Физикада математикалық әдістердің қолданылуы

Физикалық математика: физика мәселелерін шешу үшін математикалық әдістер, Лагранж және Гамильтон механикасы. Теория құруға көмектеседі.

12 мин оқу

100%

Дереккөз: Mathematical physics — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Физикадағы мәселелерге математикалық әдістерді қолдану. Математикалық физика – физикадағы мәселелерді шешу үшін математикалық әдістерді әзірлеу және қолдану саласы. Математикалық физика журналы бұл ғылымды "физикадағы проблемаларға математиканы қолдану, сондай-ақ мұндай қолдануларға және физикалық теорияларды құруға қажетті математикалық әдістерді дамыту" деп анықтайды. Басқа бір анықтама бойынша, физикадан шабыттанған математика да осы салада қарастырылады, ол физикалық математика деп аталады.

Қолданылу аясы

Математикалық физиканың бірнеше ерекше салалары бар, және олар шамамен әлемнің нақты тарихи кезеңдерімен байланысты.

Классикалық механика

Математикалық физика әдістерін классикалық механикаға қолдану, әдетте Ньютон механикасын Лагранж механикасы және Гамильтон механикасы тұрғысынан қатаң, абстрактілі және жоғары деңгейде қайта қарастыруды қамтиды (шектеулер болған жағдайда екі тәсіл де қолданылады). Екі формулировка да аналитикалық механикада бейнеленеді және механикалық жүйелердің динамикалық эволюциясы барысында симметрия және сақталатын шамалар ұғымдары арасындағы терең байланысты түсінуге мүмкіндік береді, бұл Нотер теоремасының ең қарапайым түрінде көрінеді. Бұл тәсілдер мен идеялар физиканың басқа салаларына, мысалы, статистикалық механикаға, континуум механикасына, классикалық өріс теориясына және кванттық өріс теориясына таратылды. Бұдан өзге, олар дифференциалдық геометрияда көптеген мысалдар мен идеяларды ұсынды (мысалы, симплектикалық геометрия және векторлық жиындықтардағы бірнеше ұғымдар).

Қиссалық дифференциалдық теңдеулер

Математиканың өзінде, бөлшектік дифференциалдық теңдеулер теориясы, вариациялық есептеу, Фурье талдауы, потенциалдар теориясы және векторлық талдау математикалық физикамен ең тығыз байланысты. Бұл салалар 18-ғасырдың екінші жартысынан бастап (мысалы, Д’Аламбер, Эйлер және Лагранж сияқты ғалымдардың еңбектері арқылы) 1930-жылдарға дейін қарқынды дамыды. Осы дамулардың физикалық қолданыстары гидродинамика, аспан механикасы, континуум механикасы, серпімділік теориясы, акустика, термодинамика, электр және магнетизм, сондай-ақ аэродинамиканы қамтиды.

Кванттық теория

Атомдық спектрлер теориясы (кейіннен кванттық механика) сызықтық алгебра, операторлардың спектрлік теориясы, операторлық алгебралар және жалпы алғанда функционалдық талдау сияқты математикалық салалардың дамуымен шамалас уақытта қатар дамыды. Релятивистік емес кванттық механика Шредингер операторларын қамтиды және атомдық және молекулалық физикамен байланысты. Кванттық ақпарат теориясы – тағы бір мамандық саласы.

Салыстырмалылық және кванттық салыстырмалылық теориялары

Арнайы және жалпы салыстырмалылық теориялары өте ерекше математика түрін қажет етеді. Бұл – топтық теория, ол кванттық өріс теориясы мен дифференциалдық геометрияда маңызды рөл атқарды. Дегенмен, космологиялық және кванттық өріс теориясы құбылыстарының математикалық сипаттамасында топология және функционалдық талдаумен бірге пайдаланылды. Осы физикалық салаларды математикалық тұрғыдан сипаттауда гомологиялық алгебра мен категориялар теориясының кейбір ұғымдары да маңызды болып табылады.

Статистикалық механика

Статистикалық механика фазалық ауысулар теориясын қамтитын жекелеген сала болып табылады. Ол Гамильтон механикасына (немесе оның кванттық нұсқасына) негізделген және математикалық эргодикалық теориямен және ықтималдық теориясының кейбір бөлімдерімен тығыз байланысты. Комбинаторика мен физика, әсіресе статистикалық физика арасындағы байланыс күшейіп келеді.

