Введение

Векторное пространство, на котором определено расстояние

В математике нормированное векторное пространство или нормированное пространство — это векторное пространство над действительными или комплексными числами, на котором определена норма. Норма — это обобщение интуитивного понятия «длины» в физическом мире. Если — векторное пространство над , где поле равно или , то норма на — это отображение , обычно обозначаемое , удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:

Неотрицательность: для любого , . Положительная определенность: для любого , если и только если является нулевым вектором. Абсолютная однородность: для любого и ,
Треугольное неравенство: для любого и ,

Если — вещественное или комплексное векторное пространство, как указано выше, и — норма на , то упорядоченная пара называется нормированным векторным пространством. Если из контекста ясно, какая норма имеется в виду, то нормированное векторное пространство обычно обозначают просто как . Норма индуцирует расстояние, называемое индуцированной (нормой) метрикой, по формуле

которая делает любое нормированное векторное пространство метрическим пространством и топологическим векторным пространством. Если это метрическое пространство полно, то нормированное пространство является пространством Банаха. Каждое нормированное векторное пространство можно «единственным образом расширить» до пространства Банаха, что делает нормированные пространства тесно связанными с пространствами Банаха. Каждое пространство Банаха является нормированным пространством, но обратное неверно. Например, множество конечных последовательностей действительных чисел можно нормировать с помощью евклидовой нормы, но оно не является полным для этой нормы. Пространство с внутренним произведением — это нормированное векторное пространство, чья норма равна квадратному корню из внутреннего произведения вектора на самого себя. Евклидова норма евклидова векторного пространства — это частный случай, который позволяет определить евклидово расстояние по формуле

Изучение нормированных пространств и пространств Банаха является фундаментальной частью функционального анализа, важной области математики.

Линейные карты и двойные пространства

Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывные линейные отображения. Вместе с этими отображениями нормированные векторные пространства образуют категорию. Норма является непрерывной функцией на своем векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны. Изометрия между двумя нормированными векторными пространствами — это линейное отображение, сохраняющее норму (то есть для всех векторов ). Изометрии всегда непрерывны и инъективны. Сюръективная изометрия между нормированными векторными пространствами и называется изометрическим изоморфизмом, а и называются изометрически изоморфными. Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства практически идентичны. При рассмотрении нормированных векторных пространств мы расширяем понятие двойственного пространства, чтобы учитывать норму. Двойственное пространство нормированного векторного пространства — это пространство всех непрерывных линейных отображений из в базовое поле (комплексные или действительные числа) — такие линейные отображения называются "функционалами". Норма функционала определяется как супремум значений , где проходит по всем единичным векторам (то есть векторам нормы 1) в . Это превращает в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах на нормированных векторных пространствах является теорема Хана — Банаха.

Нормированные пространства как пространства-коэффициенты семинормированных пространств

Определение многих нормированных пространств (в частности, пространств Банаха) включает в себя семинарму, определенную на векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как фактор-пространство по подпространству элементов, имеющих нулевую семинарму. Например, для пространств, функция, заданная как

является семинармой на векторном пространстве всех функций, для которых интеграл Лебега в правой части определен и конечен. Однако эта семинарма равна нулю для любой функции, носитель которой содержится в множестве меры Лебега нуль. Эти функции образуют подпространство, которое мы "выделяем", отождествляя их с нулевой функцией.