Введение
Скорость расхождения бесконечно близких траекторий
В математике, показатель Ляпунова или характеристический показатель Ляпунова динамической системы – это величина, характеризующая скорость расхождения бесконечно близких траекторий. Количественно, две траектории в фазовом пространстве с начальным вектором разделения расходятся (при условии, что расхождение можно рассматривать в рамках линейного приближения) со скоростью, определяемой выражением
где – показатель Ляпунова. Скорость расхождения может быть различной для разных ориентаций начального вектора разделения. Таким образом, существует спектр показателей Ляпунова, число которых равно размерности фазового пространства. Обычно наибольший из них называют максимальным показателем Ляпунова (МПЛ), поскольку он определяет понятие предсказуемости для динамической системы. Положительный МПЛ обычно рассматривается как признак хаотичности системы (при выполнении некоторых других условий, например, компактности фазового пространства). Следует отметить, что произвольный начальный вектор разделения обычно содержит некоторую компоненту в направлении, связанном с МПЛ, и из-за экспоненциальной скорости роста влияние остальных показателей со временем подавляется. Показатель назван в честь Александра Ляпунова.
Числовые расчеты
Как правило, вычисление показателей Ляпунова, как определено выше, не может быть выполнено аналитически, и в большинстве случаев приходится прибегать к численным методам. Ранний пример, который также стал первой демонстрацией экспоненциальной расходимости хаотических траекторий, был выполнен Р. Х. Миллером в 1964 году. В настоящее время наиболее часто используемая численная процедура оценивает матрицу на основе усреднения нескольких конечных временных приближений предела, определяющего. Один из наиболее используемых и эффективных численных методов расчета спектра Ляпунова для гладкой динамической системы основан на периодической ортонормализации Грама — Шмидта векторов Ляпунова, чтобы избежать их неверного выравнивания вдоль направления максимального расширения. Описаны спектры Ляпунова различных моделей. Представлены исходные коды для нелинейных систем, таких как отображение Хенона, уравнения Лоренца, дифференциальное уравнение с задержкой и так далее. Для расчета показателей Ляпунова на основе ограниченных экспериментальных данных было предложено несколько методов. Однако применение этих методов сопряжено с множеством трудностей, и к таким задачам следует подходить с осторожностью. Основная трудность заключается в том, что данные не полностью исследуют фазовое пространство, а ограничены аттрактором, который имеет очень ограниченное (если вообще имеет) расширение вдоль определенных направлений. Эти более тонкие или сингулярные направления в наборе данных связаны с более отрицательными показателями. Показано, что использование нелинейных отображений для моделирования эволюции малых смещений от аттрактора значительно повышает способность восстанавливать спектр Ляпунова, при условии, что данные имеют очень низкий уровень шума. Также исследована сингулярная природа данных и ее связь с более отрицательными показателями.
One of the most used and effective numerical techniques to calculate the Lyapunov spectrum for a smooth dynamical system relies on periodic Gram–Schmidt orthonormalization of the Lyapunov vectors to avoid a misalignment of all the vectors along the direction of maximal expansion. The Lyapunov spectrum of various models are described. Source codes for nonlinear systems such as the Hénon map, the Lorenz equations, a delay differential equation and so on are introduced. For the calculation of Lyapunov exponents from limited experimental data, various methods have been proposed. However, there are many difficulties with applying these methods and such problems should be approached with care. The main difficulty is that the data does not fully explore the phase space, rather it is confined to the attractor which has very limited (if any) extension along certain directions. These thinner or more singular directions within the data set are the ones associated with the more negative exponents. The use of nonlinear mappings to model the evolution of small displacements from the attractor has been shown to dramatically improve the ability to recover the Lyapunov spectrum, provided the data has a very low level of noise. The singular nature of the data and its connection to the more negative exponents has also been explored.
Местный показатель Ляпунова
В то время как (глобальный) показатель Ляпунова дает меру общей предсказуемости системы, иногда представляет интерес оценить локальную предсказуемость в окрестности точки x0 в фазовом пространстве. Это можно сделать, анализируя собственные значения якобиана J^(0)(x0). Эти собственные значения также называют локальными показателями Ляпунова. (Следует иметь в виду: в отличие от глобальных показателей, эти локальные показатели не инвариантны относительно нелинейного преобразования координат).
Условный показатель Ляпунова
Этот термин обычно используется применительно к синхронизации хаоса, где присутствуют две соединенные системы, как правило, однонаправленно, так что одна из них является ведущей (или мастер-системой), а другая – ведомой (или slave-системой). Условные показатели – это показатели ведомой системы, при этом ведущая система рассматривается лишь как источник (хаотического) управляющего сигнала. Синхронизация наступает, когда все условные показатели отрицательны.
Программное обеспечение
R. Hegger, H. Kantz и T. Schreiber, Нелинейный анализ временных рядов, TISEAN 3.0.1 (март 2007). Продукт ChaosKit компании Scientio вычисляет показатели Ляпунова, наряду с другими характеристиками хаоса. Доступ к продукту предоставляется онлайн через веб-сервис и демонстрацию Silverlight. Математическая лаборатория доктора Рональда Джо Рекорда включает графический клиент X11 под названием lyap, предназначенный для визуального исследования показателей Ляпунова вынужденного логистического отображения и других отображений единичного интервала. Также доступны содержимое и страницы руководства лаборатории mathrec. Программное обеспечение, представленное на этой странице, разработано специально для эффективного и точного вычисления полного спектра показателей. Это включает LyapOde для случаев, когда уравнения движения известны, и Lyap для случаев, связанных с экспериментальными данными временных рядов. LyapOde, включающий исходный код, написанный на языке "C", также может вычислять условные показатели Ляпунова для связанных идентичных систем. Он позволяет пользователю предоставлять собственный набор модельных уравнений или использовать один из предустановленных. Количество переменных и параметров не ограничено. Lyap, включающий исходный код, написанный на Фортране, также может вычислять векторы направления Ляпунова и характеризовать сингулярность аттрактора, что является основной причиной трудностей при вычислении более отрицательных показателей по данным временных рядов. В обоих случаях имеется обширная документация и примеры входных файлов. Программное обеспечение может быть скомпилировано для работы в системах Windows, Mac или Linux/Unix. Программа работает в текстовом режиме и не имеет графических возможностей, но может генерировать выходные файлы, которые можно легко визуализировать с помощью таких программ, как Excel.