Математические методы в физике

Введение

Применение математических методов к проблемам физики

Математическая физика — это разработка математических методов для решения задач физики. Журнал математической физики определяет эту область как «применение математики к проблемам физики, а также разработку математических методов, подходящих для таких приложений и для формулирования физических теорий». Альтернативное определение включает также математику, вдохновлённую физикой, известную как физическая математика.

Область применения

Существует несколько различных направлений математической физики, которые в общих чертах соответствуют конкретным историческим периодам развития науки.

Классическая механика

Применение методов математической физики к классической механике обычно включает в себя строгую, абстрактную и углубленную переформулировку ньютоновской механики в терминах лагранжевой и гамильтоновой механики (включая оба подхода при наличии ограничений). Обе эти формулировки воплощены в аналитической механике и приводят к пониманию глубокой взаимосвязи между понятиями симметрии и сохраняющихся величин в процессе динамической эволюции механических систем, как это отражено в наиболее элементарной формулировке теоремы Нётер. Эти подходы и идеи были распространены на другие области физики, такие как статистическая механика, механика сплошных сред, классическая теория поля и квантовая теория поля. Кроме того, они послужили источником множества примеров и идей в дифференциальной геометрии (например, различных понятий в симплектической геометрии и векторных расслоениях).

Частичные дифференциальные уравнения

В рамках математики, теория дифференциальных уравнений в частных производных, вариационное исчисление, анализ Фурье, теория потенциала и векторный анализ, пожалуй, наиболее тесно связаны с математической физикой. Эти области интенсивно развивались со второй половины XVIII века (например, Д’Аламбером, Эйлером и Лагранжем) до 1930-х годов. К физическим приложениям этих разработок относятся гидродинамика, небесная механика, механика сплошных сред, теория упругости, акустика, термодинамика, электричество, магнетизм и аэродинамика.

Квантовая теория

Теория атомных спектров (а позже квантовая механика) развивалась почти одновременно с некоторыми разделами математических областей линейной алгебры, спектральной теории операторов, операторных алгебр и, в более широком смысле, функционального анализа. Нерелятивистская квантовая механика включает в себя операторы Шрёдингера и связана с атомной и молекулярной физикой. Квантовая информационная теория – ещё одна узкая специализация.

Теории относительности и квантовой релятивизма

Специальная и общая теории относительности требуют существенно иного типа математики. Этим типом была теория групп, сыгравшая важную роль как в квантовой теории поля, так и в дифференциальной геометрии. Однако постепенно её стали дополнять топология и функциональный анализ в математическом описании космологических явлений, а также явлений квантовой теории поля. В математическом описании этих физических областей также имеют значение некоторые понятия гомологической алгебры и теории категорий.

Статистическая механика

Статистическая механика формирует отдельную область, включающую теорию фазовых переходов. Она основывается на гамильтоновой механике (или её квантовой версии) и тесно связана с более математической эргодической теорией и некоторыми разделами теории вероятностей. Наблюдается всё большее взаимодействие между комбинаторикой и физикой, в особенности статистической физикой.

Использование

Использование термина «математическая физика» иногда бывает весьма индивидуальным. Определенные разделы математики, которые первоначально возникли в процессе развития физики, на самом деле не рассматриваются как части математической физики, в то время как другие тесно связанные области – рассматриваются. Например, обыкновенные дифференциальные уравнения и симплектическая геометрия обычно считаются чисто математическими дисциплинами, тогда как динамические системы и гамильтонова механика относятся к математической физике. Джон Херапат использовал этот термин в названии своего труда 1847 года «Математические принципы естественной философии», охватывавшего в то время «причины тепла, упругости газов, гравитации и других великих явлений природы».

