Кіріспе
Математикада Ляпунов экспоненті немесе динамикалық жүйенің Ляпунов сипаттамалық экспоненті – инфинитезимальды жақын траекториялардың ажырасу жылдамдығын сипаттайтын шама. Сандық тұрғыдан алғанда, фазалық кеңістіктегі бастапқы ажырасу векторы бар екі траектория (егер дивергенцияны сызықтық жуықтаумен қарастыруға болады) Ляпунов экспонентімен берілген жылдамдықпен ажырасады:
In mathematics, the Lyapunov exponent or Lyapunov characteristic exponent of a dynamical system is a quantity that characterizes the rate of separation of infinitesimally close trajectories. Quantitatively, two trajectories in phase space with initial separation vector diverge (provided that the divergence can be treated within the linearized approximation) at a rate given by
where is the Lyapunov exponent. The rate of separation can be different for different orientations of initial separation vector. Thus, there is a spectrum of Lyapunov exponents—equal in number to the dimensionality of the phase space. It is common to refer to the largest one as the maximal Lyapunov exponent (MLE), because it determines a notion of predictability for a dynamical system. A positive MLE is usually taken as an indication that the system is chaotic (provided some other conditions are met, e. g., phase space compactness). Note that an arbitrary initial separation vector will typically contain some component in the direction associated with the MLE, and because of the exponential growth rate, the effect of the other exponents will be obliterated over time. The exponent is named after Aleksandr Lyapunov.
мұндағы – Ляпунов экспоненті. Ажырасу жылдамдығы бастапқы ажырасу векторының әртүрлі бағыттары үшін әртүрлі болуы мүмкін. Сондықтан, фазалық кеңістіктің өлшемділігіне тең Ляпунов экспоненттерінің спектрі болады. Ең үлкені максималды Ляпунов экспоненті (МЛЭ) деп аталады, себебі ол динамикалық жүйе үшін болжамдылық ұғымын анықтайды. Оң МЛЭ жүйенің хаотикалық екендігін көрсетеді (егер басқа шарттар орындалса, мысалы, фазалық кеңістіктің компакттығы). Кездейсоқ бастапқы ажырасу векторы әдетте МЛЭ-мен байланысты бағыт бойынша бірнеше компоненттерді қамтиды, ал экспоненциалды өсу жылдамдығының салдарынан, басқа экспоненттердің әсері уақыт өте келе жойылады. Бұл көрсеткіш Александр Ляпуновтың құрметіне аталған.
In mathematics, the Lyapunov exponent or Lyapunov characteristic exponent of a dynamical system is a quantity that characterizes the rate of separation of infinitesimally close trajectories. Quantitatively, two trajectories in phase space with initial separation vector diverge (provided that the divergence can be treated within the linearized approximation) at a rate given by
where is the Lyapunov exponent. The rate of separation can be different for different orientations of initial separation vector. Thus, there is a spectrum of Lyapunov exponents—equal in number to the dimensionality of the phase space. It is common to refer to the largest one as the maximal Lyapunov exponent (MLE), because it determines a notion of predictability for a dynamical system. A positive MLE is usually taken as an indication that the system is chaotic (provided some other conditions are met, e. g., phase space compactness). Note that an arbitrary initial separation vector will typically contain some component in the direction associated with the MLE, and because of the exponential growth rate, the effect of the other exponents will be obliterated over time. The exponent is named after Aleksandr Lyapunov.
Сандық есептеу
Жалпы, Ляпунов экспоненттерін жоғарыда көрсетілгендей аналитикалық түрде есептеу мүмкін емес, көп жағдайларда сандық әдістерді қолдану қажет. Хаотикалық траекториялардың экспоненциалдық айырылуының алғашқы демонстрациясын құраған ерте мысал 1964 жылы Р.Х. Миллер жасады. Қазіргі уақытта ең көп қолданылатын сандық процедура шекті уақыттың бірнеше жуықтамаларын орташа есептеу арқылы шектейтін матрицаны бағалайды. Тегіс динамикалық жүйе үшін Ляпунов спектрін есептеуге арналған ең көп қолданылатын және тиімді сандық әдістердің бірі – Ляпунов векторларын максималды кеңею бағытында бұрылмау үшін мерзімді Грам-Шмидт ортогонализациясын қолдану. Әртүрлі модельдердің Ляпунов спектрі сипатталған. Хенон картасы, Лоренц теңдеулері, кідіріс дифференциалдық теңдеуі және т.б. сияқты сызықтық емес жүйелердің бастапқы кодтары ұсынылған. Шектелген эксперименттік деректерден Ляпунов экспоненттерін есептеу үшін әртүрлі әдістер ұсынылды. Дегенмен, осы әдістерді қолдануда көптеген қиындықтар бар және мұндай мәселелерге сақ болу керек. Басты қиындық – деректер фазалық кеңістікті толық зерттемейді, керісінше, ол белгілі бір бағыттарда өте шектеулі (болса) кеңейтілген тартымдылықпен шектелген. Деректер жинағындағы осы жұқа немесе ерекше бағыттар көбінесе теріс экспоненттермен байланысты. Атрактордан шағын орын ауыстырулардың эволюциясын модельдеу үшін сызықтық емес түрлендірулерді қолдану, егер деректерде шу деңгейі өте төмен болса, Ляпунов спектрін қалпына келтіру мүмкіндігін айтарлықтай жақсартатыны көрсетілді. Деректердің ерекше сипаты және оның теріс экспоненттермен байланысы да зерттелді.