Қолданылуы

"Математикалық физика" термині кейде ерекше қолданылады. Физиканың дамуынан туындаған математиканың кейбір бөліктері, шындығында, математикалық физиканың құрамына жатпайды, ал басқа, оған жақын салалар жатады. Мысалы, қалыпты дифференциалдық теңдеулер және симплектикалық геометрия көбінесе таза математикалық ғылымдар деп есептеледі, ал динамикалық жүйелер мен Гамильтон механикасы математикалық физикаға жатады. Джон Херапат бұл терминді 1847 жылғы "табиғаттанудың математикалық принциптері" атты еңбегінің тақырыбында пайдаланған, сол кездегі көлемі "жылудың себептері, газдардың серпімділігі, гравитация және табиғаттың басқа да маңызды құбылыстары" болған.

Математикалық және теориялық физика

"Математикалық физика" термині кейде физикадағы проблемаларды зерттеу және оларды шешуге, немесе математикалық қатаңдық аясындағы ой-эксперименттерді қарастыруға бағытталған зерттеулерді білдіру үшін қолданылады. Осы мағынада математикалық физика математикалық және теориялық физика аспектілерінің үйлесуімен ғана ерекшеленетін өте кең академиялық саланы қамтиды. Теориялық физикамен байланысы бар болғанымен, математикалық физика осы мағынада математикадағы ұқсас қатаңдыққа баса мән береді. Ал теориялық физика бақылаулар мен эксперименталды физикаға қатысты байланыстарға назар аударады, бұл теориялық физиктерді (және жалпы мағынадағы математикалық физиктерді) эвристикалық, интуитивті немесе жуықталған аргументтерді пайдалануға мәжбүр етеді. Мұндай аргументтер математиктер үшін қатаң емес деп есептеледі. Осылайша, математикалық физиктер физикалық теорияларды кеңейту және түсіндірумен айналысады. Математикалық қатаңдық деңгейінің жоғары болуына байланысты, бұл зерттеушілер көбінесе теориялық физиктердің шешілген деп санайтын мәселелерді қарастырады. Дегенмен, олар кейде бұрынғы шешімнің толық емес, қате немесе тым қарапайым болғанын көрсете алады. Термодинамиканың екінші заңын статистикалық механикадан шығаруға жасалған әрекеттер осыған мысал бола алады. Басқа мысалдар – арнайы және жалпы салыстырмалылық теориясындағы синхронизация процедуралары (Сагняк эффектісі және Эйнштейн синхронизациясы). Физикалық теорияларды математикалық тұрғыдан қатаң негізге қоюға жасалған күш-жігер физиканы дамыту ғана емес, сонымен қатар кейбір математикалық салалардың дамуына да ықпал етті. Мысалы, кванттық механиканың және функционалдық анализдің кейбір аспектілерінің дамуы көптеген жағынан параллель жүреді. Кванттық механиканы, кванттық өріс теориясын және кванттық статистикалық механиканы математикалық тұрғыдан зерттеу операторлық алгебралар саласындағы нәтижелерге түрткіс берді. Кванттық өріс теориясының қатаң математикалық тұжырымдамасын құруға жасалған тырысқандықтар бейнелеу теориясы сияқты салаларда да прогреске әкелді.

The term "mathematical physics" is sometimes used to denote research aimed at studying and solving problems in physics or thought experiments within a mathematically rigorous framework. In this sense, mathematical physics covers a very broad academic realm distinguished only by the blending of some mathematical aspect and theoretical physics aspect. Although related to theoretical physics, mathematical physics in this sense emphasizes the mathematical rigour of the similar type as found in mathematics. On the other hand, theoretical physics emphasizes the links to observations and experimental physics, which often requires theoretical physicists (and mathematical physicists in the more general sense) to use heuristic, intuitive, or approximate arguments. Such arguments are not considered rigorous by mathematicians. Such mathematical physicists primarily expand and elucidate physical theories. Because of the required level of mathematical rigour, these researchers often deal with questions that theoretical physicists have considered to be already solved. However, they can sometimes show that the previous solution was incomplete, incorrect, or simply too naïve. Issues about attempts to infer the second law of thermodynamics from statistical mechanics are examples. Other examples concern the subtleties involved with synchronisation procedures in special and general relativity (Sagnac effect and Einstein synchronisation). The effort to put physical theories on a mathematically rigorous footing not only developed physics but also has influenced developments of some mathematical areas. For example, the development of quantum mechanics and some aspects of functional analysis parallel each other in many ways. The mathematical study of quantum mechanics, quantum field theory, and quantum statistical mechanics has motivated results in operator algebras. The attempt to construct a rigorous mathematical formulation of quantum field theory has also brought about some progress in fields such as representation theory.