Математическая против теоретической физики

Термин "математическая физика" иногда используется для обозначения исследований, направленных на изучение и решение проблем в физике или мысленных экспериментов в рамках математически строгой основы. В этом смысле математическая физика охватывает очень широкую академическую область, отличающуюся лишь сочетанием математических и теоретико-физических аспектов. Хотя она связана с теоретической физикой, математическая физика в этом смысле делает акцент на математической строгости, сопоставимой с той, что встречается в математике. С другой стороны, теоретическая физика подчеркивает связь с наблюдениями и экспериментальной физикой, что часто требует от физиков-теоретиков (и математических физиков в более широком смысле) использования эвристических, интуитивных или приближенных рассуждений. Такие рассуждения не считаются строгими математиками. Математические физики в основном расширяют и уточняют физические теории. В силу требуемого уровня математической строгости, эти исследователи часто занимаются вопросами, которые теоретические физики считают уже решенными. Однако они порой могут показать, что предыдущее решение было неполным, неверным или просто слишком упрощенным. Примерами служат вопросы, связанные с попытками вывести второй закон термодинамики из статистической механики. Другие примеры касаются тонкостей, связанных с процедурами синхронизации в специальной и общей теории относительности (эффект Сагняка и синхронизация Эйнштейна). Стремление к математически строгому обоснованию физических теорий не только развивало физику, но и оказало влияние на развитие некоторых математических областей. Например, развитие квантовой механики и некоторые аспекты функционального анализа во многом развивались параллельно. Математическое изучение квантовой механики, квантовой теории поля и квантовой статистической механики стимулировало получение результатов в области операторных алгебр. Попытка построить строгую математическую формулировку квантовой теории поля также способствовала прогрессу в таких областях, как теория представлений.

The term "mathematical physics" is sometimes used to denote research aimed at studying and solving problems in physics or thought experiments within a mathematically rigorous framework. In this sense, mathematical physics covers a very broad academic realm distinguished only by the blending of some mathematical aspect and theoretical physics aspect. Although related to theoretical physics, mathematical physics in this sense emphasizes the mathematical rigour of the similar type as found in mathematics. On the other hand, theoretical physics emphasizes the links to observations and experimental physics, which often requires theoretical physicists (and mathematical physicists in the more general sense) to use heuristic, intuitive, or approximate arguments. Such arguments are not considered rigorous by mathematicians. Such mathematical physicists primarily expand and elucidate physical theories. Because of the required level of mathematical rigour, these researchers often deal with questions that theoretical physicists have considered to be already solved. However, they can sometimes show that the previous solution was incomplete, incorrect, or simply too naïve. Issues about attempts to infer the second law of thermodynamics from statistical mechanics are examples. Other examples concern the subtleties involved with synchronisation procedures in special and general relativity (Sagnac effect and Einstein synchronisation). The effort to put physical theories on a mathematically rigorous footing not only developed physics but also has influenced developments of some mathematical areas. For example, the development of quantum mechanics and some aspects of functional analysis parallel each other in many ways. The mathematical study of quantum mechanics, quantum field theory, and quantum statistical mechanics has motivated results in operator algebras. The attempt to construct a rigorous mathematical formulation of quantum field theory has also brought about some progress in fields such as representation theory.

До Ньютона

Существует традиция математического анализа природы, восходящая к древним грекам; примерами служат Евклид (Оптика), Архимед (О равновесии плоскостей, О плавающих телах) и Птолемей (Оптика, Гармоника). Позднее исламские и византийские ученые развивали эти работы, которые в конечном итоге были вновь открыты или стали доступны на Западе в XII веке и в эпоху Возрождения. В первом десятилетии XVI века астроном-любитель Николай Коперник предложил гелиоцентрическую систему и опубликовал трактат об этом в 1543 году. Он сохранил птолемеевскую идею эпициклов, стремясь лишь упростить астрономию, построив более простые системы эпициклических орбит. Эпициклы состоят из кругов на кругах. Согласно аристотелевской физике, круг был совершенной формой движения и являлся внутренним движением пятого элемента Аристотеля – квинтэссенции или универсальной сущности, известной в греческом языке как эфир, или чистый воздух на английском – чистого вещества за пределами лунной сферы, и, следовательно, чистым составом небесных тел. Немец Иоганнес Кеплер [1571–1630], помощник Тихо Браге, модифицировал коперниковские орбиты, приведя их к эллипсам, что было формализовано в уравнениях законов Кеплера о движении планет. Галилео Галилей, увлеченный атомист, в своей книге 1623 года «Испытатель» утверждал, что «книга природы написана на языке математики». Его книга 1632 года, посвященная телескопическим наблюдениям, подтвердила гелиоцентризм. Введя экспериментальный метод, Галилей опроверг геоцентрическую космологию, опровергнув саму физику Аристотеля. Книга Галилея 1638 года «Дискурс о двух новых науках» установила закон равноускоренного свободного падения, а также принципы инерционного движения, заложив основополагающие концепции будущей классической механики. Кристиан Гюйгенс, современник Ньютона, был первым, кто идеализировал физическую задачу с помощью набора параметров и впервые полностью математически объяснил механистическое описание ненаблюдаемых физических явлений. По этим причинам Гюйгенс считается первым теоретическим физиком и одним из основателей современной математической физики.

