векторов. Например, в четырех измерениях, где базисные векторы заданы как {e1, e2, e3, e4}, псевдовекторы могут быть записаны как: {e234, e134, e124, e123}.

Трансформации в трех измерениях

Сравнение свойств преобразования псевдовектора в трех измерениях со свойствами векторного произведения было проведено Бейлисом. Он пишет: "Термины 'аксиальный вектор' и 'псевдовектор' часто используются как синонимы, однако полезно уметь различать бивектор и его дуальный". Перефразируя Бейлиса: для двух полярных векторов (то есть, истинных векторов) **a** и **b** в трех измерениях, векторное произведение, составленное из **a** и **b**, является вектором, нормальным к их плоскости, задаваемым как **c** = **a** × **b**. Для набора правосторонних ортонормальных базисных векторов {**eℓ**}, векторное произведение выражается через свои компоненты следующим образом:

где верхние индексы обозначают компоненты вектора. С другой стороны, плоскость, образованная двумя векторами, представляется внешним произведением или клиновым произведением, обозначаемым **a** ∧ **b**. В контексте геометрической алгебры этот бивектор называется псевдовектором и является двойственным к векторному произведению по Ходжу. Двойственный к **e1** определяется как **e23** ≡ **e2** ∧ **e3**, и так далее. То есть, двойственный к **e1** – это подпространство, перпендикулярное **e1**, а именно подпространство, порожденное **e2** и **e3**. При таком понимании,

Для получения подробностей, обратитесь к. Векторное и клиновое произведения связаны соотношением:

где **ε** называется единичным псевдоскаляром. Оно обладает свойством:

Используя вышеуказанные соотношения, можно увидеть, что если векторы **a** и **b** инвертируются путем изменения знаков их компонент при фиксированных базисных векторах, то и псевдовектор, и векторное произведение остаются инвариантными. С другой стороны, если компоненты фиксированы, а базисные векторы **eℓ** инвертируются, то псевдовектор остается инвариантным, а векторное произведение меняет знак. Такое поведение векторного произведения согласуется с его определением как элемента, подобного вектору, который меняет знак при переходе от правосторонней к левосторонней системе координат, в отличие от полярных векторов.

Примечание по использованию

В качестве замечания следует отметить, что не все авторы в области геометрической алгебры используют термин "псевдовектор", и некоторые придерживаются терминологии, не различающей псевдовектор и векторное произведение. Однако, поскольку векторное произведение не обобщается на пространства, отличные от трехмерных, понятие псевдовектора, основанное на векторном произведении, также нельзя распространить на пространство любой другой размерности. Псевдовектор, рассматриваемый как 1=(n–1)-лезвие в n-мерном пространстве, этим ограничением не связан. Важно также отметить, что псевдовекторы, несмотря на свое название, являются "векторами" в том смысле, что они являются элементами векторного пространства. Утверждение о том, что "псевдовектор отличается от вектора", справедливо лишь при другом, более узком определении термина "вектор", как было обсуждено выше.