Ньютоннан бұрын

Табиғатты математикалық талдау дәстүрі ежелгі гректерге дейін барады; мысалдарға Эвклид («Оптика»), Архимед («Жазықтықтардың тепе-теңдігі туралы», «Жүзуші денелер туралы») және Птолемей («Оптика», «Гармония») жатады. Кейіннен ислам және Византия ғалымдары осы еңбектерді дамытып, 12 ғасырда және Ренессанс кезінде Батысқа қайта енгізді немесе қолжетімді етті. 16 ғасырдың басында әуесқой астроном Николай Коперник гелиоцентризмді ұсынды және 1543 жылы осы тақырыпта еңбек жариялады. Ол Птолемейдің эпициклдер туралы идеясын сақтап, астрономияны эпициклдік орбиталардың қарапайым жүйесін құру арқылы жеңілдетуге тырысты. Эпициклдер – шеңберлердің үстіне салынған шеңберлер. Аристотельдік физика бойынша, шеңбер – қозғалыстың өте жақсы түрі және Аристотельдің бесінші элементінің ішкі қозғалысы – грек тілінде «таза ауа» деп аталатын квинтэссенция немесе әмбебап мән, ол ай астындағы сферадан тыс таза зат болды, сондықтан аспан денелерінің таза құрамын құрады. Немец ғалымы Иоганн Кеплер [1571–1630], Тихо Брагенің көмекшісі, Коперник орбиталарын эллипске өзгертіп, Кеплердің планеталар қозғалысы заңдарының теңдеулерінде бекітті. Атомға құштар Галилео Галилей 1623 жылғы «Ассажер» кітабында «табиғат кітабы математикамен жазылған» деді. 1632 жылғы телескоп арқылы жасаған байқаулары туралы кітабы гелиоцентризмді қолдады. Эксперименттерді енгізген Галилей, Аристотель физикасын жоққа шығару арқылы геоцентрлік космологияны жоққа шығарды. Галилейдің 1638 жылғы «Екі жаңа ғылым туралы» кітабы тең еркін құлау заңын және инерциялық қозғалыс принциптерін орнатып, қазіргі классикалық механиканың негізгі ұғымдарын қалады. Ньютонның замандасы Кристиан Гюйгенс физикалық проблеманы параметрлер жиынтығымен идеалдаған және байқауға келмейтін физикалық құбылыстардың механикалық түсіндірмесін толық математикалық тұрғыда бейнелеген алғашқы адам болды. Осы себептерге байланысты Гюйгенс алғашқы теориялық физик және қазіргі математикалық физиканың негізін қалаушылардың бірі саналады.

There is a tradition of mathematical analysis of nature that goes back to the ancient Greeks; examples include Euclid (Optics), Archimedes (On the Equilibrium of Planes, On Floating Bodies), and Ptolemy (Optics, Harmonics). Later, Islamic and Byzantine scholars built on these works, and these ultimately were reintroduced or became available to the West in the 12th century and during the Renaissance. In the first decade of the 16th century, amateur astronomer Nicolaus Copernicus proposed heliocentrism, and published a treatise on it in 1543. He retained the Ptolemaic idea of epicycles, and merely sought to simplify astronomy by constructing simpler sets of epicyclic orbits. Epicycles consist of circles upon circles. According to Aristotelian physics, the circle was the perfect form of motion, and was the intrinsic motion of Aristotle's fifth element—the quintessence or universal essence known in Greek as aether for the English pure air—that was the pure substance beyond the sublunary sphere, and thus was celestial entities' pure composition. The German Johannes Kepler [1571–1630], Tycho Brahe's assistant, modified Copernican orbits to ellipses, formalized in the equations of Kepler's laws of planetary motion. An enthusiastic atomist, Galileo Galilei in his 1623 book The Assayer asserted that the "book of nature is written in mathematics". His 1632 book, about his telescopic observations, supported heliocentrism. Having introduced experimentation, Galileo then refuted geocentric cosmology by refuting Aristotelian physics itself. Galileo's 1638 book Discourse on Two New Sciences established the law of equal free fall as well as the principles of inertial motion, founding the central concepts of what would become today's classical mechanics. An older contemporary of Newton, Christiaan Huygens, was the first to idealize a physical problem by a set of parameters and the first to fully mathematize a mechanistic explanation of unobservable physical phenomena, and for these reasons Huygens is considered the first theoretical physicist and one of the founders of modern mathematical physics.