There is a tradition of mathematical analysis of nature that goes back to the ancient Greeks; examples include Euclid (Optics), Archimedes (On the Equilibrium of Planes, On Floating Bodies), and Ptolemy (Optics, Harmonics). Later, Islamic and Byzantine scholars built on these works, and these ultimately were reintroduced or became available to the West in the 12th century and during the Renaissance. In the first decade of the 16th century, amateur astronomer Nicolaus Copernicus proposed heliocentrism, and published a treatise on it in 1543. He retained the Ptolemaic idea of epicycles, and merely sought to simplify astronomy by constructing simpler sets of epicyclic orbits. Epicycles consist of circles upon circles. According to Aristotelian physics, the circle was the perfect form of motion, and was the intrinsic motion of Aristotle's fifth element—the quintessence or universal essence known in Greek as aether for the English pure air—that was the pure substance beyond the sublunary sphere, and thus was celestial entities' pure composition. The German Johannes Kepler [1571–1630], Tycho Brahe's assistant, modified Copernican orbits to ellipses, formalized in the equations of Kepler's laws of planetary motion. An enthusiastic atomist, Galileo Galilei in his 1623 book The Assayer asserted that the "book of nature is written in mathematics". His 1632 book, about his telescopic observations, supported heliocentrism. Having introduced experimentation, Galileo then refuted geocentric cosmology by refuting Aristotelian physics itself. Galileo's 1638 book Discourse on Two New Sciences established the law of equal free fall as well as the principles of inertial motion, founding the central concepts of what would become today's classical mechanics. An older contemporary of Newton, Christiaan Huygens, was the first to idealize a physical problem by a set of parameters and the first to fully mathematize a mechanistic explanation of unobservable physical phenomena, and for these reasons Huygens is considered the first theoretical physicist and one of the founders of modern mathematical physics.

