Кіріспе
А, б, c-ның әртүрлі жай көбейткіштерінің көбейтіндісі, мұндағы c – a+b, көбінесе c-ден едәуір кіші болмайды. abc болжамы (Остерле – Массер болжамы деп те аталады) – сандар теориясындағы Жозеф Остерле мен Дэвид Массердің 1985 жылы талқылауынан туындаған болжам. Бұл үш оң бүтін сан (сондықтан осы ат) өзара жай және c = a+b шартын қанағаттандыратын жағдайда айтылады. Болжамның мәні, әртүрлі жай факторлардың көбейтіндісі көбінесе c-ден айтарлықтай кіші болмайды. Сандар теориясындағы көптеген белгілі болжамдар мен теоремалар abc болжамынан немесе оның түсіндірмелерінен тікелей туындайды. Математик Дориан Голдфельд abc болжамын «Диофантылық талдаудағы ең маңызды шешілмеген мәселе» деп сипаттады. abc болжамы, Остерле мен Массердің эллиптік қисықтар туралы Шпиро болжамын түсінуге жасаған әрекеттерінің нәтижесінде пайда болды, ол abc болжамына қарағанда мәлімдемесінде көбірек геометриялық құрылымдарды қамтиды. abc болжамының модификацияланған Шпиро болжамымен эквивалентті екені дәлелденді. abc болжамын дәлелдеуге әртүрлі талпыныстар жасалды, бірақ олардың ешқайсысы кеңінен қабылданбады. Шиничи Мочизуки 2012 жылы дәлелдегенін мәлімдеді, бірақ бұл болжам әлі де математикалық қауымдастық тарапынан дәлелденбеген деп есептеледі.
The abc conjecture (also known as the Oesterlé–Masser conjecture) is a conjecture in number theory that arose out of a discussion of Joseph Oesterlé and David Masser in 1985. It is stated in terms of three positive integers and (hence the name) that are relatively prime and satisfy The conjecture essentially states that the product of the distinct prime factors of is usually not much smaller than A number of famous conjectures and theorems in number theory would follow immediately from the abc conjecture or its versions. Mathematician Dorian Goldfeld described the abc conjecture as "The most important unsolved problem in Diophantine analysis". The abc conjecture originated as the outcome of attempts by Oesterlé and Masser to understand the Szpiro conjecture about elliptic curves, which involves more geometric structures in its statement than the abc conjecture. The abc conjecture was shown to be equivalent to the modified Szpiro's conjecture. Various attempts to prove the abc conjecture have been made, but none have gained broad acceptance. Shinichi Mochizuki claimed to have a proof in 2012, but the conjecture is still regarded as unproven by the mainstream mathematical community.
Теориялық нәтижелер
abc болжамы c-нің abc радикалының дерлік сызықтық функциясымен жоғарыдан шектелуі мүмкін екенін көрсетеді. Экспоненциалды шектер белгілі. Атап айтқанда, келесі шектер дәлелденді:
In these bounds, K1 and K3 are constants that do not depend on a, b, or c, and K2 is a constant that depends on ε (in an effectively computable way) but not on a, b, or c. The bounds apply to any triple for which c > 2. There are also theoretical results that provide a lower bound on the best possible form of the abc conjecture. In particular, showed that there are infinitely many triples (a, b, c) of coprime integers with a + b = c and
for all k < 4. The constant k was improved to k = 6.068 by .
Бұл шектерде K1 және K3 - a, b немесе c-ға тәуелді емес тұрақтылар, ал K2 - ε-ға тәуелді тұрақты (нақты есептеу арқылы), бірақ a, b немесе c-ға емес. Бұл шектер c > 2 болатын кез келген үштікке қолданылады. Сонымен қатар, abc болжамының ең жақсы мүмкін түрінің төменгі шегін беруші теориялық нәтижелер де бар. Атап айтқанда, a + b = c және k < 4 болатын өзара жай бүтін сандардың шексіз көп (a, b, c) үштігі бар екенін көрсетті. k тұрақтысы -ға дейін жақсартылды.