Ньютондық және Ньютоннан кейінгі

Бұл дәуірде математикалық есептеудің негізгі теоремасы (шотланд математигі Джеймс Грегори 1668 жылы дәлелдеген) және Ферма теоремасы арқылы дифференциациялау арқылы функциялардың экстремалы мен минимумын табу (француз математигі Пьер де Ферма) сияқты маңызды түсініктер Лейбниц пен Ньютоннан бұрын белгілі болды. Исаак Ньютон (1642–1727) математикалық есептеуде кейбір тұжырымдамаларды (Готфрид Вильгельм Лейбниц физикадан тыс жағдайларда ұқсас тұжырымдамаларды жасаса да) және физикадағы мәселелерді шешу үшін Ньютон әдісін жасады. Ол қозғалыс теориясына математикалық есептеулерді қолдануда өте табысты болды. Ньютонның 1687 жылы жарық көрген «Табиғи философияның математикалық принциптері» атты еңбегінде көрсетілген Ньютонның қозғалыс теориясы үш Галилейдің қозғалыс заңын, сондай-ақ Ньютонның әмбебап тартылыс заңын абсолюттік кеңістік шеңберінде үлгіледі. Ньютон бұл кеңістікті физикалық жағынан нақты, барлық бағытта шексіз кеңейетін Евклидтік геометриялық құрылым ретінде болжады, сонымен қатар абсолюттік уақыт бар екенін қабылдады, бұл абсолюттік қозғалыс туралы білімді негіздеуге арналған, яғни кеңістікке қатысты дененің қозғалысын. Галилейдің инварианттылық/неғұрлымдық принципі Ньютонның қозғалыс теориясында тек айқын түрде емес, көрініс тапқан. Ньютон Кеплердің аспандық қозғалыс заңдарын, сондай-ақ Галилейдің жердегі қозғалыс заңдарын бірыңғай күшке дейін азайтып, үлкен математикалық қатаңдыққа қол жеткізді, бірақ теориялық жеңілдікке жол берді. XVIII ғасырда швейцариялық Даниэль Бернулли (1700–1782) сұйықтық динамикасына және дірілдемелі сымдарға үлес қосты. Швейцариялық Леонхард Эйлер (1707–1783) вариациялық есептеу, динамика, сұйықтық динамикасы және басқа да салаларда ерекше жұмыс істеді. Сондай-ақ, итальяндық француз Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) аналитикалық механикадағы жұмысы үшін (Лагранж механикасын) және вариациялық әдістерді жасады. Аналитикалық динамиканың қалыптасуына үлкен үлес қосқан Гамильтон динамикасын ирланд физигі, астроном және математик Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) жасады. Гамильтон динамикасы физикадағы қазіргі заманғы теорияларды, соның ішінде өріс теориясы мен кванттық механиканы қалыптастыруда маңызды рөл атқарды. Француз математик-физигі Жозеф Фурье (1768–1830) жылу теңдеуін шешу үшін Фурье тізбектері туралы түсінікті енгізді, бұл интегралды түрлендірулер арқылы бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді шешудің жаңа әдісін тудырды. XIX ғасырдың басында Франция, Германия және Англия математиктері математикалық физикаға үлес қосты. Француз Пьер Симон Лаплас (1749–1827) математикалық астрономияға және потенциал теориясына аса маңызды үлес қосты. Симеон Денис Пуассон (1781–1840) аналитикалық механика және потенциал теориясында жұмыс істеді. Германияда Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) электр, магнетизм, механика және сұйықтық динамикасының теориялық негіздеріне маңызды үлес қосты. Англияда Джордж Грин (1793–1841) 1828 жылы «Математикалық талдауды электр және магнетизм теориясына қолдану туралы очерк» атты еңбегін жариялады, ол математикаға қосқан елеулі үлесінен басқа, электр және магнетизмнің математикалық негіздерін қалауға ертедегі қадам болды. Ньютонның жарық теориясының бөлшектер теориясын жариялағаннан бірнеше он жыл бұрын голландиялық Кристиан Гюйгенс (1629–1695) жарық толқыны теориясын әзірледі, ол 1690 жылы жарияланды. 1804 жылы Томас Янгтың қос ойыс эксперименті жарық толқын сияқты кедергі үлгісін көрсетті, сондықтан Гюйгенстің жарық толқыны теориясы, сондай-ақ Гюйгенстің жарық толқындары жарық эфирінің тербелісі екендігі туралы тұжырымы қабылданды. Жан Августин Френель эфирдің гипотетикалық мінез-құлқын үлгіледі. Ағылшын физигі Майкл Фарадей алыстан әсер етпейтін өріс туралы теориялық ұғымды енгізді. XIX ғасырдың ортасында шотландтық Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) электр және магнетизмді Максвеллдің электромагниттік өріс теориясына дейін азайтты, басқалары төрт Максвелл теңдеуіне дейін азайтты. Бастапқыда оптика Максвелл өрісінің салдары ретінде табылды. Кейіннен сәулелену және қазіргі кездегі белгілі электромагниттік спектр де осы электромагниттік өрістің салдарынан табылды. Ағылшын физигі Лорд Рэйли [1842–1919] дыбыс туралы жұмыс істеді. Ирландиялық Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865), Джордж Габриэль Стоукс (1819–1903) және Лорд Кельвин (1824–1907) бірнеше маңызды еңбектер шығарды: Стоукс оптика мен сұйықтық динамикасының жетекшісі болды; Кельвин термодинамикада елеулі жаңалықтар жасады; Гамильтон аналитикалық механика бойынша елеулі жұмыс жасады, қазіргі кезде Гамильтон механикасы деп аталатын жаңа және күшті тәсілді тапты. Бұл тәсілге оның неміс математигі Карл Густав Якоби (1804–1851) де үлкен үлес қосты, әсіресе канондық түрлендірулерге қатысты. Неміс Герман фон Гельмгольц (1821–1894) электромагнетизм, толқындар, сұйықтықтар және дыбыс салаларында маңызды үлес қосты. АҚШ-та Джосайя Виллард Гиббстің (1839–1903) пионерлік жұмысы статистикалық механиканың негізі болды. Осы саладағы негізгі теориялық нәтижелер неміс Людвиг Больцман (1844–1906) жасады. Бірге, бұл тұлғалар электромагниттік теорияның, сұйықтық динамикасының және статистикалық механиканың негізін қалады.

