Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Произведение различных простых множителей чисел a, b, c, где c = a + b, редко значительно меньше c. Гипотеза abc (также известная как гипотеза Остерле — Массера) — это гипотеза в теории чисел, возникшая в результате обсуждения Жозефа Остерле и Дэвида Массера в 1985 году. Она сформулирована в терминах трех положительных целых чисел a, b, c (отсюда и название), взаимно простых и удовлетворяющих условию c = a + b. Гипотеза по сути утверждает, что произведение различных простых множителей abc обычно не намного меньше, чем c. Из гипотезы abc или её вариантов непосредственно вытекает ряд известных гипотез и теорем в теории чисел. Математик Дориан Голдфельд описал гипотезу abc как «самую важную нерешенную проблему в диофантовом анализе». Гипотеза abc возникла как результат попыток Остерле и Массера понять гипотезу Шпиро об эллиптических кривых, которая содержит больше геометрических структур в своей формулировке, чем гипотеза abc. Было показано, что гипотеза abc эквивалентна модифицированной гипотезе Шпиро. Предпринимались различные попытки доказать гипотезу abc, но ни одна из них не получила широкого признания. Синичи Мочидзуки заявил о доказательстве в 2012 году, однако основное математическое сообщество по-прежнему считает эту гипотезу недоказанной.
The product of distinct prime factors of a,b,c, where c is a+b, is rarely much less than c
The abc conjecture (also known as the Oesterlé–Masser conjecture) is a conjecture in number theory that arose out of a discussion of Joseph Oesterlé and David Masser in 1985. It is stated in terms of three positive integers and (hence the name) that are relatively prime and satisfy The conjecture essentially states that the product of the distinct prime factors of is usually not much smaller than A number of famous conjectures and theorems in number theory would follow immediately from the abc conjecture or its versions. Mathematician Dorian Goldfeld described the abc conjecture as "The most important unsolved problem in Diophantine analysis". The abc conjecture originated as the outcome of attempts by Oesterlé and Masser to understand the Szpiro conjecture about elliptic curves, which involves more geometric structures in its statement than the abc conjecture. The abc conjecture was shown to be equivalent to the modified Szpiro's conjecture. Various attempts to prove the abc conjecture have been made, but none have gained broad acceptance. Shinichi Mochizuki claimed to have a proof in 2012, but the conjecture is still regarded as unproven by the mainstream mathematical community.
Теоретические результаты
Предположение об abc подразумевает, что c можно ограничить сверху почти линейной функцией радикала abc. Известны экспоненциальные оценки. В частности, были доказаны следующие оценки:
The abc conjecture implies that c can be bounded above by a near linear function of the radical of abc. Bounds are known that are exponential. Specifically, the following bounds have been proven:
В этих оценках K1 и K3 — константы, не зависящие от a, b или c, а K2 — константа, зависящая от ε (вычислимым образом), но не от a, b или c. Эти оценки применимы к любой тройке, для которой c > 2. Существуют также теоретические результаты, дающие нижнюю границу для наилучшей возможной формы гипотезы об abc. В частности, было показано, что существует бесконечно много троек (a, b, c) взаимно простых целых чисел, таких что a + b = c и
In these bounds, K1 and K3 are constants that do not depend on a, b, or c, and K2 is a constant that depends on ε (in an effectively computable way) but not on a, b, or c. The bounds apply to any triple for which c > 2. There are also theoretical results that provide a lower bound on the best possible form of the abc conjecture. In particular, showed that there are infinitely many triples (a, b, c) of coprime integers with a + b = c and
для всех k < 4. Константа k была улучшена до k = 6,068 .
for all k < 4. The constant k was improved to k = 6.068 by .
Вычислительные результаты
В 2006 году математический факультет Лейденского университета в Нидерландах совместно с голландским научным институтом Kennislink запустил проект ABC@Home, систему распределенных вычислений, целью которой является обнаружение дополнительных троек a, b, c, удовлетворяющих условию rad(abc) < c. Хотя ни одно конечное множество примеров или контрпримеров не может разрешить гипотезу abc, есть надежда, что закономерности в найденных троек позволят получить новые сведения о гипотезе и о теории чисел в целом.
