Введение

Уравнение, описывающее эволюцию вихря жидкости при ее течении.

Уравнение вихря в гидродинамике описывает эволюцию вихря 'ω' частицы жидкости по мере ее движения в потоке; то есть, локальное вращение жидкости (в терминах векторного исчисления это ротор скорости потока). Управляющее уравнение имеет вид: где – оператор материальной производной, 'u' – скорость потока, ρ – локальная плотность жидкости, p – локальное давление, τ – тензор вязких напряжений, а 'B' представляет собой сумму внешних объемных сил. Первый член в правой части представляет собой растяжение вихря. Уравнение справедливо в отсутствие сосредоточенных моментов сил и линейных сил для сжимаемой ньютоновской жидкости. В случае несжимаемого потока (т.е. при малом числе Маха) и изотропных жидкостей с консервативными объемными силами, уравнение упрощается до уравнения переноса вихря: где ν – кинематическая вязкость, а – оператор Лапласа. При дальнейшем допущении о двумерном потоке уравнение упрощается до:

Физическая интерпретация

Термин с левой стороны – это материальная производная вектора вихря "ω". Он описывает скорость изменения вихря движущейся частицы жидкости. Это изменение может быть обусловлено неустановительностью потока (неустановивый член) или движением частицы жидкости при перемещении из одной точки в другую (('u' ∙ ∇)'ω', конвективный член). Термин ('ω' ∙ ∇) 'u' с правой стороны описывает растяжение или наклон вихря из-за градиентов скорости потока. Следует отметить, что ('ω' ∙ ∇) 'u' является векторной величиной, поскольку 'ω' ∙ ∇ – это скалярный дифференциальный оператор, а ∇'u' – девятикомпонентная тензорная величина. Термин 'ω'(∇ ∙ 'u') описывает растяжение вихря из-за сжимаемости потока. Это следует из уравнения Навье-Стокса для сохранения массы, а именно, где – удельный объем элемента жидкости. Можно рассматривать ∇ ∙ 'u' как меру сжимаемости потока. Иногда отрицательный знак включается в этот член. Термин – это бароклинический член. Он учитывает изменения вихря из-за пересечения поверхностей плотности и давления. Термин , описывает диффузию вихря из-за вязких эффектов. Термин ∇ × 'B' обеспечивает изменения, вызванные внешними объемными силами. Это силы, распределенные по трехмерной области жидкости, такие как сила тяжести или электромагнитные силы. (В отличие от сил, действующих только на поверхности (например, сопротивление стенки) или линии (например, поверхностное натяжение на мениске).)

Вывод

Уравнение вихря может быть выведено из уравнения Навье-Стокса, основанного на законе сохранения углового момента. При отсутствии сосредоточенных моментов сил и линейных сил, получаем:

Вихрь определяется как ротор вектора скорости потока; взятие ротора от уравнения движения приводит к искомому уравнению. В выводе уравнения полезны следующие тождества:

где φ – любое скалярное поле.

Атмосферные науки

В атмосферных науках уравнение вихря может быть записано через абсолютную вихрь воздуха относительно инерциальной системы отсчета или через вихрь относительно вращения Земли. Абсолютная форма выглядит следующим образом:

Здесь η – полярная (z) компонента вихря, ρ – плотность атмосферы, u, v и w – компоненты скорости ветра, а ∇h – двухмерный (то есть только горизонтальный) оператор набла.