In this era, important concepts in calculus such as the fundamental theorem of calculus (proved in 1668 by Scottish mathematician James Gregory) and finding extrema and minima of functions via differentiation using Fermat's theorem (by French mathematician Pierre de Fermat) were already known before Leibniz and Newton. Isaac Newton (1642–1727) developed some concepts in calculus (although Gottfried Wilhelm Leibniz developed similar concepts outside the context of physics) and Newton's method to solve problems in physics. He was extremely successful in his application of calculus to the theory of motion. Newton's theory of motion, shown in his Mathematical Principles of Natural Philosophy, published in 1687, modeled three Galilean laws of motion along with Newton's law of universal gravitation on a framework of absolute space—hypothesized by Newton as a physically real entity of Euclidean geometric structure extending infinitely in all directions—while presuming absolute time, supposedly justifying knowledge of absolute motion, the object's motion with respect to absolute space. The principle of Galilean invariance/relativity was merely implicit in Newton's theory of motion. Having ostensibly reduced the Keplerian celestial laws of motion as well as Galilean terrestrial laws of motion to a unifying force, Newton achieved great mathematical rigor, but with theoretical laxity. In the 18th century, the Swiss Daniel Bernoulli (1700–1782) made contributions to fluid dynamics, and vibrating strings. The Swiss Leonhard Euler (1707–1783) did special work in variational calculus, dynamics, fluid dynamics, and other areas. Also notable was the Italian born Frenchman, Joseph Louis Lagrange (1736–1813) for work in analytical mechanics: he formulated Lagrangian mechanics) and variational methods. A major contribution to the formulation of Analytical Dynamics called Hamiltonian dynamics was also made by the Irish physicist, astronomer and mathematician, William Rowan Hamilton (1805–1865). Hamiltonian dynamics had played an important role in the formulation of modern theories in physics, including field theory and quantum mechanics. The French mathematical physicist Joseph Fourier (1768 – 1830) introduced the notion of Fourier series to solve the heat equation, giving rise to a new approach to solving partial differential equations by means of integral transforms. Into the early 19th century, following mathematicians in France, Germany and England had contributed to mathematical physics. The French Pierre Simon Laplace (1749–1827) made paramount contributions to mathematical astronomy, potential theory. Siméon Denis Poisson (1781–1840) worked in analytical mechanics and potential theory. In Germany, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) made key contributions to the theoretical foundations of electricity, magnetism, mechanics, and fluid dynamics. In England, George Green (1793–1841) published An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism in 1828, which in addition to its significant contributions to mathematics made early progress towards laying down the mathematical foundations of electricity and magnetism. A couple of decades ahead of Newton's publication of a particle theory of light, the Dutch Christiaan Huygens (1629–1695) developed the wave theory of light, published in 1690. By 1804, Thomas Young's double slit experiment revealed an interference pattern, as though light were a wave, and thus Huygens's wave theory of light, as well as Huygens's inference that light waves were vibrations of the luminiferous aether, was accepted. Jean Augustin Fresnel modeled hypothetical behavior of the aether. The English physicist Michael Faraday introduced the theoretical concept of a field—not action at a distance. Mid 19th century, the Scottish James Clerk Maxwell (1831–1879) reduced electricity and magnetism to Maxwell's electromagnetic field theory, whittled down by others to the four Maxwell's equations. Initially, optics was found consequent of Maxwell's field. Later, radiation and then today's known electromagnetic spectrum were found also consequent of this electromagnetic field. The English physicist Lord Rayleigh [1842–1919] worked on sound. The Irishmen William Rowan Hamilton (1805–1865), George Gabriel Stokes (1819–1903) and Lord Kelvin (1824–1907) produced several major works: Stokes was a leader in optics and fluid dynamics; Kelvin made substantial discoveries in thermodynamics; Hamilton did notable work on analytical mechanics, discovering a new and powerful approach nowadays known as Hamiltonian mechanics. Very relevant contributions to this approach are due to his German colleague mathematician Carl Gustav Jacobi (1804–1851) in particular referring to canonical transformations. The German Hermann von Helmholtz (1821–1894) made substantial contributions in the fields of electromagnetism, waves, fluids, and sound. In the United States, the pioneering work of Josiah Willard Gibbs (1839–1903) became the basis for statistical mechanics. Fundamental theoretical results in this area were achieved by the German Ludwig Boltzmann (1844–1906). Together, these individuals laid the foundations of electromagnetic theory, fluid dynamics, and statistical mechanics.

