Кіріспе
1960 жылы Пол Халмос жазған математика оқулығы. Наивтік жиынтық теориясы – Пауль Халмос жазған математика оқулығы, жиынтық теориясына студенттерге кіріспе береді. Алғаш рет 1960 жылы Ван Ностранд баспасынан шыққан. Атауы «наивтік» болғанымен, әдетте аксиомаларсыз деп түсініледі, кітап ZFC жиынтық теориясының барлық аксиомаларын (негіз аксиомасынан басқа) енгізеді және негізгі ұғымдарға нақты және қатаң анықтамалар береді. «Нағыз» аксиоматикалық жиынтық теориясы кітабынан ерекшелігі – оның мазмұнында аксиоматикалық ұсақ-түйектерге тоқталмайды, ал үлкен кардиналдар сияқты жоғары деңгейдегі тақырыптар туралы ақпарат жоқтың орнына. Есесінде, бұрын жиынтық теориясы туралы еш ойланбаған адамға да түсінікті болуға тырысады. Кейін Халмос бұл кітапты жазуға алты ай уақыт кеткен ең жылдам жазылған кітабы деп айтты және кітаптың «өзі жазылғандай» болғанын жеткізді.
See also Naive set theory for the mathematical topic. Naive Set Theory is a mathematics textbook by Paul Halmos providing an undergraduate introduction to set theory. Originally published by Van Nostrand in 1960,
While the title states that it is naive, which is usually taken to mean without axioms, the book does introduce all the axioms of ZFC set theory (except the Axiom of Foundation), and gives correct and rigorous definitions for basic objects. Where it differs from a "true" axiomatic set theory book is its character: there are no discussions of axiomatic minutiae, and there is next to nothing about advanced topics like large cardinals. Instead, it tries to be intelligible to someone who has never thought about set theory before. Halmos later stated that it was the fastest book he wrote, taking about six months, and that the book "wrote itself".
Негізгі аксиоманың болмауы
Жоғарыда айтылғандай, кітапта Асыл негіз аксиомасы (сонымен қатар Тұрақтылық аксиомасы деп те аталады) жоқ. Халмос жиынның өзін-өзі қамтуы мүмкін бе, жоқ па деген мәселені жиі көтеріп, оны айналып өтеді. 1-бет: "жинақ басқа жинақтың элементе болуы мүмкін" (көрсетілген). 3-бет: "is ∈ ешқашан рас бола ма? Әрине, ешбір ақылға қонымды жиынға, ешкім көрмеген жиынға бұл қатысты емес." 6-бет: "∈ ықтимал емес, бірақ күдіксіз мүмкін емес те." Бірақ Халмос өзін-өзі қамтуы мүмкін емес, белгілі бір жиындардың бар екенін дәлелдеуге рұхсат береді. 44-бет: Халмос егер ∈ болса, онда − {} әлі де ізбасар жиын болады, себебі ≠ ∅ және ол ешқандай табиғи санның ізбасары емес. Бірақ − {} жинағының ішкі жиыны емес, бұл оның кез келген ізбасар жинақтың ішкі жиыны ретіндегі анықтамасына қайшы келеді. 47-бет: Халмос "ешбір табиғи сан өзінің кез келген элементінің ішкі жиыны болмайды" деген лемманы дәлелдейді. Бұл ешбір табиғи санның өзін қамтуы мүмкін емес екенін дәлелдеуге мүмкіндік береді. Егер ∈ болса, мұндағы табиғи сан болса, онда ⊂ ∈, бұл леммаға қайшы келеді. 75-бет: "Реттік сан – барлық үшін жақсы реттелген жиын ретінде анықталады; мұнда , бұрынғыдай, бастапқы кесінді ∈ < }." Жақсы реттелу былай анықталады: егер және реттік санның элементтері болса, онда < ∈ (75-76 беттер). < символын ≤ орнына таңдауы арқылы Халмос жақсы реттелудің < қатаң екенін білдіреді (55-56 беттер). < бұл анықтамасы ∈ мүмкін емес етеді, егер ординарлық санның элементе болса. Себебі ∈ < дегеніміз < дегеніміз, бұл ≠ дегенді білдіреді (себебі < қатаң), ал бұл мүмкін емес. 75-бет: жоғарыдағы реттік санның анықтамасы ∈ мүмкін емес етеді, егер реттік сан болса. Себебі ∈ = s = ∈ < } дегенге келеді, бұл < дегенді білдіреді, бұл ≠ дегенді білдіреді (себебі < қатаң), ал бұл мүмкін емес.
p. 3: "is ∈ ever true? It is certainly not true of any reasonable set that anyone has ever seen." p. 6: " ∈ unlikely, but not obviously impossible"
But Halmos does let us prove that there are certain sets that cannot contain themselves. p. 44: Halmos lets us prove that ∉ For if ∈ , then − {} would still be a successor set, because ≠ ∅ and is not the successor of any natural number. But is not a subset of − {}, contradicting the definition of as a subset of every successor set. p. 47: Halmos proves the lemma that "no natural number is a subset of any of its elements." This lets us prove that no natural number can contain itself. For if ∈ , where is a natural number, then ⊂ ∈ , which contradicts the lemma. p. 75: "An ordinal number is defined as a well ordered set such that for all in ; here is, as before, the initial segment ∈ < }." The well ordering is defined as follows: if and are elements of an ordinal number , then < means ∈ (pp. 75 76). By his choice of the symbol < instead of ≤, Halmos implies that the well ordering < is strict (pp. 55 56). This definition of < makes it impossible to have ∈ , where is an element of an ordinal number. That's because ∈ means < , which implies ≠ (because < is strict), which is impossible. p. 75: the above definition of an ordinal number also makes it impossible to have ∈ , where is an ordinal number. That's because ∈ implies = s This gives us ∈ = s = ∈ < }, which implies < , which implies ≠ (because < is strict), which is impossible.
Қателік
4, 18-жол: "Қабыл мен Әбіл" деген сөз "Сет, Қабыл мен Әбіл" болуы керек. 30, 10-жол: "x-тен y-ге" деген сөз "x-ке y-ге" болуы керек. 73, 19-жол: "X-тегі әрбір z үшін" "X-тегі әрбір a үшін" болуы керек. 75, 3-жол: "егер және тек егер x ∈ F (n) " "егер және тек егер x = {b: S (n, b) }" болуы керек. 66, 16-жол: "Мысалы, (1,1) <= (a,b) шартын қанағаттандыратын барлық (a,b) жұптарының E жиынтығын қарастырайық; E жиынтығының ең кіші элементі (1,1) болады.": Бұл мәлімдеме дұрыс емес, өйткені (2,2) <= (1,1). Шындығында (2x2+1) x2^1 = 10 <= (2x1+1) x2^2 = 12.