In 2006, the Mathematics Department of Leiden University in the Netherlands, together with the Dutch Kennislink science institute, launched the ABC@Home project, a grid computing system, which aims to discover additional triples a, b, c with rad(abc) < c. Although no finite set of examples or counterexamples can resolve the abc conjecture, it is hoped that patterns in the triples discovered by this project will lead to insights about the conjecture and about number theory more generally. + Distribution of triples with q > 1 scope="col" q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6 4 4 2 0 0 c < 103 31 17 14 8 3 1 c < 104 120 74 50 22 8 3 c < 105 418 240 152 51 13 6 c < 106 1,268 667 379 102 29 11 c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17 c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25 c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34 c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51 c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64 c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74 c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84 c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98 c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112 c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126 c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143 c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
+ Распределение троек с q > 1
In 2006, the Mathematics Department of Leiden University in the Netherlands, together with the Dutch Kennislink science institute, launched the ABC@Home project, a grid computing system, which aims to discover additional triples a, b, c with rad(abc) < c. Although no finite set of examples or counterexamples can resolve the abc conjecture, it is hoped that patterns in the triples discovered by this project will lead to insights about the conjecture and about number theory more generally. + Distribution of triples with q > 1 scope="col" q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6 4 4 2 0 0 c < 103 31 17 14 8 3 1 c < 104 120 74 50 22 8 3 c < 105 418 240 152 51 13 6 c < 106 1,268 667 379 102 29 11 c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17 c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25 c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34 c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51 c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64 c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74 c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84 c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98 c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112 c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126 c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143 c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
In 2006, the Mathematics Department of Leiden University in the Netherlands, together with the Dutch Kennislink science institute, launched the ABC@Home project, a grid computing system, which aims to discover additional triples a, b, c with rad(abc) < c. Although no finite set of examples or counterexamples can resolve the abc conjecture, it is hoped that patterns in the triples discovered by this project will lead to insights about the conjecture and about number theory more generally. + Distribution of triples with q > 1 scope="col" q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6 4 4 2 0 0 c < 103 31 17 14 8 3 1 c < 104 120 74 50 22 8 3 c < 105 418 240 152 51 13 6 c < 106 1,268 667 379 102 29 11 c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17 c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25 c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34 c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51 c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64 c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74 c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84 c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98 c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112 c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126 c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143 c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
По состоянию на май 2014 года, ABC@Home обнаружил 23,8 миллиона троек.
In 2006, the Mathematics Department of Leiden University in the Netherlands, together with the Dutch Kennislink science institute, launched the ABC@Home project, a grid computing system, which aims to discover additional triples a, b, c with rad(abc) < c. Although no finite set of examples or counterexamples can resolve the abc conjecture, it is hoped that patterns in the triples discovered by this project will lead to insights about the conjecture and about number theory more generally. + Distribution of triples with q > 1 scope="col" q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6 4 4 2 0 0 c < 103 31 17 14 8 3 1 c < 104 120 74 50 22 8 3 c < 105 418 240 152 51 13 6 c < 106 1,268 667 379 102 29 11 c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17 c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25 c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34 c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51 c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64 c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74 c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84 c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98 c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112 c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126 c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143 c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
+ Треугольники наивысшего качества
In 2006, the Mathematics Department of Leiden University in the Netherlands, together with the Dutch Kennislink science institute, launched the ABC@Home project, a grid computing system, which aims to discover additional triples a, b, c with rad(abc) < c. Although no finite set of examples or counterexamples can resolve the abc conjecture, it is hoped that patterns in the triples discovered by this project will lead to insights about the conjecture and about number theory more generally. + Distribution of triples with q > 1 scope="col" q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6 4 4 2 0 0 c < 103 31 17 14 8 3 1 c < 104 120 74 50 22 8 3 c < 105 418 240 152 51 13 6 c < 106 1,268 667 379 102 29 11 c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17 c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25 c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34 c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51 c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64 c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74 c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84 c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98 c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112 c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126 c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143 c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
| Rank | q | a | b | c | Открыто |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.6299 | 2 | 310·109 | 235 | Eric Reyssat |
| 2 | 1.6260 | 112 | 32·56·73 | 221·23 | Benne de Weger |
| 3 | 1.6235 | 19·1307 | 7·292·318 | 28·322·54 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski |
| 4 | 1.5808 | 283 | 511·132 | 28·38·173 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj |
| 5 | 1.5679 | 1 | 2·37 | 54·7 | Benne de Weger |
In 2006, the Mathematics Department of Leiden University in the Netherlands, together with the Dutch Kennislink science institute, launched the ABC@Home project, a grid computing system, which aims to discover additional triples a, b, c with rad(abc) < c. Although no finite set of examples or counterexamples can resolve the abc conjecture, it is hoped that patterns in the triples discovered by this project will lead to insights about the conjecture and about number theory more generally. + Distribution of triples with q > 1 scope="col" q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6 4 4 2 0 0 c < 103 31 17 14 8 3 1 c < 104 120 74 50 22 8 3 c < 105 418 240 152 51 13 6 c < 106 1,268 667 379 102 29 11 c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17 c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25 c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34 c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51 c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64 c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74 c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84 c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98 c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112 c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126 c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143 c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
Примечание: качество q(a, b, c) треугольника (a, b, c) определяется выше.