Ньютоновский и пост-Ньютоновский

В эту эпоху важные понятия в исчислении, такие как фундаментальная теорема исчисления (доказана в 1668 году шотландским математиком Джеймсом Грегори) и нахождение экстремумов и минимумов функций посредством дифференцирования с использованием теоремы Ферма (французским математиком Пьером де Ферма), были известны еще до Лейбница и Ньютона. Исаак Ньютон (1642–1727) разработал некоторые концепции в исчислении (хотя Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал аналогичные концепции вне контекста физики) и метод Ньютона для решения задач в физике. Он был чрезвычайно успешен в применении исчисления к теории движения. Теория движения Ньютона, изложенная в его «Математических началах натуральной философии», опубликованной в 1687 году, моделировала три галилеевских закона движения вместе с законом всемирного тяготения Ньютона на основе абсолютного пространства — гипотезы Ньютона как физически реальной сущности евклидовой геометрической структуры, простирающейся бесконечно во всех направлениях, — при этом постулируя абсолютное время, предположительно обосновывающее знание об абсолютном движении, движении объекта относительно абсолютного пространства. Принцип галилеевской инвариантности/относительности был лишь подразумеваем в теории движения Ньютона. Явно сведя кеплеровские законы движения небесных тел, а также галилеевские законы движения земных тел к единой силе, Ньютон достиг большой математической строгости, но с некоторой теоретической свободой. В XVIII веке швейцарский ученый Даниэль Бернулли (1700–1782) внес вклад в гидродинамику и колебания струн. Швейцарский Леонард Эйлер (1707–1783) проделал значительную работу в вариационном исчислении, динамике, гидродинамике и других областях. Также примечателен француз итальянского происхождения, Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) за работы в аналитической механике: он сформулировал лагранжеву механику и вариационные методы. Важный вклад в формулирование аналитической динамики, называемой гамильтоновой динамикой, также внес ирландский физик, астроном и математик Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865). Гамильтонова динамика сыграла важную роль в формулировании современных теорий в физике, включая теорию поля и квантовую механику. Французский математик-физик Жозеф Фурье (1768–1830) ввел понятие ряда Фурье для решения уравнения теплопроводности, что привело к новому подходу к решению частных дифференциальных уравнений с помощью интегральных преобразований. В начале XIX века математики из Франции, Германии и Англии внесли свой вклад в математическую физику. Француз Пьер Симон Лаплас (1749–1827) внес важнейший вклад в математическую астрономию и теорию потенциала. Симеон Дени Пуассон (1781–1840) работал в аналитической механике и теории потенциала. В Германии Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) внес ключевой вклад в теоретические основы электричества, магнетизма, механики и гидродинамики. В Англии Джордж Грин (1793–1841) опубликовал «Опыт о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» в 1828 году, который, помимо значительного вклада в математику, сделал первые успехи в создании математических основ электричества и магнетизма. За пару десятилетий до публикации Ньютоном корпускулярной теории света голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629–1695) разработал волновую теорию света, опубликованную в 1690 году. К 1804 году эксперимент Томаса Юнга с двумя щелями выявил интерференционную картину, как будто свет был волной, и таким образом волновая теория света Гюйгенса, а также вывод Гюйгенса о том, что световые волны являются колебаниями светоносного эфира, были приняты. Жан Огюстен Френель моделировал гипотетическое поведение эфира. Английский физик Майкл Фарадей ввел теоретическое понятие поля — не действия на расстоянии. В середине XIX века шотландец Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) свел электричество и магнетизм к теории электромагнитного поля Максвелла, упрощенной другими до четырех уравнений Максвелла. Первоначально оптика была выведена как следствие поля Максвелла. Позже излучение, а затем и современный электромагнитный спектр также были выведены из этого электромагнитного поля. Английский физик лорд Рэлей [1842–1919] работал над звуком. Ирландцы Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865), Джордж Габриэль Стокс (1819–1903) и лорд Кельвин (1824–1907) создали несколько крупных работ: Стокс был лидером в области оптики и гидродинамики; Кельвин сделал значительные открытия в термодинамике; Гамильтон проделал заметную работу в аналитической механике, открыв новый и мощный подход, известный сегодня как гамильтонова механика. Очень важный вклад в этот подход внес его немецкий коллега, математик Карл Густав Якоби (1804–1851), в частности, касающийся канонических преобразований. Немецкий ученый Герман фон Гельмгольц (1821–1894) внес значительный вклад в области электромагнетизма, волн, жидкостей и звука. В Соединенных Штатах новаторская работа Джозайи Уилларда Гиббса (1839–1903) стала основой статистической механики. Фундаментальные теоретические результаты в этой области были достигнуты немецким ученым Людвигом Больцманом (1844–1906). Вместе эти ученые заложили основы электромагнитной теории, гидродинамики и статистической механики.

