Введение
Группа унитарных матриц
В математике, унитарная группа степени n, обозначаемая U(n), представляет собой группу n × n унитарных матриц, с групповой операцией умножения матриц. Унитарная группа является подгруппой общей линейной группы GL(n, C). Гиперортогональная группа — устаревшее название унитарной группы, особенно над конечными полями. О группе унитарных матриц с детерминантом 1 см. в статье «Специальная унитарная группа». В простейшем случае, когда n = 1, группа U(1) соответствует круговой группе, состоящей из всех комплексных чисел с абсолютной величиной 1 относительно операции умножения. Все унитарные группы содержат копии этой группы. Унитарная группа U(n) является вещественной группой Ли размерности n². Алгебра Ли группы U(n) состоит из n × n косоэрмитовых матриц, с скобкой Ли, определяемой коммутатором. Общая унитарная группа (также называемая группой унитарных подобий) состоит из всех матриц A, таких что A*A является ненулевым кратным единичной матрицы, и является произведением унитарной группы на группу всех положительных кратных единичной матрицы.
Специальные унитарные и проективные унитарные группы
Так же, как ортогональная группа O(n) имеет специальную ортогональную группу SO(n) в качестве подгруппы и проективную ортогональную группу PO(n) в качестве факторгруппы, а проективная специальная ортогональная группа PSO(n) является подфакторгруппой, унитарная группа U(n) связана со специальной унитарной группой SU(n), проективной унитарной группой PU(n) и проективной специальной унитарной группой PSU(n). Связь между ними представлена коммутативной диаграммой справа; примечательно, что обе проективные группы равны: PSU(n) = PU(n). Вышесказанное относится к классической унитарной группе (над комплексными числами) – для унитарных групп над конечными полями аналогичным образом получаются специальные унитарные и проективные унитарные группы, но в общем случае .
Структура G: почти гермитово-голубая
В языке структур G, многообразие с U(n)-структурой является почти гермитовым многообразием.
Определенные поля
Над конечным полем с 1 = q = pr элементами, Fq, существует единственное квадратичное расширение поля, Fq2, с автоморфизмом порядка 2 (р-я степень автоморфизма Фробениуса). Это позволяет определить эрмитову форму на векторном пространстве V над Fq2 как Fq-билинейное отображение, такое что и для c ∈ Fq2. Более того, все невырожденные эрмитовы формы на векторном пространстве над конечным полем унитарно сопряжены со стандартной, представленной единичной матрицей; то есть любая эрмитова форма унитарно эквивалентна, где обозначают координаты w, v ∈ V в некотором фиксированном базисе размерности n пространства V над Fq2. Таким образом, можно определить (единственную) унитарную группу размерности n для расширения Fq2/Fq, обозначаемую как U(n, q) или U(n, q2) в зависимости от автора. Подгруппа унитарной группы, состоящая из матриц с детерминантом 1, называется специальной унитарной группой и обозначается SU(n, q) или SU(n, q2). Для удобства в данной статье будет использоваться обозначение U(n, q2). Центр U(n, q2) имеет порядок q + 1 и состоит из скалярных унитарных матриц, то есть матриц вида cI, где c ∈ Fq2. Центр специальной унитарной группы имеет порядок НОД(n, q + 1) и состоит из унитарных скаляров, порядок которых делит n. Факторгруппа унитарной группы по её центру называется проективной унитарной группой PU(n, q2), а факторгруппа специальной унитарной группы по её центру – проективной специальной унитарной группой PSU(n, q2). В большинстве случаев (n > 1 и q > 1), SU(n, q2) является совершенной группой, а PSU(n, q2) – конечной простой группой.
where represent the coordinates of w, v ∈ V in some particular Fq2 basis of the n dimensional space V
Thus one can define a (unique) unitary group of dimension n for the extension Fq2/Fq, denoted either as U(n, q) or U(n, q2) depending on the author. The subgroup of the unitary group consisting of matrices of determinant 1 is called the special unitary group and denoted SU(n, q) or SU(n, q2). For convenience, this article will use the U(n, q2) convention. The center of U(n, q2) has order q + 1 and consists of the scalar matrices that are unitary, that is those matrices cIV with The center of the special unitary group has order gcd(n, q + 1) and consists of those unitary scalars which also have order dividing n. The quotient of the unitary group by its center is called the projective unitary group, PU(n, q2), and the quotient of the special unitary group by its center is the projective special unitary group PSU(n, q2). In most cases (n > 1 and ), SU(n, q2) is a perfect group and PSU(n, q2) is a finite simple group, .
Алгебры, разделяемые на 2-ю степень
Более общим образом, задано поле k и разделяемая алгебра K степени 2 над k (которая может быть расширением поля, но не обязательно), можно определить унитарные группы относительно этого расширения. Во-первых, существует единственный k-автоморфизм K, являющийся инволюцией и фиксирующий точно k (то есть a фиксируется, если и только если a ∈ k). Это обобщает комплексное сопряжение и сопряжение в расширениях конечных полей степени 2, и позволяет определить эрмитовы формы и унитарные группы, как описано выше.
Классификация пространства
Классифицирующее пространство для U(n) описано в статье «Классифицирующее пространство для U(n)».