One of the most used and effective numerical techniques to calculate the Lyapunov spectrum for a smooth dynamical system relies on periodic Gram–Schmidt orthonormalization of the Lyapunov vectors to avoid a misalignment of all the vectors along the direction of maximal expansion. The Lyapunov spectrum of various models are described. Source codes for nonlinear systems such as the Hénon map, the Lorenz equations, a delay differential equation and so on are introduced. For the calculation of Lyapunov exponents from limited experimental data, various methods have been proposed. However, there are many difficulties with applying these methods and such problems should be approached with care. The main difficulty is that the data does not fully explore the phase space, rather it is confined to the attractor which has very limited (if any) extension along certain directions. These thinner or more singular directions within the data set are the ones associated with the more negative exponents. The use of nonlinear mappings to model the evolution of small displacements from the attractor has been shown to dramatically improve the ability to recover the Lyapunov spectrum, provided the data has a very low level of noise. The singular nature of the data and its connection to the more negative exponents has also been explored.
Жергілікті Ляпунов көрсеткіші
(Жалпы) Ляпунов экспоненті жүйенің жалпы болжамдылығын өлшейтін болса, кейде фазалық кеңістікте x0 нүктесінің маңындағы жергілікті болжамдылықты бағалауға қызығушылық туады. Мұны Якоб матрицасының J^(0)(x0) өзіндік мәндері арқылы іске асыруға болады. Бұл өзіндік мәндер жергілікті Ляпунов экспоненттері деп те аталады. (Назар салайық: жаһандық экспоненттерден өзгеше, бұл жергілікті экспоненттер координаталардың сызықтық емес түрленуі кезінде өзгермейді).
Шартты Ляпунов көрсеткіші
Бұл термин көбінесе хаостың синхрондалуына қатысты қолданылады, онда екі жүйе байланыстырылған, әдетте бір бағытты тәсілмен, сондықтан жетекші (немесе бас) жүйе және жауап беруші (немесе құл) жүйе болады. Шартты көрсеткіштер – бұл жауап беруші жүйенің көрсеткіштері, ал жетекші жүйе жай ғана (хаотикалық) жетекші сигналдың көзі ретінде қарастырылады. Барлық шартты көрсеткіштер теріс болғанда синхрондау орын алады.
Бағдарламалық жасақтама
Р. Хеггер, Х. Канц және Т. Шрайбер, Сызықтық емес уақыт тізбектерін талдау, TISEAN 3.0.1 (2007 жылдың наурызы). Scientio-ның ChaosKit өнімі, басқа хаостық өлшемдермен қатар, Ляпунов экспоненттерін есептейді. Онлайн веб-қызмет және Silverlight демо-нұсқасы арқылы қол жеткізуге болады. Доктор Рональд Джо Рекордтың математикалық ойын-сауық бағдарламалық қамтамасыз ету зертханасына күшпен берілген логистикалық картаның және бірлік аралығының басқа карталарының Ляпунов экспоненттерін графикалық түрде зерттеуге арналған X11 графикалық клиенті, lyap кіреді. Mathrec бағдарламалық қамтамасыз ету зертханасының мазмұны мен нұсқаулықтары да қолжетімді. Бұл беттегі бағдарламалық қамтамасыз ету экспоненттердің толық спектрін тиімді және дәл есептеу үшін әзірленді. Бұл LyapOde, қозғалыс теңдеулері белгілі жағдайларда, сондай-ақ эксперименталды уақыт тізбегі деректері бар жағдайларда Lyap-ты қамтиды. "C" тілінде жазылған бастапқы кодты қамтитын LyapOde, байланысқан бірдей жүйелер үшін шартты Ляпунов экспоненттерін де есептей алады. Бұл пайдаланушыға өзінің модельдік теңдеулер жиынтығын беруге немесе кіретін теңдеулердің біреуін пайдалануға мүмкіндік береді. Айнымалылар, параметрлер және т.б. саны бойынша ешқандай шектеулер жоқ. Fortran тілінде жазылған бастапқы кодты қамтитын Lyap, Ляпунов бағыт векторларын есептей алады және тартымдылықтың ерекшелігін сипаттай алады, бұл уақыт тізбегі деректерінен теріс экспоненттерді есептеудегі қиындықтардың басты себебі болып табылады. Екі жағдайда да кеңейтілген құжаттама мен үлгілік кіріс файлдары бар. Бағдарламалық қамтамасыз ету Windows, Mac немесе Linux/Unix жүйелерінде жұмыс істеу үшін компиляциялануы мүмкін. Бағдарлама мәтіндік терезеде жұмыс істейді және графикалық мүмкіндіктері жоқ, бірақ Excel сияқты бағдарламамен оңай сызылатын шығыс файлдарын жасауға болады.