In this era, important concepts in calculus such as the fundamental theorem of calculus (proved in 1668 by Scottish mathematician James Gregory) and finding extrema and minima of functions via differentiation using Fermat's theorem (by French mathematician Pierre de Fermat) were already known before Leibniz and Newton. Isaac Newton (1642–1727) developed some concepts in calculus (although Gottfried Wilhelm Leibniz developed similar concepts outside the context of physics) and Newton's method to solve problems in physics. He was extremely successful in his application of calculus to the theory of motion. Newton's theory of motion, shown in his Mathematical Principles of Natural Philosophy, published in 1687, modeled three Galilean laws of motion along with Newton's law of universal gravitation on a framework of absolute space—hypothesized by Newton as a physically real entity of Euclidean geometric structure extending infinitely in all directions—while presuming absolute time, supposedly justifying knowledge of absolute motion, the object's motion with respect to absolute space. The principle of Galilean invariance/relativity was merely implicit in Newton's theory of motion. Having ostensibly reduced the Keplerian celestial laws of motion as well as Galilean terrestrial laws of motion to a unifying force, Newton achieved great mathematical rigor, but with theoretical laxity. In the 18th century, the Swiss Daniel Bernoulli (1700–1782) made contributions to fluid dynamics, and vibrating strings. The Swiss Leonhard Euler (1707–1783) did special work in variational calculus, dynamics, fluid dynamics, and other areas. Also notable was the Italian born Frenchman, Joseph Louis Lagrange (1736–1813) for work in analytical mechanics: he formulated Lagrangian mechanics) and variational methods. A major contribution to the formulation of Analytical Dynamics called Hamiltonian dynamics was also made by the Irish physicist, astronomer and mathematician, William Rowan Hamilton (1805–1865). Hamiltonian dynamics had played an important role in the formulation of modern theories in physics, including field theory and quantum mechanics. The French mathematical physicist Joseph Fourier (1768 – 1830) introduced the notion of Fourier series to solve the heat equation, giving rise to a new approach to solving partial differential equations by means of integral transforms. Into the early 19th century, following mathematicians in France, Germany and England had contributed to mathematical physics. The French Pierre Simon Laplace (1749–1827) made paramount contributions to mathematical astronomy, potential theory. Siméon Denis Poisson (1781–1840) worked in analytical mechanics and potential theory. In Germany, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) made key contributions to the theoretical foundations of electricity, magnetism, mechanics, and fluid dynamics. In England, George Green (1793–1841) published An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism in 1828, which in addition to its significant contributions to mathematics made early progress towards laying down the mathematical foundations of electricity and magnetism. A couple of decades ahead of Newton's publication of a particle theory of light, the Dutch Christiaan Huygens (1629–1695) developed the wave theory of light, published in 1690. By 1804, Thomas Young's double slit experiment revealed an interference pattern, as though light were a wave, and thus Huygens's wave theory of light, as well as Huygens's inference that light waves were vibrations of the luminiferous aether, was accepted. Jean Augustin Fresnel modeled hypothetical behavior of the aether. The English physicist Michael Faraday introduced the theoretical concept of a field—not action at a distance. Mid 19th century, the Scottish James Clerk Maxwell (1831–1879) reduced electricity and magnetism to Maxwell's electromagnetic field theory, whittled down by others to the four Maxwell's equations. Initially, optics was found consequent of Maxwell's field. Later, radiation and then today's known electromagnetic spectrum were found also consequent of this electromagnetic field. The English physicist Lord Rayleigh [1842–1919] worked on sound. The Irishmen William Rowan Hamilton (1805–1865), George Gabriel Stokes (1819–1903) and Lord Kelvin (1824–1907) produced several major works: Stokes was a leader in optics and fluid dynamics; Kelvin made substantial discoveries in thermodynamics; Hamilton did notable work on analytical mechanics, discovering a new and powerful approach nowadays known as Hamiltonian mechanics. Very relevant contributions to this approach are due to his German colleague mathematician Carl Gustav Jacobi (1804–1851) in particular referring to canonical transformations. The German Hermann von Helmholtz (1821–1894) made substantial contributions in the fields of electromagnetism, waves, fluids, and sound. In the United States, the pioneering work of Josiah Willard Gibbs (1839–1903) became the basis for statistical mechanics. Fundamental theoretical results in this area were achieved by the German Ludwig Boltzmann (1844–1906). Together, these individuals laid the foundations of electromagnetic theory, fluid dynamics, and statistical mechanics.