In 2006, the Mathematics Department of Leiden University in the Netherlands, together with the Dutch Kennislink science institute, launched the ABC@Home project, a grid computing system, which aims to discover additional triples a, b, c with rad(abc) < c. Although no finite set of examples or counterexamples can resolve the abc conjecture, it is hoped that patterns in the triples discovered by this project will lead to insights about the conjecture and about number theory more generally. + Distribution of triples with q > 1 scope="col" q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4 c < 102 6 4 4 2 0 0 c < 103 31 17 14 8 3 1 c < 104 120 74 50 22 8 3 c < 105 418 240 152 51 13 6 c < 106 1,268 667 379 102 29 11 c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17 c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25 c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34 c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51 c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64 c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74 c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84 c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98 c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112 c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126 c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143 c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160
As of May 2014, ABC@Home had found 23.8 million triples. + Highest quality triples Rank q a b c Discovered by 1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat 2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger 3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski 4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj 5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger
Note: the quality q(a, b, c) of the triple (a, b, c) is defined above.
Доказательства
Люсьен Шпиро предложил решение в 2007 году, но вскоре после этого было установлено, что оно неверно. С августа 2012 года Шиничи Мочизуки утверждает, что доказал гипотезу Шпиро и, следовательно, гипотезу abc. Эти работы не получили широкого признания в математическом сообществе как доказательство гипотезы abc. Это связано не только с их объемом и сложностью понимания, но и с тем, что по крайней мере один конкретный момент в доказательстве был выявлен некоторыми экспертами как пробел. Несмотря на попытки донести свое понимание посредством семинаров IUTT, им не удалось убедить широкое сообщество специалистов по теории чисел. В марте 2018 года Питер Шолце и Якоб Стикс посетили Киото для обсуждения с Мочизуки. Хотя им не удалось разрешить разногласия, они прояснили суть проблемы. Шолце и Стикс написали доклад, в котором указали и объяснили ошибку в логике доказательства, утверждая, что образовавшийся пробел был "настолько серьезным, что незначительные изменения не смогут спасти стратегию доказательства". Мочизуки заявил, что они неправильно поняли ключевые аспекты теории и допустили некорректные упрощения. 3 апреля 2020 года два математика из Киотского исследовательского института, где работает Мочизуки, объявили о публикации его предполагаемого доказательства в Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, журнале института. Мочизуки является главным редактором журнала, но отказался от участия в рецензировании статьи.
Lucien Szpiro proposed a solution in 2007, but it was found to be incorrect shortly afterwards. Since August 2012, Shinichi Mochizuki has claimed a proof of Szpiro's conjecture and therefore the abc conjecture. The papers have not been widely accepted by the mathematical community as providing a proof of abc. This is not only because of their length and the difficulty of understanding them, but also because at least one specific point in the argument has been identified as a gap by some other experts. and have attempted to communicate their understanding via workshops on IUTT, they have failed to convince the number theory community at large. In March 2018, Peter Scholze and Jakob Stix visited Kyoto for discussions with Mochizuki. While they did not resolve the differences, they brought them into clearer focus. Scholze and Stix wrote a report asserting and explaining an error in the logic of the proof and claiming that the resulting gap was "so severe that small modifications will not rescue the proof strategy";
Mochizuki claimed that they misunderstood vital aspects of the theory and made invalid simplifications. On April 3, 2020, two mathematicians from the Kyoto research institute where Mochizuki works announced that his claimed proof would be published in Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, the institute's journal. Mochizuki is chief editor of the journal but recused himself from the review of the paper.