In these bounds, K1 and K3 are constants that do not depend on a, b, or c, and K2 is a constant that depends on ε (in an effectively computable way) but not on a, b, or c. The bounds apply to any triple for which c > 2. There are also theoretical results that provide a lower bound on the best possible form of the abc conjecture. In particular, showed that there are infinitely many triples (a, b, c) of coprime integers with a + b = c and
for all k < 4. The constant k was improved to k = 6.068 by .
Есептеу нәтижелері
2006 жылы Нидерландыдағы Лейден университетінің математика бөлімі Нидерландының Kennislink ғылыми институтымен бірге ABC@Home жобасын іске қосты, бұл желілік есептеу жүйесі, оның мақсаты қосымша үштіктер a, b, c-ді rad(abc) < c шартымен табу. ABC болжамын шешу үшін үлгілер мен қарсы мысалдардың шекті жиынтығы болмаса да, бұл жобада табылған үштіктердің үлгілері болжамдар мен сандар теориясы туралы түсініктерге әкелуі мүмкін деп үміттенеді. + Үштіктердің таралуы scope="col" q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6 4 2 0 0 c < 103 31 17 14 8 3 1 c < 104 120 74 50 22 8 3 c < 105 418 240 152 51 13 6 c < 106 1,268 667 379 102 29 11 c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17 c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25 c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34 c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51 c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64 c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74 c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84 c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98 c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112 c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126 c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143 c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
2014 жылдың мамыр айына қарай, ABC@Home 23.8 миллион үштік тапқан. + Ең жоғары сапалы үштіктер Рангы q a b c Табылған: 1 1.6299 2 310·109 235 Эрик Рейссат 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Бенне де Вегер 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Джерзи Броукин, Джулиус Бжезинский 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Джерзи Броукин, Джулиус Бжезинский, Абдеррахман Нитадж 5 1.5679 1 2·37 54·7 Бенне де Вегер Ескерту: үштік (a, b, c) сапасы q(a, b, c) жоғарыда анықталды.
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
Дәлелденген дәлелдемелер
Люсьен Шпиро 2007 жылы шешім ұсынған, бірақ ол көп ұзамай дұрыс емес екені анықталды. 2012 жылдың тамыз айынан бастап Шиничи Мочизуки Шпироның болжамын және, демек, abc болжамын дәлелдегенін мәлімдеді. Алайда, математикалық қауымдастық бұл еңбектерді abc-ге дәлел ретінде кеңінен қабылдаған жоқ. Бұл олардың көлеміне және түсіну қиындығына ғана емес, сонымен қатар бірқатар сарапшылар дәлелдемеде кем дегенде бір нақты тұста олқылық бар екенін анықтағандықтан болды. Олар IUTT бойынша семинарлар арқылы өз түсініктерін жеткізуге тырысқанмен, сан теориясы қауымдастығын толығымен сендіре алмады. 2018 жылдың наурыз айында Питер Шолце мен Якоб Стикс Киотоға барып Мочизукимен пікір алысты. Олар келіспеушілікті шеше алмаса да, оны нақтырақ көрсетті. Шолце мен Стикс дәлелдеу логикасындағы қателікті растап, түсіндіріп, нәтижесінде пайда болған олқылықтың "өте ауыр екенін, сондықтан шағын түзетулер дәлелдеу стратегиясын құтқара алмайды" деп жазған баяндама жазды. Мочизуки олар теорияның маңызды аспектілерін дұрыс түсінбегенін және негіссіз жеңілдетулер жасағанын мәлімдеді. 2020 жылдың 3 сәуірінде Мочизуки жұмыс істейтін Киото ғылыми-зерттеу институтының екі математигі оның дәлелі Математикалық ғылымдар ғылыми-зерттеу институтының жарияланымдарында жарияланатындығын хабарлады. Мочизуки журналдың бас редакторы, бірақ мақаланы қараудан бас тартты.
Mochizuki claimed that they misunderstood vital aspects of the theory and made invalid simplifications. On April 3, 2020, two mathematicians from the Kyoto research institute where Mochizuki works announced that his claimed proof would be published in Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, the institute's journal. Mochizuki is chief editor of the journal but recused himself from the review of the paper.