Релятивистік

1880 жылдары Максвеллдің электромагниттік өрісіндегі бақылаушы оны шамамен тұрақты жылдамдықпен өлшеді, электромагниттік өрістегі басқа объектілерге қатысты бақылаушының жылдамдығына қарамастан, ерекше парадокс туды. Осылайша, бақылаушының жылдамдығы электромагниттік өріске қатысты үнемі төмендесе де, ол электромагниттік өрістегі басқа объектілерге қатысты сақталды. Бірақ, физикалық өзара әрекеттесулерде Галилей инварианттылығы бұзылмады. Максвеллдің электромагниттік өрісі эфирдің тербелісі ретінде моделенгендіктен, физиктер эфирдегі қозғалыстың эфирдің дрейфін тудыратынын, электромагниттік өрісті өзгертетінін, соның салдарынан бақылаушының оған қатысты жоғалған жылдамдығын түсіндіретінін болжады. Галилей түрлендіруі – бір анықтамалық жүйедегі координаталарды екінші анықтамалық жүйедегі координаталардың болжамына аударуға қолданылатын математикалық процесс, барлығы декартық координаталар бойынша салынған, бірақ бұл процесс голландтық Хендрик Лоренц [1853–1928] ұсынған Лоренц түрлендіруімен ауыстырылды. Алайда, 1887 жылы Микельсон мен Морли экспериментаторлары эфирдің дрейфін анықтамады. Эфирге қозғалыс жасау эфирдің қысқаруына да себеп болатыны болжалды, бұл Лоренц жиырылуы ретінде моделендірілді. Осылайша, эфир Максвеллдің электромагниттік өрісін барлық инерциялық анықтамалық жүйелерде Галилей инварианттылығы принципімен үйлестіріп, Ньютонның қозғалыс теориясын сақтап қалды делінді. Австриялық теориялық физик және философ Эрнст Мах Ньютонның абсолютті кеңістігін сынады. Математик Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912) тіпті абсолютті уақыттың да болуын күмәндандырды. 1905 жылы Пьер Дюгем Ньютонның қозғалыс теориясының негізін қатаң сынады. Эйнштейн бастапқыда мұны "артық білімділік" деп атады, бірақ кейіннен жалпы салыстырмалылық теориясында Минковский кеңістік-уақытын керемет әдемілікпен пайдаланды, инварианттылықты барлық анықтамалық жүйелерге – инерциялық немесе үдемелі деп есептелгендерге – кеңейтті және бұл еңбекті сол кезде қайтыс болған Минковскийге жатқызды. Жалпы салыстырмалылық теориясы декартық координаталарды Гаусс координаталарымен алмастырады және Ньютонның бос, бірақ Эвклидтік кеңістігін, Ньютонның гипотетикалық гравитациялық күшінің векторымен бірден өтетін гравитациялық өріспен алмастырады – әрекет етудің бірден болатын принципі. Гравитациялық өріс – бұл Минковский кеңістігі, Эйнштейн эфирінің 4D топологиясы, Риман қисықтық тензоры бойынша геометриялық түрде "қисайтын" Лоренцтік көптік ретінде моделендірілген. Ньютонның гравитациясы туралы түсінік: "екі масса бір-бірін тартады" геометриялық аргументпен ауыстырылды: "масса кеңістік-уақыттың қисықтығын өзгертеді және массасы бар еркін түсетін бөлшектер кеңістікте геодезиялық қисық бойымен қозғалады" (Риман геометриясы 1850 жылдарға дейін математиктер Карл Фридрих Гаусс пен Бернхард Риманның ішкі геометрияны және Эвклидтік емес геометрияны іздеуінде болған. ), масса немесе энергияның жанында. (Арнайы салыстырмалылық теориясы бойынша – жалпы салыстырмалылықтың ерекше жағдайы – тіпті массасыз энергия да массалық эквиваленттілігі арқылы гравитациялық әсер етеді, кеңістік пен уақыттың төрт өлшемінің геометриясын жергілікті түрде "қисайтады".)