Релятивистский

К 1880-м годам существовал заметный парадокс: наблюдатель в электромагнитном поле Максвелла измерял его скорость как приблизительно постоянную, независимо от скорости самого наблюдателя относительно других объектов в этом поле. Таким образом, хотя скорость наблюдателя постоянно уменьшалась относительно электромагнитного поля, она сохранялась относительно других объектов внутри него. И все же никакого нарушения галилеевской инвариантности во взаимодействиях между объектами обнаружено не было. Поскольку электромагнитное поле Максвелла моделировалось как колебания эфира, физики предположили, что движение внутри эфира вызывает дрейф эфира, смещая электромагнитное поле и объясняя, таким образом, потерю скорости наблюдателя относительно него. Галилеевское преобразование было математическим методом перевода координат из одной системы отсчета в другую, представленных в декартовых координатах, но оно было заменено преобразованием Лоренца, разработанным голландским ученым Хендриком Лоренцем [1853–1928]. Однако в 1887 году экспериментаторы Микельсон и Морли не смогли обнаружить дрейф эфира. Была выдвинута гипотеза, что движение в эфире также вызывает его сокращение, как это было смоделировано в сжатии Лоренца. Предполагалось, что эфир таким образом обеспечивает соответствие электромагнитного поля Максвелла принципу галилеевской инвариантности во всех инерциальных системах отсчета, сохраняя при этом ньютоновскую теорию движения. Австрийский физик-теоретик и философ Эрнст Мах критиковал постулированное Ньютоном абсолютное пространство. Математик Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912) подверг сомнению даже абсолютное время. В 1905 году Пьер Дюгем опубликовал резкую критику основ ньютоновской теории движения. Эйнштейн сначала назвал это "излишней эрудицией", но позже с большой элегантностью использовал пространство-время Минковского в своей общей теории относительности, распространив инвариантность на все системы отсчета – как инерциальные, так и ускоренные – и признал заслугу в этом Минковского, к тому времени уже умершего. Общая теория относительности заменяет декартовы координаты на гауссовы и заменяет пустое, но евклидово пространство, мгновенно пересекаемое вектором гипотетической гравитационной силы Ньютона – мгновенным действием на расстоянии – гравитационным полем. Гравитационное поле – это пространство-время Минковского, четырехмерная топология Эйнштейна эфира, смоделированная на лоренцевом многообразии, которое геометрически "искривляется" в соответствии с тензором кривизны Римана. Концепция гравитации Ньютона: "две массы притягиваются друг к другу" заменена геометрическим аргументом: "масса изменяет кривизну пространства-времени, и свободно падающие частицы с массой движутся по геодезической линии в этом пространстве-времени" (Риманова геометрия уже существовала до 1850-х годов, благодаря математикам Карлу Фридриху Гауссу и Бернарду Риману, искавшим внутреннюю и неевклидову геометрию), вблизи любой массы или энергии. (В рамках специальной теории относительности – частного случая общей теории относительности – даже безмассовая энергия оказывает гравитационное воздействие, локально "искривляя" геометрию четырех объединенных измерений пространства и времени.)