By the 1880s, there was a prominent paradox that an observer within Maxwell's electromagnetic field measured it at approximately constant speed, regardless of the observer's speed relative to other objects within the electromagnetic field. Thus, although the observer's speed was continually lost relative to the electromagnetic field, it was preserved relative to other objects in the electromagnetic field. And yet no violation of Galilean invariance within physical interactions among objects was detected. As Maxwell's electromagnetic field was modeled as oscillations of the aether, physicists inferred that motion within the aether resulted in aether drift, shifting the electromagnetic field, explaining the observer's missing speed relative to it. The Galilean transformation had been the mathematical process used to translate the positions in one reference frame to predictions of positions in another reference frame, all plotted on Cartesian coordinates, but this process was replaced by Lorentz transformation, modeled by the Dutch Hendrik Lorentz [1853–1928]. In 1887, experimentalists Michelson and Morley failed to detect aether drift, however. It was hypothesized that motion into the aether prompted aether's shortening, too, as modeled in the Lorentz contraction. It was hypothesized that the aether thus kept Maxwell's electromagnetic field aligned with the principle of Galilean invariance across all inertial frames of reference, while Newton's theory of motion was spared. Austrian theoretical physicist and philosopher Ernst Mach criticized Newton's postulated absolute space. Mathematician Jules Henri Poincaré (1854–1912) questioned even absolute time. In 1905, Pierre Duhem published a devastating criticism of the foundation of Newton's theory of motion. Einstein initially called this "superfluous learnedness", but later used Minkowski spacetime with great elegance in his general theory of relativity, extending invariance to all reference frames—whether perceived as inertial or as accelerated—and credited this to Minkowski, by then deceased. General relativity replaces Cartesian coordinates with Gaussian coordinates, and replaces Newton's claimed empty yet Euclidean space traversed instantly by Newton's vector of hypothetical gravitational force—an instant action at a distance—with a gravitational field. The gravitational field is Minkowski spacetime itself, the 4D topology of Einstein aether modeled on a Lorentzian manifold that "curves" geometrically, according to the Riemann curvature tensor. The concept of Newton's gravity: "two masses attract each other" replaced by the geometrical argument: "mass transform curvatures of spacetime and free falling particles with mass move along a geodesic curve in the spacetime" (Riemannian geometry already existed before the 1850s, by mathematicians Carl Friedrich Gauss and Bernhard Riemann in search for intrinsic geometry and non Euclidean geometry. ), in the vicinity of either mass or energy. (Under special relativity—a special case of general relativity—even massless energy exerts gravitational effect by its mass equivalence locally "curving" the geometry of the four, unified dimensions of space and time.)

Кванттық

ХХ ғасырдың тағы бір революциялық жетістігі – Макс Планктың (1856–1947 жж.) (қара дене сәулеленуі туралы) және Эйнштейннің фотоэлектрлік эффекті жөніндегі еңбектерінен туындаған кванттық теория. 1912 жылы математик Анри Пуанкаре «Sur la théorie des quanta» атты еңбегін жариялады. Ол осы мақалада кванттаудың алғашқы наivті емес анықтамасын енгізді. Алғашқы кванттық физиканың дамуы Арнольд Зоммерфельд (1868–1951) және Нильс Бор (1885–1962) құрастырған эвристикалық негіздемемен жүрді, бірақ бұл көп ұзамай Макс Борн (1882–1970), Вернер Гейзенберг (1901–1976), Пол Дирак (1902–1984), Эрвин Шрёдингер (1887–1961), Сатиендра Нат Бозе (1894–1974) және Вольфганг Паули (1900–1958) дамытқан кванттық механикамен алмастырылды. Бұл революциялық теориялық негіздеме күйлердің ықтималдық түсіндірмесіне, эволюцияға және өлшеулерге шексіз өлшемді векторлық кеңістіктегі өзіне-өзі қосылатын операторлар арқылы қарауда негізделген. Бұл Хилберт кеңістігі деп аталады (математиктер Дэвид Хилберт (1862–1943), Эрхард Шмидт (1876–1959) және Фридьеш Рис (1880–1956) Евклид кеңістігін жалпылау және интегралдық теңдеулерді зерттеу мақсатында) және Джон фон Нейманның аксиомалық қазіргі нұсқасында, оның танымал «Кванттық механиканың математикалық негіздері» кітабында Хилберт кеңістіктеріндегі қазіргі заманғы функционалдық талдаудың маңызды бөлігін құраған спектрлік теория (шексіз көп айнымалылары бар квадраттық формаларды зерттеген Дэвид Хилберт енгізген) арқылы қатаң түрде анықталған. Көп жылдар өткен соң, оның спектрлік теориясы сутек атомының спектрімен байланысты екені анықталды, бұл оны таң қалдырды. Пол Дирак алгебралық құрылымдарды қолданып, электронның релятивистік моделін жасады, оның магниттік моментін және оның антибөлшегі – позитронның бар екенін болжады.

Бакалавриат оқулықтары

, (Физиктер үшін математикалық әдістер, Физиктер үшін математикалық әдістердің шешімдері (7-ші басылым), archive.org)

Хассани, Садри (2009), Физика және оған қатысты салалар студенттері үшін математикалық әдістер, (2-ші басылым), Нью-Йорк, Спрингер, eISBN 978 0 387 09504 2