By the 1880s, there was a prominent paradox that an observer within Maxwell's electromagnetic field measured it at approximately constant speed, regardless of the observer's speed relative to other objects within the electromagnetic field. Thus, although the observer's speed was continually lost relative to the electromagnetic field, it was preserved relative to other objects in the electromagnetic field. And yet no violation of Galilean invariance within physical interactions among objects was detected. As Maxwell's electromagnetic field was modeled as oscillations of the aether, physicists inferred that motion within the aether resulted in aether drift, shifting the electromagnetic field, explaining the observer's missing speed relative to it. The Galilean transformation had been the mathematical process used to translate the positions in one reference frame to predictions of positions in another reference frame, all plotted on Cartesian coordinates, but this process was replaced by Lorentz transformation, modeled by the Dutch Hendrik Lorentz [1853–1928]. In 1887, experimentalists Michelson and Morley failed to detect aether drift, however. It was hypothesized that motion into the aether prompted aether's shortening, too, as modeled in the Lorentz contraction. It was hypothesized that the aether thus kept Maxwell's electromagnetic field aligned with the principle of Galilean invariance across all inertial frames of reference, while Newton's theory of motion was spared. Austrian theoretical physicist and philosopher Ernst Mach criticized Newton's postulated absolute space. Mathematician Jules Henri Poincaré (1854–1912) questioned even absolute time. In 1905, Pierre Duhem published a devastating criticism of the foundation of Newton's theory of motion. Einstein initially called this "superfluous learnedness", but later used Minkowski spacetime with great elegance in his general theory of relativity, extending invariance to all reference frames—whether perceived as inertial or as accelerated—and credited this to Minkowski, by then deceased. General relativity replaces Cartesian coordinates with Gaussian coordinates, and replaces Newton's claimed empty yet Euclidean space traversed instantly by Newton's vector of hypothetical gravitational force—an instant action at a distance—with a gravitational field. The gravitational field is Minkowski spacetime itself, the 4D topology of Einstein aether modeled on a Lorentzian manifold that "curves" geometrically, according to the Riemann curvature tensor. The concept of Newton's gravity: "two masses attract each other" replaced by the geometrical argument: "mass transform curvatures of spacetime and free falling particles with mass move along a geodesic curve in the spacetime" (Riemannian geometry already existed before the 1850s, by mathematicians Carl Friedrich Gauss and Bernhard Riemann in search for intrinsic geometry and non Euclidean geometry. ), in the vicinity of either mass or energy. (Under special relativity—a special case of general relativity—even massless energy exerts gravitational effect by its mass equivalence locally "curving" the geometry of the four, unified dimensions of space and time.)

Квантовый

Еще одним революционным развитием 20-го века была квантовая теория, которая возникла из основополагающих работ Макса Планка (1856–1947) (по излучению абсолютно черного тела) и исследований Эйнштейна по фотоэлектрическому эффекту. В 1912 году математик Анри Пуанкаре опубликовал работу «Sur la théorie des quanta», в которой представил первое нетривиальное определение квантования. Развитие ранней квантовой физики шло в рамках эвристической модели, предложенной Арнольдом Зоммерфельдом (1868–1951) и Нильсом Бором (1885–1962), но вскоре она была заменена квантовой механикой, разработанной Максом Борном (1882–1970), Вернером Гейзенбергом (1901–1976), Полом Дираком (1902–1984), Эрвином Шрёдингером (1887–1961), Сатьендрой Натом Бозом (1894–1974) и Вольфгангом Паули (1900–1958). Эта революционная теоретическая структура основана на вероятностной интерпретации состояний, эволюции и измерений в терминах самосопряжённых операторов в бесконечномерном векторном пространстве, называемом пространством Гильберта. Оно было введено математиками Давидом Гильбертом (1862–1943), Эрхардом Шмидтом (1876–1959) и Фридьешем Риесом (1880–1956) в поисках обобщения евклидова пространства и при изучении интегральных уравнений. Строгое аксиоматическое определение этой версии было дано Джоном фон Нейманом в его знаменитой книге «Математические основы квантовой механики», где он заложил соответствующую часть современного функционального анализа на пространствах Гильберта, в частности, спектральную теорию (введённую Давидом Гильбертом при исследовании квадратичных форм с бесконечным числом переменных). Много лет спустя выяснилось, что его спектральная теория связана со спектром атома водорода, что стало для него неожиданным открытием. Пол Дирак использовал алгебраические построения для создания релятивистской модели электрона, предсказав его магнитный момент и существование его античастицы – позитрона.

Учебники для студентов

, (Математические методы для физиков, Решения задач по математическим методам для физиков (7-е изд.), archive.org)

Хассани, Садри (2009), Математические методы для студентов физических и смежных специальностей, (2-е изд.), Нью-Йорк, Springer, eISBN 978 0 387 09504 2